3.4.4　纵断面线形拟合

1.纵断面设计的计算模型

公路纵断面线是由一系列直线、竖曲线首尾相连组合而成。用数学语言可以这样表述：集合A=｛直线，竖曲线｝，令ai∈A（i=1，2，3，…，n），对于任意线形设计单元ai，可以用状态描述方程来表述其几何特性。

中心线任一线形单元上任一点的状态描述值h（设计高程），可以采用如下方程进行描述：

（1）直线。

式中：h0、s0——直线单元起点的高程、桩号；

S——直线单元上任意点的桩号；

i——直线单元的坡度。

（2）竖曲线（抛物线）。

式中：h0、s0——抛物线单元起点的高程、桩号；

i——抛物线单元起点的坡度；

R——抛物线单元的半径；

S——抛物线单元上任意点的桩号。

sign=｛1，-1｝，sign=1表示是凸型竖曲线，sign=-1表示是凹型竖曲线。

2.纵断面拟合技术

高速公路改造，纵断面设计需要了解现状道路的纵断面线形。既有高速公路经过多年运营，由于不均匀沉降以及施工误差等原因，其现状纵断面线同原设计数据可能存在较大的不同，需要利用测量或地面数字模型得到的桩号、纵断面高程数据进行拟合，得出纵断面的拟合线（包括数据变坡点标高和竖曲线半径）。

（1）纵断面拟合设计的流程。

纵断面设计的工作流程如下：

第一步：对原始二维数据（桩号，高程）进行拟合，得到一条平顺的贴近现状路面的拟合曲线。

第二步：由拟合曲线3阶导数确定地面线变化的拐点，然后利用一元线性回归确定初始变坡点。

第三步：为变坡点配置竖曲线。

第四步：对上述数据进行修正，得到拟合后的最终纵断面线。

根据以上的四步流程，下面分别论述。

（2）现状路面线的初始拟合。

采用最小二乘曲线拟合法对现状纵断面的地面线进行拟合，数学模型如下：

设已知n个测点数据（桩号，高程）表示为（si，hi）（i=0，1，…，n-1），最小二乘拟合多项式为pm-1（s）=a0+a1s+a2s2+…+…+am-1sm-1，m为最小二乘曲线拟合多项式的项数，m≤n且m≤30。

最小二乘曲线拟合次数m较低时，拟合曲线较为平顺，曲线的极值点较少，反之拟合次数越高时，拟合曲线越不平顺，曲线的极值点越多。平原地区的既有高速公路的路面线形较为平顺，最小二乘曲线拟合次数可取较小值。

（3）初始变坡点的确定。

由于初始拟合曲线连续可导，并且拟合曲线3阶导数为0处的点即为曲线拐点（凹凸变化点的位置）。

在拐点i和拐点i+1之间采用一元线性回归定出初始变坡线。

假定初始坡线方程为：h=a·s+b。方程中s，h为初始变坡点的桩号和高程，a，b为待定系数，其中a代表纵坡。

为确定回归系数a，b通常采用最小二乘法，即要使达到最小，a，b值分别为：

在每个拐点处，均用一元线性回归的方法定出一段回归线，每相邻两条直线相交而产生一个交点（变坡点），其桩号和高程分别为：

（4）竖曲线半径的确定。

竖曲线的初始半径又有拟合曲线方程h=pm-1（S）=a0+a1s+a2s2+…+am-1sm-1得到：

h′=a1+a2s+a3s2+…+am-1sm-2

h″=a2+a3s+a4s2+…+am-1sm-3

因此，变坡点（Hi，Si）处的竖曲线半径为：

（5）最终纵断面拟合线的确定。

根据上述方法依次求得各个变坡点高程、桩号以及竖曲线半径后，在图上绘出图形，设计人员可以根据实际情况进行调整，最后得到既有高速公路的现状纵断面线形。

对于既有公路路基高度不满足设计水位要求时，应调整纵断面线形或采取其他有效措施。

此外，整体式扩建路段，分幅设计纵断面设计线标高宜分别采用中央分隔带左、右侧边线标高。分离式扩建路段，纵断面设计线标高宜采用新建路线中心线标高。

3.纵断面线拟合标准

扩建工程的纵断面设计要实现最大限度的利用现有工程，同时还要考虑到满足技术标准的要求，因此纵断面拟合标准包括：①测设点的高程和其对应的拟合纵断面线高程差值的标准误差；②最小纵坡长度。

（1）高程差值的标准误差。

假定纵断面线有N个线形单元组成，第i个线形单元的测设数据点有Ki个，其中第j个数据点到对应的拟合线形单元的高程差是Hij，纵断面线形拟合的高程差值的标准误差计算式为：

在路基设计规范中，对于软土地基工后容许沉降的规定是：桥台与路堤相邻处，涵洞、通道处，一般路段分别为0.10m，0.20m，0.30m，从这个角度而言，拟合高程差值的标准误差宜控制在0.2m以内。另外，为减少路面加罩补强的厚度，降低工程造价，拟合高程差值的标准误差不应过大，宜控制在0.10m以内。调研实际工程案例，沪宁高速公路（江苏段）的纵断面的拟合高程差值的标准误差为10cm，沈大高速公路为15cm，沪宁高速公路（上海段）为6cm。

既有高速公路纵断面拟合精度标准应满足表3-2的规定。

（2）最小纵坡长度。

从纵断面拟合的精度而言，坡长越小，拟合的精度越高，但过小的纵坡长，不仅会大大低于现行设计规范关于最小纵坡长的规定，而且还会影响车辆行驶的舒适性。因此，必须确定合适的拟合最小纵坡长度。除受净空及构造物限制的路段外，一般路段设计宜遵守“宁填勿挖”的原则；受构造物控制，不能满足最小坡长要求的局部路段，设计最小坡长可按表3-3的规定设计。

当受构造物控制且纵坡不大时，在满足视距的前提下，经论证，纵断面设计可采用3s设计速度行程的竖曲线长度来控制设计。