1.5 基尔霍夫定律

分析电路时除需了解各元件特性即元件的伏安关系（VCR）外，还应掌握它们相互连接时给支路电流和电压带来的约束关系—电路的拓扑约束。表示这类约束关系的是基尔霍夫定律。

基尔霍夫定律是集中参数电路的基本定律，它包括基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律。为便于讨论，先介绍几个名词。

1.5.1 电路的几个常用名词

1.支路

一个二端元件或同一电流流过的几个二端元件互相连接起来组成的分支称为支路。在图1.21中共有3条支路：aa′cb、ab和adb。

2.节点

电路中3条或3条以上支路的汇集点称为节点。通常把短路线两端看成一个节点。在图1.21中共有两个节点：a和b。c、d不算为节点，a′与a属于同一节点。

3.回路

电路中由若干条支路组成的，其中每一个节点与两条支路（而且只与两条支路）相连接的闭合路径称为回路。在图1.21中共有3个回路：abca′a、adba、adbca′a。

4.网孔

网孔是回路的一种。将电路画在平面上，在回路内部不另含有支路的回路称为网孔。如图1.21中abca′a和adba为网孔，而adbca′a不为网孔。

1.5.2 基尔霍夫电流定律

基尔霍夫电流定律（KCL）是用来确定汇集在同一节点上各支路电流间的关系的。由于电流的连续性，电路中任一点（包括节点在内）均不能堆积电荷，因此，在任何时刻流出节点的电流之和应该等于流入节点的电流之和。例如，对图1.21所示电路中的一个节点 a，按各支路电流的参考方向，可以写出

上式可写成

归纳为基尔霍夫电流定律（KCL）：在集中参数电路中，任何时刻，对任一节点，所有支路电流的代数和恒等于零。其一般数学表达式为

式（1-27）称为基尔霍夫电流方程或节点电流方程。在该式中，规定流出节点的电流为正，流入节点的电流为负。当然，也可作相反的规定，其结果是等效的。按电流的参考方向列写方程，不必考虑电流的实际方向。因为当电流的实际方向与参考方向相反时，电流为负值，相当于自动改变了电流的正负号，其结果是等效的。

也可以把基尔霍夫定律适用的场合，由节点推广到电路中的任一假想的封闭面（称为广义节点）。例如，图1.22所示电路共有4个节点，6条支路，设各支路的电流参考方向如图1.22所示，根据KCL：

对节点a −i1+i4−i6=0

对节点b −i2−i5+i6=0

对节点c −i3−i4+i5=0

将以上三式相加可得

此式表明，对任意封闭面 S，流入（或流出）封闭面的电流代数和等于零。因为对一个封闭面来说，电流必须也是连续的，所以通过该闭合面的电流的代数和也等于零。这就是说，流出封闭面的电流等于流入封闭面的电流。

对于图1.23左右两部分电路仅由上面一条导线相连接，则根据KCL可知流过导线的电流i1必然为零。当有上下两条导线相连接时，必有

KCL给电路中的支路电流加上了一个线性约束关系，以图1.21节点a为例，有i2=i1+i3，若已知i1和i3的量值，i2的量值立即随之而定，不能自由选取任何其他的量值，也就是说式（1-26）为这3个电流施加了一个约束关系，称i1、i2、i3这三个电流线性相关。

还须指出，基尔霍夫电流定律与元件的性质无关，基尔霍夫电流方程或节点电流方程的具体形式，仅仅取决于支路与节点的连接关系和支路电流的参考方向。

例1.7若图1.24中的电流i1=5A,i2=4A,i3=−3A，求i4。

解按图1.24中电流的参考方向，设流出节点的电流为正，流入节点的电流为负，运用KCL有

即

若设流出节点的电流为负，流入节点的电流为正，运用KCL有

即

由此例可见，流出为正还是流入为正可任意假设，不影响计算结果。但在一个KCL方程中只能是一种假设。另外，应该特别强调在运用KCL时要涉及两套符号，一套是KCL方程中各项电流i的正负号，它们取决于电流参考方向与节点的相对关系，是选定电流流出节点为正还是流入节点为正；另一套是各项中电流i本身数值的正负号（电流为代数量），它取决于电流的实际方向与其参考方向一致与否。两者不要混淆。

此例结果i4=−2A，表示i4的大小为2A，其实际方向与参考方向相反。

例1.8图1.25所示为一个晶体三极管分压式偏置放大电路，已知IB=40μA,β=100,IC是IB的β倍，I2是IB的2倍，求I1、IE和IS。

解对图1.25各节点分别运用KCL可得

虚线框内的晶体三极管是一个广义节点，仍然符合KCL，有

1.5.3 基尔霍夫电压定律

基尔霍夫电压定律（KVL）是用来确定电路任一回路中各支路电压之间的关系的。由于电位的单值性原理，因此，在任一时刻，从任一节点出发经过若干支路沿着一个回路绕行一周再回到原点，电位有升有降，电位的总降低量等于电位的总升高量，原节点的电位不会发生变化。例如，对图1.21所示电路中的一个回路abca′a各元件电压的参考极性，按顺时针方向绕行，经过电阻R1和R2时，电位降低，故得电位的总降低量为u1+u2，经过电压源时，电位升高，故得电位总升高量为uS1。因而可以写出

式（1-28）可写成

归纳为基尔霍夫电压定律（KVL）：在集中参数电路中，任何时刻，沿任一回路各支路电压的代数和恒等于零。其一般数学表达式为

式（1-29）称为基尔霍夫电压方程或回路电压方程。在该式中，若按顺时针方向绕行，支路电压的参考方向与回路绕行方向一致时（从“+”极性指向“−”极性）电压取正号，相反时（从“−”极性指向“+”极性）该电压取负号。当然，也可按逆时针方向绕行来列方程，其结果是等效的。按电压的参考方向列写方程，不必考虑电压的实际方向。

也可以把基尔霍夫电压定律适用的场合，由回路推广到电路中的任一假想回路。以图1.26所示的两个电路为例，根据基尔霍夫电压定律列出式子。

对图1.26（a）所示电路，从a点出发，沿着假想回路aboa顺时针方向绕行一周，按图中选定的各电压的参考方向，有

或

对图1.26（b）所示的电路可列出

或

这就是一段有源支路欧姆定律的表达式。

上例表明电路中任意两点间（如a、b）的电压等于该两点间沿任意路径各元件电压的代数和，可见KVL是电压与路径无关这一性质的反映。

KVL给回路内的各支路电压加上了一个线性约束关系。以图1.21为例，对回路abca′a有u1+u2=uS1，若已知u1、uS1的量值，u2的量值立即随之而定，不能自由选取任何其他的量值，也就是说式（1-28）为这3个电压施加了一个约束关系，称u1、u2、uS1这3个电压线性相关。

应当指出，基尔霍夫电压定律也与元件的性质无关，基尔霍夫电压方程或回路电压方程的具体形式仅仅取决于回路所关联的支路以及回路的绕行方向和回路中各支路电压的参考方向。

根据电荷守恒原理，电荷既不能创造，也不能消灭，这在电路中体现为KCL。而 KVL是能量守恒原理在电路中的一种体现，也就是电位单值性原理的反映。我们知道，电压的大小是度量在电场中使电荷移动的电场力所做的功的能力。电场力推动单位正电荷沿任一闭合回路绕行一周回到原来的出发点，系统的电荷分布状态及电场能量分布状态不变，电场力所做的功应等于零。即单位正电荷从一个节点出发经过某一闭合回路绕行一周回到原来的节点时所失去的能量必等于所获得的能量。

总结前面讲过的内容：KCL规定了电路中任一节点处各支路电流必须服从的约束关系，而KVL则规定了电路中任一回路内各支路电压必须服从的约束关系。这两个定律仅与元件相互连接的方式有关，而与元件的性质无关，所以这种约束称为结构约束或拓扑约束。还有一类约束称为元件约束，即元件的伏安关系（VCR），例如，线性电阻元件的欧姆定律u=Ri，它决定于元件的性质，而与元件的连接方式无关。一切集中参数电路的电压、电流无不为这两类约束所支配，它们是分析计算集中参数电路的基本依据，也是贯穿全书的一条基本线索。

例1.9电路中有一回路如图1.27所示，各支路的元件是任意的，已知uab=5V,ubc=−4V,uad=−3V，求电压ucd和uca。

解选回路abcda绕行方向为顺时针，各支路电压参考方向与回路绕行方向一致的取正号，反之取负号，按KVL可得

即

得

对假想回路abca也可运用KVL，得

即

得

显然，回路绕行方向为顺时针还是逆时针可以任意选定，各支路电压参考方向与回路绕行方向一致时取正还是取负也可以任意选定，不影响计算结果，但在一个KVL方程中只能是一种假定。另外，应该特别强调在运用KVL时要涉及两套符号，一套是KVL方程中各个电压u的正负号，另一套是各个电压u本身数值的正负号（电压为代数量）。前者取决于各支路电压u的参考方向与选定的回路绕行方向是否一致，后者取决于电压的实际方向与参考方向是否一致。两者切不可混淆。

例1.10电路如图1.28所示，求开路电压Uab。

解对网孔1列KVL方程（支路参考方向和回路绕行方向如图1.28所示），得

对假想回路网孔2列KVL方程，得

由此例得出求电路中任意两点间电压的常用方法，如求a、b两点间电压，自a点始，沿着任何一条路径绕行至b点沿途各支路电压的代数和即为电压uab。

例1.11电路如图1.29所示，求通过两电压源的电流IS1和IS2以及两电流源的端电压US1和US2。

解对节点1运用KCL得

再对节点2运用KCL得

对回路3453运用KVL得

再对回路14321运用KVL得

可见，虽然电压源的电流和电流源的端电压均视外部电路而定，但其值可根据已知外部条件分别按基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律求出。再举一个例子，若欲求图1.21电路中电流源iS3的端电压u4，对回路adba运用KVL，显然有u4=u3+u2=R3i3+R2i2。

例1.12图1.30所示为单臂电桥电路，R1、R2、R3和R4为4个桥臂电阻，一条对角线支路接检流计，其电阻为Rg，另一条对角线支路接电压源US。当检流计的指示为零时，电桥达到平衡，试推导电桥的平衡条件。

解如检流计指示为零，即电阻Rg支路没有电流通过，可以把这条支路断开，即作为开路。按KCL，对节点b、d分别得

又因当电桥平衡时，Rg中没有电流，则只要Rg为有限值，该支路端电压为零，即 b、d两节点等电位，可以把这两点短路。按KVL，对回路abda、bcdb分别有

或

把上两式相比，再将电流关系式代入，得

或

这就是电桥平衡的条件，它表明电桥平衡时两个相对桥臂电阻的乘积彼此相等。

由平衡电桥电路的分析可以得出如下普遍适用的结论。

（1）电路中已知电流为零的支路（或导线）可以断开。

（2）电路中已知电位相等的点可以短接。

【练习与思考】

1.5.1 电路如图1.31所示，已知节点a的KCL方程为

试标出i2、i3和i4的参考方向。

1.5.2 电路如图1.32所示，已知此回路的KVL方程为

试标出u2、u3和u4的参考极性

1.5.3 求图1.33（a）、图1.33（b）、图1.33（c）所示电路中的未知电流。

1.5.4 求图1.34所示电路中的U1、U2、U3。