1.5 基尔霍夫定律

在前面讨论的电阻元件电路中，电阻元件的欧姆定律反映的是电路中元件的约束关系，而在一个电路中各处的电压和电流不但受元件类型和参数的影响，而且取决于电路的结构，基尔霍夫定律反映的就是电路的结构约束关系。

1.5.1 基本概念

在介绍基尔霍夫定律之前，先介绍一下有关电路的几个概念。

1）支路。通常情况下，电路中的每一分支称为支路，同一支路上的元件流过同一电流。具有3条支路的电路如图1-16所示。其中两条含电源的支路acb、adb称为有源支路。不含电源的支路ab称为无源支路。

2）节点。电路中3条或3条以上支路的连接点称为节点，图1-16中有两个节点a、b。

3）回路。电路中任一闭合路径称为回路，图1-16中有adba、abca和adbca3个回路。

4）网孔。当回路内不含交叉支路时，该回路也被称为网孔。在平面电路里，网孔就是自然孔，见图1-16中的adba、abca两个网孔。

5）网络。一般把包含较多元器件的电路称为网络。实际上，网络就是电路，两个名词可以通用。

6）二端网络。与外部连接只有两个端点的电路称为二端网络，也称为一端口网络，二端网络如图1-17所示。实际上，每一个二端元件，如电阻、电感、电容等，就是一个最简单的二端网络。

7）等效二端网络。当两个二端网络对外电路的作用效果相同、具有相同的外特性时，这两个二端网络等效。图1-18所示的两个二端网络N₁与N₂，当它们接相同的外电路时，产生的非零电压、电流对应相等，即u₁=u₂，i₁=i₂，则N₁与N₂互为等效二端网络。

需要指出的是，等效网络指的是对外等效，对内一般是不相等的，即内部电路结构可以不同，但对外部电路的作用（影响）是完全相同的。

1.5.2 基尔霍夫电流定律

基尔霍夫电流定律（Kirchhoff 's Current Law，KCL）叙述如下：在电路中对任一节点，在任一时刻流进该节点的电流之和等于流出该节点的电流之和，即

∑i_入=∑i_出

对于图1-16中的节点a有

如果假设流入节点的电流为负，流出节点的电流为正，那么基尔霍夫电流定律就可叙述为：在电路中任何时刻，对任一节点所有支路电流的代数和等于零，即

对于图1-16中的节点a有

式（1-5）和式（1-7）是等价的，两种说法含义相同。

对节点b应用基尔霍夫电流定律有

式（1-8）两边乘负号就变换成式（1-7），所以两个方程互相不独立，即在两个节点的电路中，只有一个独立的电流方程，在两个节点的电路中只有一个独立节点。可证明，当电路中有n个节点时，有n-1个节点是独立的。

【例1-4】 在图1-19所示电路中，各支路电流的参考方向如图所示，其中I₁=7A，I₂=-5A，I₄=2A，I₅=3A，试求电流I₃的值。

解：根据基尔霍夫定律有

I₁-I₂+I₃-I₄+I₅=0

I₃=-I₁+I₂+I₄-I₅

=[-7+（-5）+2-3]A

=-13A

从基尔霍夫电流定律可以推出以下两个推论。

推论1：任一时刻，穿过任一假设闭合面的电流代数和恒为零，图1-20a所示的点画线框内为广义节点。

推论2：若两个电路网络之间只有一根导线连接，则该连接导线中的电流为0，如图1-20b所示。

例如，在图1-20a中，对节点a有 -i₁-i₆+i₄=0

对节点b有 -i₂-i₄+i₅=0

对节点c有 -i₃-i₅+i₆=0

把上面3个方程式相加，得 i₁+i₂+i₃=0

即在图1-20a中，点画线所包围的封闭面电流的代数和为零。

在图1-20b中，网络1与网络2之间只有一根导线连接，设网络1流进网络2的电流为I，但无网络2流进网络1的电流，根据KCL，则I=0。

【例1-5】 电路如图1-21a所示，已知I₁=3A，I₂=4A，I₃=8A，求恒流源的电流I_S。

解：把图1-21中的R₁、R₂所在支路看成闭合面，见图1-21b中的点画线部分。根据基尔霍夫电流定律的推论列方程有

I₁-I₂+I₃-I_S=0

解得

I_S=I₁-I₂+I₃

=（3-4+8）A

=7A

1.5.3 基尔霍夫电压定律

基尔霍夫电压定律（Kirchhoff 's Voltage Law，KVL）是反映电路中对组成任一回路的所有支路的电压之间的相互约束关系。表述如下：

在电路中任何时刻，沿任一闭合回路的各段电压的代数和恒等于零，当电压的方向与绕行方向一致时，取正；与绕行方向相反，取负。表达式为

∑u=0

在回路中，若有电压源存在，则电源电势升与绕行方向一致取正，相反取负。基尔霍夫电压定律还可以叙述为在电路中任何时刻，沿任一闭合回路的所有电势升之和等于电压降之和。表达式为

∑u_s=∑u

【例1-6】 根据基尔霍夫电压定律，分别对如图1-16所示的各回路列方程。

解：对各个回路选定绕行方向，如图1-22所示。

对回路1有 U_R1+U_R3-U_S1=0

或者 U_S1=U_R1+U_R3

对回路2有 U_R2+U_R3-U_S2=0

或者 U_S2=U_R2+U_R3

对大回路3有 U_R1-U_R2+U_S2-U_S1=0

或者 U_S1-U_S2=U_R1-U_R2

基尔霍夫电压定律不但适用于闭合回路，而且可推广应用于不闭合电路。假想电路是通过某元件闭合的，图1-23所示为部分电路的KVL，右侧可以是一个元件或者电路网络。在这种情况下，基尔霍夫电压定律仍成立，并且两点间电压是定值，与计算时所沿路径无关，表示为

U_S=U+U₁

【例1-7】 电路如图1-24a所示，试求图中的电压U₄和E、B两点间的电压U_EB以及A、D两点间的电压U_AD。

解：1）在回路中选定绕行方向如图1-24b虚线1所示，根据KVL

U₁-U₂+U₃-U₄-U₅=0

U₄=U₁-U₂+U₃-U₅=5V

2）选绕行方向如图1-24b虚线2所示，根据KVL

U_EB-U₁+U₅=0

U_EB=1V

3）选绕行方向如图1-24b虚线3所示，根据KVL

U_AD-U₄-U₅=0

U_AD=7V

【例1-8】 求图1-25a所示电路的开路电压U_ab。

解：先把图1-25a改画成图1-25b，求电流I。

在回路1中，有12-2+3I-6+3I+2+2I=0，则I=-3/4A

根据基尔霍夫电压定律，在回路2中，得

U_ab=[-2×1-3×（-3/4）-2+6+0-2]V=9/4V