2.4 节点电位法

上节所讲的支路电流法虽然能用来求解电路，但由于独立方程数目等于电路的支路数，所以对支路数较多的复杂电路，手工求解方程的工作量较大。本节要介绍的节点电位法（简称为节点法）是一种改进的分析方法，它可以使方程的个数减少。此方法已经广泛应用于电路的计算机辅助分析和电力系统的计算，是最普遍应用的一种求解方法。

首先了解什么是节点电位。在电路中，任选某一点为参考节点，其他节点与该参考节点之间的电压称为节点电位（或节点电压）。前面介绍电位时用符号“V”表示，所以有的文献中在讲解节点电位法时，使用“V”作为变量的符号。而节点电位等于独立节点到参考节点的电压，所以有的文献也沿用了电压符号“U”来表示节点电位。本节中使用“U”加上下标来表示节点电位。

将各支路电流通过支路伏安特性用未知节点电位表示，以节点电位为未知量，依KCL列节点电流方程（简称为节点方程），求解出各节点电位变量，进而求得电路中需要求得的电流、电压及功率等，这种分析方法称为节点电位法，简称为节点法。该方法比支路电流法减少了KVL方程，只需要独立节点数量的方程。

2.4.1 节点方程及其一般形式

下面举例来说明在几种情况下节点电位方程的列写方法。

1．电路中只有一个独立节点的情况

以一个独立节点的电路图2-16为例，图中含有两个节点0和1，这里选择节点0为参考点，节点1为独立节点，它对参考节点0的节点电位可以记为U₁₀。列电流方程，以流出该节点的电流的为正、流入的为负，图2-16中流入节点1的电流为I₁和I₂，流出节点1的电流为I₃。方程如下

由两点间电压等于这两点之间的电位之差，再根据电阻上电压电流关系有

将I₁、I₂、I₃代入式（2-5）中得

整理得到

即

令G₁₁==G₁+G₂+G₃

G₁₁称为节点1的自电导。自电导G₁₁恒为正。这是由于本节点电位对连到自身节点的电导支路的电流总是使电流流出本节点的缘故。式（2-6）就是图2-16中一个独立节点时，使用节点电位法所列写的方程。可见，如果电路中只有一个独立节点，那么就只有一个未知量U₁₀，从而只需要列写一个节点电位方程。

从式（2-6）可以得出该种电路列写节点电位的规律：方程左侧是节点1的节点电位乘以该节点的自电导，也就是流出节点1的电流和；方程右侧为流入节点1的电流和。

由式（2-6）可以解出U₁₀的值，这也就是电阻R₃两端的电压U_R3。有兴趣的读者可以进一步求出电阻R₁和R₂两端的电压U_R1和U_R2。

2．电路中含有3个独立节点的情况

有3个独立节点的电路如图2-17所示，在图2-17中，有3个独立节点，分别为节点1、节点2和节点3。其中节点3电位已知：U₃₀=U_S2，因此还剩下两个未知量：U₁₀和U₂₀，故只需要列节点1和节点2的节点电压方程即可求得相应的节点电压。同求解电路图2-16方法一样，分别对独立节点1和2列方程

求各支路电流

把上述各支路电流带入方程组中得到

整理得到该电路节点法标准方程

方程中，是自电导；将，称为互电导。这里自电导恒为正，互电导恒为负。

可以得出此种电路节点法列写的规律：方程左侧为本节点电位乘上该节点的自电导再加上相邻节点电位乘上互电导；方程右侧为电压源除以与该节点共用的电阻然后叠加。电源正极靠近该节点（向该节点流入电流的方向）符号取正，电源负极靠近该节（从该节点流出电流的方向）点的取负。

需要注意的是，这个电路中有一个节点电位就是一个理想电压源的电压值，从而可以得出这样的规律：如果电路中某一支路含有有理想电压源（无电阻与之串联），那么选择参考节点时尽量选择理想电压源的负极端作参考点，则理想电压源的正极端为独立节点，那么该节点电位为已知，即为该理想电压源的电压，这样所必须列写的方程会减少一个，从而简化了方程求解。

3．电路中含有理想电流源支路的情况

图2-18所示为含有恒流源支路的节点法电路。其结构同图2-17，方程也同图2-17类似，只是替换为：I₃=-I_S，方程如下

整理得到

这种电路的处理办法：将恒流源放方程右侧，方向为灌进该节点时取正号，反之取负号。

因此，对于具有理想电流源支路，该支路上的电阻不起作用，可以忽略不计。列节点法方程时，将恒流源的值放在方程右侧，方向为灌进该节点时取正号。N个节点标准方程可以表示如下

式中，U₁₀，U₂₀，…，U_（N-1）0，U_N0为各个独立节点电压。G_N1，G_N2，…，G_N（N-1）为与节点N连接的互电导，恒为负。G_NN为节点N的自电导，恒为正。U_Sj和R_j表示有j条支路与N节点连接，该支路含有独立电压源U_S和与之串联的电阻R，取的代数和。I_Sk表示有k个含有理想电流源的支路与N节点相连，这些电流源的值取代数和。含电阻的电流源支路与含有理想电流源支路情况下电流符号的取法可以参考前面章节中的总结。

4．电路中两个节点间有理想电压源的情况

图2-19的电路中节点3和节点2之间只有一个独立源。如果理想电压源没有串联电阻，就不能变换为等效的电流源。在列写节点方程时，有三种方法：一是选某一理想电压源的一端作为参考节点；二是在理想电压源支路中增设电流未知量；三是列广义节点KCL方程。下面举例来说明对这些情况的处理方法。

【例2-9】 电路如图2-19所示，用节点法求I_x。

解：本例n=4，则共有3个独立节点，接地点为参考节点，3个电源中有两个理想电压源。当遇到含理想电压源电路时，常选某一理想电压源的一端为参考节点，现选14V理想电压源的负极端为参考节点，并标出独立节点序号，在节点2与节点3之间为8V理想电压源，可增设此支路电流I为未知数，现以U₁、U₂、U₃和I为未知数列方程

U₁=14（节点电压为理想电压源电压）

-1U₁+（1+0.5）U₂+I=3

-0.5U₁+（1+0.5）U₃-I=0

补充节点2、节点3之间的电压关系U₂-U₃=8，解得

U₁=14V，U₂=12V，U₃=4V，I=-1A

在以上解题过程中，对两个理想电压源的处理分别应用了前面所述第一种（即选14V理想电压源的负极端为参考节点）和第二种（即在8V理想电压源支路增设此支路电流I为未知数）两种方法。若采用的是第三种方法（即列广义节点KCL方程），以本题为例，将节点2、3及8V理想电压源用虚线框起来，则构成一个假想的封闭面，也称作广义节点。对此广义节点列KCL方程得

-（1+0.5）U₁+（1+0.5）U₂+（1+0.5）U₃=3

此方程与U₁=14，U₂-U₃=8三式联立，得

U₂=12V，U₃=4V

从例2-9可以看出，如果电路中两个独立节点之间具有理想电压源，应设该支路的电流为未知量，并将其放在方程左侧；流出该节点取正、流入该节点取负；并增加一个补充方程，补充方程为两个独立节点间的电位差等于该理想电压源的电压值。

5．电路中含受控源情况

若要对含受控源的电路列节点方程，则可以先将受控源当独立源看待，将其作用的项列到方程右边，而后再找到受控源的控制量与节点电位的关系，将此关系代入节点方程，再将方程右边反映受控源作用的项移到方程左边，得到含受控源电路的节点方程。下面举例来说明对含受控源问题的处理方法。

【例2-10】 用节点法求图2-20所示电路的U和I。

解：此电路共有两个节点，设节点0为参考节点，将电流控制电流源看作独立电流源，列写节点1的节点方程

由于上式有两个未知量，因此无法直接求出U₁，需要再列出一个方程，用节点电位表示控制量I，有

I=1×（U₁-6）=U₁-6

以上两式联立求解，可得

U₁=7V

I=1A

则

U=U₁=7V

【例2-11】 用节点法求图2-21所示电路的各节点电位。

解：设节点0为参考节点。将受控电压源3I₁和受控电流源6I_x分别看作理想电压源和理想电流源，对节点1、2、3分别列节点方程

在以上各式中，由于出现了I₁和I_x两个未知量，因此需要再列写两个补充方程，到控制支路找出I₁和I_x与各节点电位的关系，有

将两个大括号中的五式联立求解，可得

U₁=5V，U₂=-3.968V，U₃=4.192V

2.4.2 节点法解题步骤

从上节的内容可以归纳出节点法的解题步骤如下。

1）选定参考节点，标出各独立节点序号，将独立节点电位作为未知量，其参考方向由独立节点指向参考节点。

2）用观察法对各个独立节点列写以节点电位为未知量的KCL方程。

3）联立求解第2）步得到的（n-1）个方程，解得各节点电位。

4）指定各支路方向，并由节点电位求得各支路电压。

5）应用支路的伏安特性关系，由支路电压求得各支路电流。

【例2-12】 在图2-22所示电路中，R₁=R₂=R₃=4Ω，R₄=R₅=2Ω，U_S1=4V，U_S5=12V，I_S3=3A。试用节点法求电流I₁和I₄。

解：选图中节点3为参考节点，标出1和2两个独立节点，选U₁₀和U₂₀为两个未知量。

用观察法列节点方程

将数据代入方程得

联立求解得