1.2 实验数据的处理

1.2.1 测量误差

1．绝对误差和相对误差

在科学实验与生产实践的过程中，为了获取被研究对象特征的定量信息，必须准确地进行测量。在测量过程中，无论所用仪器多么精密，方法多么完善，实验者多么细心，所测结果总不能完全与被测量的真实数值（称为真值）一致。测量结果（测量值）和待测量的客观真值之间总存在一定差别，即测量误差。误差可用绝对误差和相对误差来表示。

（1）绝对误差。若被测量的真值为X0，测量仪器的指示值为X，则绝对误差为

从式（1-1）可以看出，绝对误差ΔX既有大小，又有符号和量纲。

【例1-1】电路的电压真值是X0=5V，仪表指示值为4.89V，则

绝对误差为

ΔX=X−X0=5V−4.89V=0.11V

说明

在某一时间及空间条件下，被测量的真值X0虽然是客观存在的，但一般无法测得，只能尽量逼近它。故常用高一级标准测量仪器的测量值A代替真值X0。

提问：是不是绝对误差越大表示电路的测量值的准确度越低呢？

（2）相对误差。

【例1-2】测100V的电压和测10V电压时，它们的绝对误差分别如下：

100V电压的绝对误差是：ΔX1=+2V，10V电压的绝对误差是：ΔX2=+0.5V。很显然， ΔX1＞ΔX2。

实际上：ΔX1只占被测量的2%，而ΔX2却占被测量的5%，显然后者的误差对测量结果的影响相对较大。

由例1-2可以看出绝对误差值的大小往往不能确切地反映出被测量的准确程度。因此，工程上常采用相对误差来比较测量结果的准确程度。相对误差是指绝对误差ΔX与被测量实际值X的百分比值，即

由式（1-2）可以看出相对误差是无量纲单位，有数值大小之分。在实际工程上常采用相对误差来比较测量结果的准确程度。

显然上例中γ1=2%，γ2=5%，即前者的精确度要高于后者。

2．测量误差的分类

测量误差根据它们的性质可分为三大类，即系统误差、偶然误差和过失误差。

（1）系统误差。在规定的测量条件下，对同一量进行多次测量时，如果误差值保持恒定或按某种确定规律变化，则称这种误差为系统误差。例如，电表零点不准，温度、湿度、电源电压等变化造成的误差便属于系统误差。

系统误差产生的原因如下所述。

①工具误差：测量时所用的装置或仪器仪表本身的缺点而引起的误差。

②外界因素影响误差：由于没按照技术要求使用测量工具，或由于周围环境不合乎要求而引起的误差。

③方法误差或理论误差：出于测量方法不完善或测量所用理论根据不充分而引起的误差。

④人员误差：由于测试人员的感官、技术水平、习惯等个人因素不同而引起的误差。

（2）偶然误差。偶然误差也称随机误差。在测量中，即使已经消除了引起系统误差的一切因素，而所测数据仍会在末一位或末二位数字上有差别，这就是偶然误差。这种误差主要是由于各种随机因素引起的，如电磁场的微变、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人员的心理或生理的某些变化等。

偶然误差有时大，有时小，有时正，有时负，无法消除，无法控制。但在同样条件下，对同一量进行多次测量，可以发现偶然误差是服从统计规律的，因此只要测量的次数足够多，偶然误差对测量结果的影响就是可知的。通常在工程测量中，可以不考虑偶然误差。

（3）过失误差。过失误差主要是由于测量者的疏忽造成的。例如，发生未察觉的异常情况等。这种误差是可以避免的。一旦有了过失误差，应该舍弃有关数据重新测量。

（4）精密度和准确度。精密度是指所测数据互相接近的程度，准确度是指所测数据与真值接近的程度。精确度是精密度和准确度两者的总称。在一组测量中，精密度可以很高而准确度不一定高。但准确度高的测量，其精密度一定高，即精确度高。可以用射击的目标——靶子上的着弹点的分布情况来说明。如图1-14（a）所示，弹着点分散不集中，表示精密度差，准确度差，即精确度差。如图1-14（b）所示，弹着点集中说明精密度高，但偏离靶心说明准确度差。如图1-14（c）所示，弹着点都集中在靶心，表示精密度、准确度都高，即精确度高。

为了减小误差提高测量的精确度，应采取以下措施。

①避免过失误差，去掉含有过失误差的数据。

②消除系统误差。

③进行多次重复测量，取各次测量数据的算术平均值，以削弱偶然误差的影响。

注意

尽量减小系统误差是进行准确测量的条件之—，在测量过程中，误差是时时刻刻存在的，不能消除和避免，但是我们可以通过一定的方法来减小某些误差的产生。

消除系统误差的方法如下所述。

①对误差加以修正：在测量之前，应对测量所用量具、仪器、仪表进行检定，确定它们的修正值。

②消除误差来源：测量之前应检查所用仪器设备的调整和安放情况。例如，仪表的指针是否指零，仪器设备的安放是否合乎要求，是否便于操作和读数，是否互相干扰等。

③直接测量中误差的估计：例如，测得某电压为100V，若它的相对误差为±1%，那么这个测量结果是比较准确的。若其相对误差达到±50%，那么这个测量数据就毫无意义了。

1.2.2 实验数据的处理

由于存在误差，所以测量数据总是近似值。实验的数据处理就是从测量所得到的原始数据中求出被测量的最佳估计值，并计算其精确程度。通过误差分析对测量数据进行加工、整理，去粗取精，去伪存真，最后得出正确的实验结果，必要时还要把测量数据绘制成曲线或归纳成经验公式。

1．有效数字的组成

在记录和计算数据时，必须注意有效数字的正确取舍。不能认为一个数据中小数点后面的位数越多，这个数据就越难确；也不能认为计算测量结果中保留的位数越多，准确度就越高。因为测量所得的结果都是近似值，这些近似值通常都用有效数字的形式来表示。

有效数字是指从左边第一个非零的数字开始，直到右边最后一个数字为止的所有数字，它通常由可靠数字和欠准数字两部分组成。一般在有效数字中，末尾一位数字是估计数字，末尾以前的数字是准确数字，准确数字和欠准数字都是测量结果不可少的有效数字。

例如，电路中测得的电压是U=5.234V，则它有4位有效数字，分别由5、2、3、4有效数字组成，其中末位数字是4，该数字为欠准数字，5、2、3三位数是准确数字。

提问：在某次测得电路中的频率数值为f =0.0234MHz，请问它的有效数字是几位，是哪些数字。

2．有效数字的正确表示方法

有效数字的位数应与实验条件相关，其位数该如何取舍，依据以下规则进行。

（1）有效数字中只应保留一位欠准数字，因此在记录测量数据时，只有最后一位有效数字是欠准数字。这样记取的数据，表明被测量可能在最后一位数字上变化±1单位。

【例1-3】有一只刻度为50分度、量程为50V的电压表测量电压，测得电压为41.6V。有几位有效数字，哪些数字是准确的，哪些数字是欠准确的，测量结果如何表示。

解 该结果是用三位有效数字表示的，前两位数字是准确的，而最后一位是欠准的。因为它是根据最小刻度估读出来的，可能有±1V的误差，所以测量结果可表示为（41.6±1）V。

（2）在欠准数字中，要特别注意0的情况。有的时候，尽管测得的数值相同，但是由于误差范围不一样，其结果也是不同的。

【例1-4】测量某电阻的阻值结果是13.600kΩ，表明前面4个位数1、3、6、0是准确数字，最后一位数0是欠准数字，其误差范围为±0.001kΩ。

若将测量数值改为13.6kΩ，则表明前面两个位数1、3是准确数字，最后一位6是欠准数字，其误差范围为±0.1kΩ。

由此可见这两种写法，尽管表示同一数值，但实际上却反映了不同的测量准确度。如果用10的幂来表示一个数据，10的方幂前面的数字都是有效数字。

【例1-5】测得某阻值13.60×103Ω，则它的有效数字为1、3、6、0，共计4位。

（3）π、等常数，具有无限位数的有效数字，在运算时可根据需要取适当的位数。

（4）当测量误差已知时，测量结果的有效数字位数应取得与该误差的位数相一致。

【例1-6】某电压测量结果为5.473V，若测量误差为±0.05V，则该结果应改为（5.47±0.05）V。

3．有效数字的运算

当测量结果需要进行中间运算时，有效数字位数保留太多使计算变得复杂；而有效数字保留太少又可能影响测量精度。究竟保留多少位才恰当，原则上取决于参与运算的各数中精度最差的那一项。一般取舍规则如下所述。

（1）加减运算。加减运算时，各数据的处理是以精度最差的数据为准，也就是小数点后面有效数字位数最少的数据（如无小数点，则为有效位数最少者）。因此，在运算前应将各数据小数点后的位数进行处理，使之与精度最差的数据相同，然后再进行加减运算。

【例1-7】某电压测量结果分别为U1=5.47V、U2=0.0121V、U3=25.645V。

解 U1、U2、U3的小数点后分别是2位、4位和3位有效数字，依据取最少原则，即取小数点后2位数据。则U1=5.47V、U2=0.01V、U3=25.64V，则电压相加的结果应改为U=U1+U2+U3=5.47V+0.01V+25.64V=31.12V。

（2）乘除运算。乘除运算前仍然要对各数据进行处理，仍以有效数字位数最少为准，但与小数点无关。所得积、商的有效数字位数取决于有效数字位数最少的那个数据。

【例1-8】某电压测量结果分别为U1=0.0121V、U2=1.05782V、U3=25.645V。

解 U1、U2、U3的有效数字分别是3位、6位和5位有效数字，依据取有效数字最少原则，U1的有效数字最少，为3位。则对另外两个数据进行处理，则U2=1.05V、U3=25.6V。则电压相乘的结果应为U=U1×U2×U3=0.0121×1.05×25.6V=0.325248V≈0.325V。

若有效数字位数最少的数据中，其第一位数为8或9，则有效数字位数应多计一位。

【例1-9】某电压测量结果分别为U1=0.0921V、U2=1.05782V、U3=25.645V。

解 U1、U2、U3的有效数字分别是3位（第一位数字是9）、6位和5位有效数字，U1的有效数字最少，为3位，但是第一位数字是9，可多取一位，即4位有效数字。则对另外两个数据进行处理，则U2=1.057V、U3=25.64V。

（3）乘方及开方运算。乘方及开方运算规则是运算结果应比原数据多保留一位数字。

【例1-10】数值25.6有3位有效数字，求对其乘方和开放运算的结果数值应取4位。

乘方结果：25.6乘方结果为25.62=655.36 =655.4（四舍五入法则）。

开方结果：25.6开方结果为。

（4）对数运算。对数运算前后的有效数字位数相等。

【例1-11】对数值106求对数的值是多少？

解 数值106有3位有效数字，求对其对数后的结果数值应取3位。

对数结果：ln106 =4.6634=4.66。