1.5 配电变压器的运行方式

变压器运行方式一般分为空载运行和负载运行两种方式。配电变压器主要工作在负载运行状态，熟悉变压器的基本工作原理能够帮助更好地理解其两种工作方式。

1.5.1 配电变压器的基本工作原理

变压器是利用电磁感应原理，以交变磁场为媒介，把绕组从电源吸收的某一种电压的交流电能转变成频率相同的另一种电压的交流电能，转换后的电能由另一绕组向负载提供。除自耦变压器外，一般的变压器一次绕组和二次绕组之间只有磁的耦合，没有电路上的直接联系。

一般的变压器由铁心（或磁心）和绕组组成，绕组由两个或两个以上的线圈组成，其中接电源的绕组叫一次绕组，另一个的绕组叫二次绕组。它可以变换交流电压、电流和阻抗。最简单的铁心变压器由一个软磁材料做成的铁心及套在铁心上的两个匝数不等的绕组构成，以单相变压器为例，如图1-6所示。

铁心的作用是加强两个线圈间的磁耦合，提供磁路通道。为了减少铁心内涡流和磁滞损耗，铁心由涂漆的硅钢片叠压而成。两个绕组之间没有电的联系，绕组由绝缘铜线（或铝线）绕成。一个绕组接交流电源称为一次绕组，另一个绕组接用电器称为二次绕组。实际的变压器是很复杂的，不可避免地存在铜耗（绕组电阻发热）、铁损（铁心发热）和漏磁（经空气闭合的磁感应线）等，为了简化讨论这里只介绍理想变压器。理想变压器成立的条件是，忽略漏磁通，忽略一、二次绕组的电阻，忽略铁心的损耗，忽略空载电流（二次绕组开路，一次绕组中的电流）。例如电力变压器在满载运行时（二次绕组输出额定功率）即接近理想变压器情况。

当变压器的一次绕组接在交流电源上时，铁心中便产生交变磁通，交变磁通用ϕ表示，假设主磁通是按正弦规律变化的，则

式中 Φ_m——主磁通最大值。

由法拉第感应定律可知一、二次绕组中的感应电动势分别为

同理

式中 N₁、N₂——一、二次绕组匝数。

从式（1-2）和式（1-3）可以看出，当主磁通按正弦规律变化时，它在铁心中感应出的电动势也随之按正弦规律变化，并在相位上落后于主磁通90°。

一、二次绕组的感应电动势有效值分别为

由图1-6理想变压器模型可知u₁=-e₁，当变压器空载时，e₂=u₂。

通常把变压器一次绕组感应电动势E₁对二次绕组感应电动势E₂之比称为变压器的电压比，用符号k来表示，即

理想情况下变压器的电压比还可以近似认为等于空载运行时的相电压之比，即

1.5.2 空载运行

空载是变压器的一种运行状态，它是负载运行的一种特殊情况，即二次电流等于零的状况。先分析空载运行，有助于理解变压器整个的电磁关系。

图1-7是一台单相变压器空载运行的磁路示意图，AX是一次绕组，匝数为N₁，ax是二次绕组，匝数为N₂。变压器由交流电源供电，各个电磁量都以电源的频率交变。虽然各量的幅值不变，但它们的瞬时值不仅大小而且方向都随时间在变化着。例如，在一次侧AX加端电压u₁，在一定时间里A点电位高于X点；而另一时间A点电位又低于X点，空载电流i₀也是一样，有一些时间从A点流向X点；而有些时间却从X点流向A点。在分析这种问题时，应该事先规定好各电磁量的正方向，例如规定电压u₁从A点到X点的压降为正；电流i₀顺电压u₁正方向从A点流向X点为正等，如图1-7所示。规定的正方向仅仅是为了便于分析，各个电磁量的正负还得看其实际瞬时方向是不是与规定的正方向一致，如果一致，则该电磁量定为正值，否则定为负值。这样一来，电磁量除了有大小外，还有正负。因此，当规定了正方向后，并且又知道在某瞬间它的正负，便可确定它的实际方向。

规定了各电磁量的正方向才能列写有关的电磁关系式，求解各个电磁量随时间变化的情况。正方向一经选定就不得再有变动，正方向的选取也有一定的习惯，叫作惯例。国际上所采用的惯例也不统一，为了读者阅读的方便，下面选取较常用的惯例，即在消耗电能的电路里，采用电动机惯例；在产生电能的电路里，采用发电机惯例。变压器的一次侧接到电网，是电网的负载，故一次侧各量采用电动机惯例；二次绕组给外接的负载提供电能，故二次侧各量采用发电机惯例。

1.空载运行时的状态分析

图1-7给出了变压器空载运行时各物理量的参考方向。一、二次绕组的匝数分别为N₁和N₂。当二次绕组ax开路而把一次绕组AX接到电压为u₁的交流电网上，变压器此时处于空载运行状态，这时有电流i₀流入一次绕组，称为空载电流。空载电流i₀产生的空载磁动势F₀=i₀N₁，在磁动势F₀的作用下变压器铁心内产生磁通。由于i₀主要产生空载磁通，又称为励磁电流，F₀又称为励磁磁动势。

空载磁通可分为两个部分：主要的一部分磁通Φ是以闭合铁心为路径，同时与一、二次绕组相匝链，是变压器能量传递的媒介，属于工作磁通，称为主磁通；另一部分磁通Φ_1σ，它仅和一次绕组相匝链而不与二次绕组相匝链，主要通过非磁性介质（变压器油或空气）而形成闭合回路，属于非工作磁通，这部分磁通称为一次绕组的漏磁通。由于变压器的铁心都是用高额定磁导率材料硅钢片制成的，磁导率μ_Fe约为空气的2000多倍以上。因此，空载运行时绝大部分磁通都在铁心中闭合，只有很少的部分在铁心外面。根据大多数经验，变压器在空载运行时主磁通约占全部磁通的99%以上，而漏磁通仅占全部磁通的1%以下。

根据电磁感应定律，任一交变磁通都将在与其相匝链的绕组中感应出相应的电动势。因此，主磁通Φ将分别在一、二次绕组中感应出电动势e₁和e₂；而漏磁通Φ_1σ只与一次绕组匝链，所以只在一次绕组中感应出漏感电动势e_1σ。在图1-7所示的参考方向下，一、二次绕组的感应电动势可以分别用下列方程式来表示：

一次绕组（包括主电动势和漏感电动势）

二次绕组

假设主磁通Φ是按正弦规律变化的，则有

式中 Φ_m——主磁通最大值。

将式（1-11）代入式（1-8）中，可得

同理

式中 E_1m，E_2m——感应电动势最大值。

可以看出，当主磁通按正弦规律变化时，它所感应的电动势也按正弦规律变化，并且在相位上落后于主磁通90°。

一、二次绕组的感应电动势的有效值为

由于它们都是按照正弦规律变化的，其相量形式为

下面推导一次绕组的漏感电动势。

假设用一个等效的正弦规律变化的电流代替实际的空载电流（实际空载电流并不是标准的正弦波），则一次绕组漏磁通为

式中 R_1σ——一次绕组漏磁通路的磁阻，是与磁饱和基本无关的常数。

Φ_1σm——漏磁通的幅值，。

在空载电流i₀按正弦规律变化时，一次绕组漏磁通Φ_1σ也是按正弦规律变化的，将式（1-18）代入式（1-9），可得漏感电动势为

有效值为

复数形式

为了便于列写电动势平衡方程式以及画等效电路图，通常将漏感电动势以压降形式表示为

式中 X_1σ——对应于漏磁通的一次绕组的漏电抗，X_1σ=ωL_1σ；

L_1σ——对应一次绕组的漏感，，它通常是一个常数，与电流大小无关。

此外，电流流过一次绕组还将产生电阻压降，参照图1-7规定的正方向，根据基尔霍夫第二定律，可写出变压器空载运行时一次侧的电动势平衡方程

式中 Z₁——一次绕组的漏阻抗，且Z₁=R₁+jX_1σ。

在一般变压器中，一次绕组的漏阻抗压降I₀Z₁＜＜-E₁，I₀R₁约为0.2%E₁以下，E_1σ约为0.1%E₁以下。

2.空载电流（励磁电流）

产生主磁通的电流叫作励磁电流，用i_m表示。空载运行时，一次绕组的电流i₀全部用于产生主磁通，所以空载电流就是励磁电流，即i_m=i₀。

主磁通的量值大小受到外施电压及电路参数的影响，如不考虑电阻压降和漏磁电动势，则有U₁=E₁=4.44fN₁Φ_m。对已出厂的变压器，N₁是常数，对我国配电变压器来说，通常电网频率也是常数50Hz，故Φ_m正比于U₁。换言之，当外施电压U₁为定值时，主磁通Φ_m也是定值。下面讨论一台结构已定的变压器。当外施电压已知，需要电源提供多大的励磁电流来维持一定的主磁通。根据上节的分析，励磁电流取决于变压器的铁心材料及铁心的几何尺寸。因为铁心材料是磁性物质，励磁电流的大小和波形将受到磁路饱和、磁滞及涡流的影响，下面分别予以讨论。

（1）磁路饱和的影响。磁性材料的饱和程度取决于其磁通密度B_m。当变压器铁心处于未饱和状态时，磁化曲线Φ=f（i₀）呈线性关系，磁导率是常数。当磁通Φ按正弦变化，空载电流i₀亦按正弦变化，相应波形如图1-8所示，因为未考虑铁耗电流，所以励磁电流仅含磁化电流分量。

当磁路处于饱和状态时，磁化曲线Φ=f（i₀）呈非线性关系，随磁通的增大，空载电流增大的速率明显提升，此时若磁通Φ仍按正弦变化，i₀曲线则不再是正弦波，而是尖顶波，如图1-9所示。尖顶的程度取决于饱和程度，磁路越饱和，尖顶的幅度越大。在设计时需控制磁通密度B_m的大小，以免磁化电流过大。同样，因为未考虑铁耗电流，励磁电流仅含磁化电流分量。

尖顶波除基波分量外，包含有各奇次谐波，其中以3次谐波幅值最大。虽然如此，励磁（空载）电流与额定电流相比仅占很小比例。但是在电路原理中，尖顶波电流不能用相量表示，为此，通常用等效正弦波代替实际的尖顶波电流。等效原则是令等效的正弦波与尖顶波电流有相同的有效值，与尖顶波的基波分量同频率和相位。这样，磁化电流便可用相量表示，与同相位。因为滞后于，故滞后于-，具有无功电流的性质，是励磁电流的主要成分。

（2）磁滞现象的影响。以上分析均为考虑磁滞现象。所谓磁滞现象是指铁磁质磁化状态的变化总是落后于外加磁场的变化，在外磁场撤消后，铁磁质仍能保持原有的部分磁性，其磁化曲线会呈现磁滞现象。实际上，在交变磁场的作用下，由于铁磁材料的磁滞特性，其磁化曲线会呈现磁滞现象，如图1-10a所示，此时励磁电流为不对称尖顶波，如图1-10b所示，可把它分解成两个分量。其一为对称的尖顶波，它是磁路饱和所引起的，即磁化电流分量；另一电流分量称为磁滞电流分量，与同相位，是有功分量。

（3）涡流的影响。交变磁通不仅在绕组中感应电动势，也会在铁心中感应出电动势，从而在铁心中产生涡流及涡流损耗。与涡流损耗对应的电流分量也是一种有功分量，用表示，它是由涡流引起的，称为涡流电流分量。与-同相位，也是有功分量。

由于磁路饱和、磁滞和涡流三者同时存在，所以励磁电流实际包含磁化分量、磁滞分量、涡流分量三个分量。由于和同相位，因此通常将二者合并，统称为铁耗电流分量，用表示。

在变压器电路分析中，通常把励磁电流表示为铁耗电流和磁化电流两个分量，即

3.空载运行时的等效电路和矢量图

如前所述，变压器空载时一次绕组的电动势平衡方程式为

由式（1-26）可知，外加电压由两部分压降组成，即-和，由前面的分析已经知道，压降-超前接近90°，但略小于90°，因此可以理解为-是流过某一阻抗产生的压降，这部分压降是平衡主磁通感应电动势的，所以这个等效阻抗称为变压器的励磁阻抗，用Z_m表示

式中 R_m——励磁电阻，是反映铁耗的等效电阻；

X_m——励磁电抗，是主磁通引起的电抗，反映了变压器铁心的导磁性能，代表了主磁通对电路的电磁效应，其大小反映了一定励磁电流激励主磁通的能力。

用一条支路来代替励磁电阻R_m和励磁电抗X_m，该支路表示主磁通对变压器铁心的作用，再将一次绕组的电阻R₁和漏电抗X_1σ在电路图上表示出来，即可得到空载时变压器的等效电路，如图1-11所示。一次绕组电阻R₁是基本不变的常量，不受铁心饱和程度的影响。由于漏磁通与空气或变压器油相匝链，其磁路是线性的，不受铁心饱和的影响，所以漏电抗X_1σ也是基本不变的常量。而主磁通的磁路是非线性的，其励磁电阻R_m和励磁电抗X_m都是随着饱和程度的增大而减小的，这个结论在实用中很重要，感兴趣的读者可自行推导。

在变压器正常工作过程中，由于电源电压变化范围很小，故铁心中主磁通的变化范围也是不大的，励磁阻抗Z_m也基本不变。

根据之前推导的公式，就可以画出变压器空载运行的相量图。各物理量的大小、相位以及它们之间的相量关系。相量图的画法视给定的参考条件而定，假设已知变压器参数R₁、X₁、R_m、X_m，则画图步骤是

1）选择主磁通为参考相量。

2）根据主磁通与感应电动势的相位关系，画出落后于主磁通90°的感应电动势和。，。

3）励磁电流的大小为，相位落后于一个角度ϕ₀=。

4）励磁电流可分解为与主电动势同相位的有功分量和与主磁通同相位的无功分量。

5）最后根据一次电压方程画出。

按照以上步骤画出的空载相量图如图1-12所示。

1.5.3 负载运行

变压器一次绕组接入交流电源，二次绕组接上负载Z_L后，二次绕组中有电流流过，主磁通同时与一、二次绕组匝链，变压器以铁心中的主磁通为媒介，将一次绕组从电源吸收的电能传送到二次绕组，向负载供电，这种情况称为变压器的负载运行。下面主要分析负载运行时的电动势、磁动势平衡问题、等效电路以及负载运行相量图。

1.负载运行时的状态分析

由上节分析可知，变压器空载运行时，空载电流流过一次绕组形成的磁动势产生主磁通，交变的主磁通在一次绕组中感应出电动势，电网电压的绝大部分被抵消，剩下的部分为漏阻抗压降，此时变压器中的各个电磁量均处于一个平衡状态。当在变压器的一次侧接入一个负载阻抗Z_L时，此时变压器处于负载运行状态，如图1-13所示。

变压器负载运行时，二次绕组有电流流通，此时二次绕组也要产生一个磁动势，由于一次和二次磁动势都同时作用在同一磁路上，它与一次绕组磁动势合成后才是变压器负载时的合成磁动势，由磁动势产生负载时的主磁通。如前所述，当一定时，由于漏阻抗压降所占比例很小，电动势近似等于，故与都几乎不变，因此，二次磁动势出现时必然引起一次电流从空载时的增加到负载时的，使基本不变，也基本保持不变，分别在一、二次绕组中感应出电动势和。当它们的数值恰好能在一、二次绕组中产生上述电流和时，变压器中一、二次侧所有电磁关系又重新达到平衡状态。

由上述分析可知，变压器负载运行时一、二次电流是紧密联系着的，二次电流增加或减少，必然同时引起一次电流的增加或减少。变压器负载运行时的磁场是由一、二次绕组的合成磁动势所产生。一次绕组磁势还产生仅与一次绕组匝链的漏磁通，二次绕组磁势也要产生仅与二次绕组匝链的漏磁通，这两个漏磁通分别在一、二次绕组中感应出漏电动势和，同理，可用漏阻抗压降形式来表示，即

二次电流流过负载阻抗Z_L产生电压降二次电压，故

2.负载运行时的磁势平衡

变压器负载运行时各物理量参考方向如图1-13所示，从前面对变压器负载运行时电磁关系的分析可知，负载时作用于变压器磁路上的有和两个磁动势，根据图1-13所示的电流正方向和绕组绕向，作用于磁路上的合成磁动势为

合成磁动势产生了负载运行时的主磁通，在电源电压不变的情况下，变压器由空载到满载，感应电动势的变化甚微，铁心中的主磁通基本不变，铁心的饱和程度也基本不变。因此空载和负载时的励磁磁势基本相等，即。

式（1-31）还可写为

两边同时除以N₁，整理后得

式中 。

从式（1-33）可以看出，当变压器带负载运行后，一次电流可以看成由两个分量组成，其中一个分量是励磁电流分量，它在铁心中建立起主磁通；另一分量是与负载电流方向相反的分量，用来抵消负载电流所产生的磁动势，以维持铁心中的主磁通不变，所以又称为一次电流的负载分量。

由于在额定负载时，励磁电流分量只占一次电流很小的一部分，大概是一次额定电流I_1N的1%～5%，因此在分析变压器负载运行的许多问题时，都可以把励磁电流忽略不计，则有

上式是表示一、二次绕组内电流关系的近似公式，同时说明了变压器一、二次电流大小与变压器一、二次绕组的匝数大致成反比。由此可见，变压器不仅能起到变换电压的作用，而且也能够起到变换电流的作用。

3.负载运行时的电动势平衡

由图1-13所规定的各物理量正方向，利用基尔霍夫定律，可以分别列出负载运行时一、二次侧的电动势平衡方程式。

负载时一次侧的电动势平衡方程式与空载时基本相同：

二次侧电动势平衡方程式为

式中 R₂——二次绕组的电阻；

X_2σ——二次绕组的漏电抗；

Z₂——二次绕组的漏阻抗。

4.绕组折算

通过上述分析得出了变压器稳态运行时的电动势和磁动势方程式，利用这些方程式便能对变压器各个参数进行定量计算。但是要直接运用这些公式去求解仍然是比较困难的，这主要是因为变压器一、二次绕组的匝数不同，使得一、二次侧各物理量的数值相差往往较大，给计算带来困难。因此，为了简化变压器的分析计算，需要进行绕组的折算，通常是把二次绕组折算到一次绕组。绕组折算的原则为在不改变一、二次绕组物理量之间的电磁关系的前提下进行折算。

下面介绍二次侧各物理量的折算方法：

（1）电动势和电压的折算。在折算前后，变压器一、二次绕组的磁动势基本都不变，则主磁通也不会改变，因此，感应电动势的大小与绕组的匝数成正比，故有折算后的二次感应电动势为

同理，二次侧其他电动势和电压也按同一比例折算，即

（2）电流的折算。在将二次电流折算到一次侧时，应保持折算前后的磁动势不变，即，所以折算后的电流为

（3）阻抗的折算。阻抗折算必须遵循有功功率和无功功率不变的原则。因此

同理

从上述各量的折算结果可见，二次绕组折算到一次绕组时，电动势和电压乘以k，电流除以k，阻抗乘以k²。

综合前面的分析结果，可得变压器负载运行时经过折算后的基本方程式为

上面介绍的方法是将二次侧折算到一次侧，同理也可以把一次侧的物理量折算到二次侧。由式（1-42）可以看出，折算后的方程中已没有电压比k，计算比较简单，折算后也可以得到相应的变压器负载运行时的等效电路。

5.负载运行时的等效电路和相量图

根据变压器折算后的负载方程式（1-42），可以得出变压器的负载等效电路图，如图1-14所示，完全反映了变压器负载稳态运行状况。其中和是折算到一次侧的二次绕组的电阻及漏电抗；是经过折算后的负载阻抗。R₁和中的功率和分别反映一次绕组和二次绕组的铜耗；等效励磁电阻R_m中的功率反映变压器中的铁耗；是一次侧通过电磁感应传送给二次侧的视在功率，它是体现变压器一、二次能量传递的一个枢纽，有着很重要的意义。根据这些关系再去看等效电路就可以很直观地理解其运行状态。

图1-14是一种最常见的变压器等效电路，又称为“T”形等效电路，虽然能正确反映变压器负载运行的情况，但是它同时含有串联和并联的支路，计算比较复杂，所以尝试简化等效电路。在电力变压器中，励磁阻抗Z_m要比一次绕组阻抗Z₁大得多，根据串、并联原理，可以将励磁支路移到Z₁的左边，这样简化后分析起来就会容易很多，而对、和都不会引起太大的误差，这个电路称为“Γ”形等效电路，如图1-15所示。

在分析变压器许多负载方面的问题，例如二次绕组的端电压变化、变压器并联运行的负载分配等，由于励磁电流相对于额定电流较小，它对Z₁中的压降影响很小，因此在分析上述问题时常常可以把忽略不计，从而将电路进一步简化为如图1-1 6所示的电路，称为简化等效电路，只有一个串联阻抗Z_K，即

式中，；。

Z_K为短路阻抗，R_K为短路电阻，X_K为短路电抗，可以在短路试验中求出。在采用图1-16所示的简化电路后，分析将十分简便，而所得结果的准确度也能满足工程上的要求。

当需要在二次侧的电压基础上分析问题时，就应该用折算到二次侧的等效电路。一台变压器的阻抗，不论Z_K还是Z_m，从高压边或低压边看进去数值都是不同的，因此若用欧姆值来说明阻抗的大小，必须说明它是折算到哪一边的数值，或是在哪个电压基础上。如果高压相对低压的电压比是k，那么从高压边看进去的阻抗值是从低压边看的k²倍。

总的来说，折算法和等效电路法都是很重要的电路分析方法，它是分析不同绕组之间通过电磁感应来传递能量时的相互关系的常用方法，不仅用来分析变压器的问题，也可以用于其他电机的分析中。

按式（1-42）和图1-14，就可以画出变压器负载运行时的相量图（见图1-17）。假设给定条件是、、cosφ₂及变压器的参数R₁、X₁、、、R_m和X_m，画图的步骤是：

1）根据电压比k求出和，然后按比例画出相量和，以及他们的夹角φ₂。

2）在相量上加上漏阻抗压降和，就可以得到感应电动势，，主磁通超前。

3）励磁电流的大小为，相位落后于-E₁一个角度α=arctan。

4）有了和后，即可得到的相量。

5）在-E₁上加上一次绕组的漏阻抗压降和，就可以得到一次端电压，与之间的夹角φ₁是一次侧的输入功率因数角。