五、恨点不到头
新年到了，各位也许在做“掷状元红”的游戏吧。好，我的话就从“掷状元红”开始。
一把六颗骰子掷到碗里，它们叮当叮当地乱转，转到气困力竭，碰巧出现五个六和一个五，这叫作“恨点不到头”。真是可恨，这个名堂不过只能到手一个状元，若那一点到了头，六颗骰子都是六，便算全色，就不只到手一只三十二注的状元签了。所以全六比“恨点不到头”高贵得多。再说，若别人家跟着掷出一个名堂叫什么火烧梅花——五个红一个五——他就有权利把你已经到手的状元夺去，让你不过得到几分钟的空欢喜而已，所以红又比六高贵一些。
玩骰子的朋友们，哪怕赌的不过是香签棍，不过是小石子，输赢也是与各人的体面有关，所以谁都不想输，也就谁都希望红多，希望全六，然而它们是多么难出现啊！
不是吗？掷出一个红可以到手一个秀才，掷出两个红可以到手一个举人，然而偏偏总是一颗幺、两颗幺滚出来的时候多。玩骰子的朋友，都有过这样的经验吧！
是什么缘故呢？
骰子的构造就有些不可靠吗？故意做得叫红不容易出现吗？
不是，不是，你想，做骰子的人，并不是靠玩骰子赢钱过活的，他何苦替别人多费这样的心，难道还真有谁会感谢他吗？
那么，有神吧！
对，在咱们中国人看来，一定是这样的：想发财，敬财神；想生儿子，敬送子观音；想打胜仗，敬关二爷；想什么就敬管什么的神。玩骰子想赢，哪儿能没有神！果真有位骰子神吗？玩骰子的朋友，运气不好的时候，总掷不出名堂，两手捧着骰子拜揖，向着骰子呵气，这都是在求神助呀！
读《中学生》的朋友们，大约都念过一点儿洋八股，虽然不一定相信洋上帝和红毛耶稣，虽然深夜走到黑洞洞的坟场里，还不免毛骨悚然，但总不愿意相信什么神鬼了。那么，上面的回答或许是不值一笑的。但是，不相信神固然好，事实一样存在。若回答不出一个别的理由，硬叫别人不相信，谁肯服你！
这篇就是要离开了神权来说明这个事实。
先来一个极简单的例子，那最好就是猜钱。
一个人在桌子上把钱旋转起来，随手按下去，叫你猜那钱的上面是“麻的”还是“秃的”。这是一个小玩意儿，但也一样可赌输赢。
一个钱只有两面，一面麻的和一面秃的。所以任它乱转，结果出现麻的机会和出现秃的机会，同是偶然。在这偶然中若是只希望麻的或只希望秃的，那么，达到这希望的机会都只有一半。照数学上的说法，就是二分之一。二分之一这个数，在数学上称为转一个钱出现麻的面或秃的面的概率。
一个钱是两面，所以它转动的结果，“可能”出现的不同的样子有两个。你指定要麻的面或秃的面，那么就只有一面能给你“成功”。所以概率的基本原理是：一件事，在机会均等的场合，“成功数”对于“可能数”的“比”就是它的“概率”。
这个原理，有两点应当注意：第一，就是要在机会均等的场合。有些人常说，专门放赌的人，他的骰子里面灌有铅，所以赢的一面不容易滚出，这就是机会不均等。严格地说，事实上的机会均等是没有的。这正如事实上没有真正的圆，没有真正的直线，没有真正的平面一般，但这和我们讨论原理、法则没有关系。
第二点应当注意的，也可说是概率的基本性质，概率总是比1小。若等于1，那就成为必然的了，比如你将一个钱两面都涂上红，要转出红的面，那必然可以转出来。
除此之外，还有一点也很重要，就是概率，我们按照理论计算出来，要在数目很大的时候才能和事实相近，实验的次数越多，相近的程度也就越大。用一个钱转两三次，转出来的也许全是麻的面，或全是秃的面，但若转到一千次、一万次、十万次，你就可以看出麻的面或秃的面出现的次数，渐渐近于二分之一。赌场中有句俗话说：“久赌必输。”这就是因为成功的概率天生就比1小，赌的次数越多，这概率越准。（这只是大概的说法，真要讨论赌业的问题，这还不够。）
成功的概率比1小，反过来，失败的概率也比1小，但它俩的和却恰好等于1，这很容易想明白，用不着再说明了。
照转钱的例子来看掷骰子：一颗骰子有1、2、3、4、5、6六面，所以掷到碗里“可能”出现的样子有6。若你指定要的是红（4），那么成功的数只是1，所以它的概率便是1对6的比，只有6分之1；而失败的数，却是6分之5。两个相加等于6分之6，恰好是1。你若老和别人赌红，久赌你当然输。你要想赢也可以，只要你的钱多到用不尽。那么，比如你第一次赌一个钱，你也只想赢个对本，失败了；第二次你就赌两个，再失败；第三次赌四个……总之，把以前输的加上一倍去赌，保证有一天能把钱赢到手。然而，朋友！要紧的是你有那么多钱，不然别人的概率是6分之5，你的只是6分之1，结果总是要你脱了衣服押在那里的。
譬如我们的骰子是特制的，有一面是2，两面是3，三面是4，那么，掷到碗里可能出现的数仍然是6，出现2的概率便是6分之1；出现3的，是6分之2，即3分之1；出现4的是6分之3——2分之1。
再举一个例子：譬如一只口袋里面只有黑白两种棋子，黑的数目是p，白的是q，那么随手摸一颗出来，这颗棋子是黑的，它的概率是p/p+q。反过来它要是白的，这概率便是q/p+q。两个相加恰好是p+q/p+q，等于1。
看了这几个例子，概率的概念和基本原理大概可以明了了吧！但是凭这一点简单的原理，还不能说明我们所提出的问题，原来上面的例子，说到钱只有一个，说到骰子也只讲的是一颗，就是最后的例子，口袋里棋子的数目虽没有什么明确的规定，这只相当于一颗骰子所有的面数，而我们所说到的还只是摸出一颗黑棋子或一颗白棋子的概率。现在，我们进一步来看较复杂的例子，比如用两个钱转，要计算出现一个麻和一个秃的概率；又比如把两颗骰子掷到碗里，要计算它出现全红的概率，以及由上面的口袋中连摸两颗棋子若要全是白的，我们来计算它的概率，这都较为复杂了。
暂且将这三个问题丢下，我们先来看另外的一个例题。比如，一只口袋里有红、白、黑、绿四种颜色的棋子，红的3颗、白的5颗、黑的6颗、绿的8颗，我们伸手在袋里任意摸出一颗来，要它是红的或黑的，这样，它的概率是多少呢？
第一步，我们知道，这只口袋里面所有的棋子总共是：
3+5+6+8=22
所以随手摸一颗可能出现的样子是22。
在这22颗棋子当中只有3颗是红的，所以摸一颗红的出来的概率是22分之3。
同样的道理，摸一颗黑的出来的概率是22分之6。
无论红的出现或黑的出现，我们的目的都算达到了，所以我们成功的概率，应当是它们俩各自的概率的和，就是：
一般来说，比如那口袋里有A1、A2、A3……种棋子，各种的数目是a1、a2、a3……那么，摸一颗棋子出来是A1的概率便是a1/a1、a2、a3……，或是A2、A3……的概率是：a2/a1、a2、a3……，a3/a1、a2、a3……若我们所要的是某几种中的一种出现，那么，成功的概率就是这几种各自出现的概率的和。
另举一个例子，比如一只口袋里只有白棋子5颗，黑棋子8颗，我们连摸两次，第一颗要是白的，第二颗要是黑的（假如第一颗摸出仍然放回去），这个成功的概率有多少呢？
这个问题，乍看去好像和前一个没有什么分别，但是仔细一想，完全不同。口袋中的棋子是5加8总共13颗，所以第一次摸出白棋子的概率是13分之5，第二次摸出黑棋子的概率是13分之8，这都很容易明白。但现在的问题是：我们成功的概率是不是13分之5和13分之8的和呢？它们两个的和恰好是1，前面已经说过，概率总比1小，若等于1那就成为必然的了。事实上，我们的成功不是必然的，可见照前例将这两个概率相加是谬误。那么，怎样求出我们成功的概率呢？
仔细思索一下，这两个例子，我们成功的条件虽然都是两个，但在这两个例子中，两个条件的关系却大不相同。前一个例，两个条件——出现红的和出现黑的——无论哪个条件成立，我们都成功。换句话说，就是“只需”有一个条件成立就行；在这第二个例子中却“必须”两个条件——第一颗白的，第二颗黑的——都成立。而第一次摸出的是白子，第二次摸出的还不一定是黑子，因此，在第一个条件成功的希望当中还只有一部分是完全成功的希望。按照上例的数字说，第一个条件的成功概率是13分之5，而第二个条件的成功的概率是13分之8。所以我们全部成功的概率，在13分之5当中还只有13分之8，就是：
因为这两种概率的性质绝然不同，在数学上就给它们各起一个名字，前一种叫“总和的概率”，后一种叫“构成的概率”。前一种是将各个概率相加，后一种是将各个概率相乘。前一种的性质是各个概率只需有一个成功就是最后的成功；后一种的性质是各个概率必须全都成功，才是最后的成功。
事实上，我们所遇见的问题，有些时候，两种性质都有，那就得同时将两种方法都用到。假如第二个例子，不是限定要第一次是白的，第二次是黑的，只需两次的颜色不同就可以。那么，第一次是白的，第二次是黑的，它的概率是5/13×8/13；而第一次是黑的，第二次是白的，它的概率是5/13×8/13。这都属于构成的概率的计算。但无论是先白后黑，或先黑后白，我们都算成功。所以我们成功的概率，就这两种情况说，属于总和的概率的计算，而我们所求的数是：
概率的计算是极有趣味而又最需要小心的，对于题目上的条件不能掉以轻心，但这里不是专门讲它，所以我们就回到开始的问题上去吧！
第一，六颗骰子掷到碗里，滚来滚去，究竟会出现多少花头呢？关于这个问题，先得假定一个条件，就是我们能够将六颗骰子辨别得清楚。照平常的情形，只要掷出一颗红，就是秀才，无论这颗红是六颗骰子当中的哪一颗滚出来的，这样，数目就简单了。
依了这个假定，照排列法计算，我们总共可以掷出的花头，应当是6的6乘方，就是46656种；但若六颗骰子完全一样，不能分辨出来，那就只有 7776 种了（66÷6）。
在这46656种花样当中，出现一颗幺的概率有多少呢？我们既假定了六颗骰子是可以辨得清楚的，那么无妨先从某一个骰子出现幺的概率来讨论，因为我们只要一颗幺，所以除了这一颗指定要它出现幺以外，都必须滚出其他的五面来才可以成功。换句话说，就是其余的五颗骰子必须不出现幺，照概率的基本原理，指定的骰子出现幺的概率是6分之1，其他五颗骰子不出现幺的概率每个都是6分之5。又因为最后成功需要这些条件都同时存在才行，所以这应当是构成的概率和计算法，它的概率便是：
但是，无论六颗骰子当中的哪一颗滚出幺来，都合于我们的要求，所以我们所求的概率，应当是这六颗骰子每一个出现幺的概率的总和。那就等于6个46656分之3125相加，即：
我们一看这数字差不多接近二分之一，所以这概率算是比较大的。这不足为奇，事实上我们掷六颗骰子到碗里，总常看见有幺。
依照这个计算法，我们可以掷出两个幺来的概率是：
照推下去，可以掷出3、4、5、6个幺的概率是：
将这六个概率一比较，可以清楚地看出来，概率依次减少，后一个总只有前一个的1/5，而六颗幺的概率比五颗幺的只有1/30，比一颗幺的不过13/18750。所以事实上六颗骰子掷到碗里滚出全色的幺来是极少有的。
在理论上，一颗骰子出现1、2、3、4、5、6的机会是均等的，所以出现一颗红的概率也是3125/7776，并不比出现一颗幺难。同样的理由，出现五颗6或五颗红的概率也和出现五颗幺的一样，仍是5/7776，而全六或全红的概率也只有1/46656。
这就可以再进一步来看“恨点不到头”和“火烧梅花”的概率了。它不但要五颗出现6或红，而且还要剩下的一颗出现的是5。照通常的道理来看，这第二个条件的概率当然是1/6。但在这里有一点要注意，1/6这个概率是由一颗骰子有六面来的。然而就第一个条件讲，已经限定是五颗6或红，这颗就绝不能再是6或红。因此六面中得有一面需先除掉，只有五面是合条件的，所以第二个条件的概率应当是1/5，而那两个名堂各自出现的概率便是：
从这计算的结果，我们可以知道全色比五子出现的概率小，我们觉得它难出现，这很合理。至于把红看得比幺高贵些，只是一种人为的约束，并不是它比幺难出现，到此我们的问题就算解决了。
也许，还有人不满足，因为我们所得出的只是客观的理论，和主观的经验好像不大一致。我们将骰子掷到碗里时，满心不愿意幺出现，而偏偏常常见到的都是它。要解释这疑团倒很容易，你只需去试验几次，改过来，出现一个幺得一个秀才，出现两颗幺得一个举人。你就可以看出来，红又会比幺容易出现了，这是不是因为骰子也和我们人一样有意志，而且习惯为难我们呢？
说骰子也有意志，而且还习惯为难我们，这似乎太玄妙了，比有鬼神在赌场上做主宰还更玄妙些。那么，只好说是我们的经验错了！
经验怎么会错呢？其实说它没有错，也不是不可以，这个经验纯属主观的罢了。我们一进赌场，哪怕是逢场作戏，并非真赌什么输赢，但我们总想比别人都得意。因此，我们的注意力当然只集中到红上面去，它的出现就使我们感到欣喜。幺的出现是我们不希望的，所以在我们心里，对它的感情恰好相反，因为厌恶它，仇人相见分外眼明，就觉得它常常都滚出来了。
归结起来，我们的经验是生根在感情上的。倘若我们能够耐下心来，把各个数每次出现的数目都记下来，一直记到几百千万次，再将它们统计一下，这才是纯理性的、客观的。这个经验一定和我们平常所得到的大相悬殊，而和我们计算的结果相近。所以科学的方法第一步是观察和实验，要想结果可靠，观察者和实验者的头脑必须保持冷静。如果只根据客观的事实记录，毫不掺杂一点儿主观的情感或偏见，这是极难的。许多大科学家，也常常因为自己的情感和偏见耽误他们的事业！
在我们的日常生活中，又不能真是冷冷静静地过日子，每次遇见一件事都先看明白，打算清楚，再按部就班地去做。季文子要三思而后行，孔老先生已觉得他太过分了，只说再思就可以。由此可见，我们的生活靠理性的成分少，靠直觉和情感的时候多。我们一天一天地这么生活下来，不知不觉中已养成一个容易动感情和不能排除偏见的习惯，一旦踏进科学的领域，怎么能不失败呢？
像掷骰子这类玩意儿，我们可以借数字将它的变化计算出来，使我们得到一个明确的认识。但别的现象，因为它本身的繁复，以及数学和其他的科学还并没有达到充分进步的境界，我们就没法去得到明确的认识。因而在研究的时候，要除去情感和偏见就更不容易了。
类似于玩骰子的事，我们要举起例来，真是俯拾即是，不胜枚举，这里再来随便说几个，以证明我们的日常生活是多么不理性。
比如你家里有人生了病，你正着急万分，有一位朋友好心来看望你，他给你介绍医生，他给你说单方。你听他满口说出的都是那医生医好了人的例和那单方的神效的奇迹。然而你信了他的话，你也许不免要倒一次大霉。你将讨厌他吗？他是好心，他和你说的也都不是欺骗的话，只怪你不会问他那医生，会有多少人上过那单方的当！其实，你真的去问他，他也回答不上来，他不是有意来骗你，只是他不会注意到。
又比如前几年，上海彩票很风行的时候，你听那些买彩票的人，他们口里所讲的都是哪一个穷困的读书人东拼西凑地买了一张，就中了头彩。不然就是某个人也得了大奖，但你绝不会听到他们说出一个因买彩票倒霉的人来。他们一点儿不知道吗？不是的，也许他们自己就连买了好几次不曾中过，但是这种事实不利于他们，所以不高兴留意，也就不容易想起来。即使想起来了，他们总还想着即将到来的一次不会就和以前一样。
确实，在我们的日常生活中，我们喜欢保留在记忆里的，总是有利于我们的事实。因为这样，我们永远就只会打如意算盘。会有例外吗？那就是经过不知多少次失败的人，简直丧了胆，他的记忆里，又全都是失败的事实了。然而无论哪一种人，相同的都只是偏见。
我们的生活是否应当完全受冷静的、理性的支配？即使应当，究竟有没有这样的可能？这都是另外的问题，姑且存而不论。只是现在已经有许多人都觉得科学重要，竭力地在鼓吹着，那么科学的方法当然是根本的问题。别人的科学发达，并不是从地上捡来的，也没有什么神奇奥妙，不过是他们能够应用科学方法去整理每天呈现在他们眼前的事象而已。
要想整理事象，第一步就必须先将那事象看得明了、透彻。偏见和感情好比一副着色的眼镜，这副眼镜架在鼻梁上面，两眼就没法把外面的真实色相看得清楚。所以踏进科学的领域的第一步，是观察和实验。在开始观察和实验之前，必须得先从鼻梁上将那副着色的眼镜扯下来。这自然不是一件容易的勾当，但既然需要它，不容易也得干！
观察和实验说来很简单，只要去看、去实验就好了，但真能做得好，简直可以说已踏到了科学的领域一半。即使我们真能尽量地除去主观的成见和情感，有时因为所观察和所实验的范围太窄了，也一样得不出普遍的、近于真实的结果，容我再来跑一次野马说一段笑话吧！
从前，有一户人家小少爷生了病，要去请医生，因为他们家的丫头的眼睛能够看得见冤鬼，主人便差了她出去。临出门时，嘱咐她看见那医生的后面跟着的冤鬼最少的，便请来。她到街上走来走去果然看见了一位背后只跟着一个冤鬼的医生，便请了回家，并且将她看见的情形背着医生告诉了主人。主人非常高兴，对那位医生十二分地尊敬，和医生谈了不少的话，最终问他行了几年医，他的回答是：“今天上午刚开始，只医过一个人。”
朋友！这笑话有趣吗？我们研究科学的时候，最痛苦的是没有可以看清冤鬼的眼睛，但即使有，就不会错吗？
写这篇的意思，原不过是想说明在日常生活中，我们容易被眼前的事实欺骗，将真实的事象掩盖。因为说起来一时觉得方便，就借了掷骰子来举例。写到这里觉得这有个大缺点，就是前面说的，都不是观察和实验的结果，只是一种原理的演绎。倘使真有人肯将六个骰子丢在碗里掷，掷过几十万次，每次的情形都记录下来，在研究上，那个材料比这单从理论推演而来的更有意义些。
自然，我不是说前面的推论还有什么可怀疑的地方，必须要有观察和实验的结果来客串镖师！倘若我们真要研究别的问题的时候，最好还是先从观察和实验的功夫做起。依靠现成的理论来演绎，一不小心，我们所依靠的理论就先统治着我们，成为我们的着色的眼镜，不是吗？在科学的研究中，归纳法比演绎法更重要啊！
什么是归纳法，下次再谈吧！