2.2 导数

函数在某一点处的导数，从实际意义的角度来看，是函数在某一点处的变化率，是函数曲线在这一点处的切线斜率。从数学上来看，导数是以极限的形式定义的，所以计算导数完全可以用上一节介绍的极限命令。当然，我们也可以用MATLAB提供的命令来直接求函数导数。

首先，我们根据导数的定义，用极限命令来求函数导数。

例2-4 求函数y=3sinx+4x2在x=0处的导数。

根据导数的定义，函数在x=0处的导数为：

因此可以输入如下代码：

    >> syms t；                          %定义符号变量t，即导数定义中的Δ x
    >> limit（（3∗sin（t）+4∗t＾2）/t, 0）%求极限命令
    ans=3                                %输出结果

对于可导的一元函数f（x），我们可以用diff（f（x））命令来求其导数。

例2-5 求函数y=3sinx+4x2的导数。

只需定义系统变量，并直接调用diff命令即可：

    >> syms x；
    >> diff（3∗sin（x）+4∗x＾2）
    ans=8∗x+3∗cos（x）

例2-6 求y=ln（x+cosx）的导数。

输入如下代码即可：

    >> syms x；
    >> diff（log（x+cos（x）））
    ans=（1-sin（x））/（x+cos（x））

输入代码时要注意，MATLAB中将lnx表示为log（x）。

如果需要求一组函数或一个向量函数的导数，也可以使用diff命令。

例2-7 求向量函数f（x）=的导数。

输入如下代码即可：

    >> syms x；
    >> diff（ [sin（x）+1, cos（x）+x, 4∗x＾4]）  %注意向量函数的输入格式
    ans=[ cos（x）, 1-sin（x）, 16∗x＾3]

函数的一阶导数如果可导，则可以继续求函数的二阶导数。如果函数具有一定的光滑性，则可以求其高阶导数。求一元函数n阶导数的命令为diff（f（x）, n）。

例2-8 求y=3sinx+4x8的7阶导数。

在这里调用diff命令并注明求导的阶数即可：

    >> syms x；
    >> diff（3∗sin（x）+4∗x＾8, 7）
    ans=161280∗x-3∗cos（x）

对于形如x=x（t）, y=y（t）的参数方程的函数，微积分课程中给出的求导法则为

因此在使用MATLAB求参数方程形式的函数导数时，只需先求y′（t）和x′（t），随后将两者相除即可。

例2-9 已知求。

输入如下代码：

    >> syms t；
    >> dx  dt=diff（t＾2-log（2+sin（t）））；
    >> dy  dt=diff（t＾3-3∗sin（log（t）））；
    >> dy  dx=dy  dt/dx  dt

输出结果为：

    dy  dx=-（（3∗cos（log（t）））/t-3∗t＾2）/（2∗t-cos（t）/（sin（t）+2））

例2-10 用圆柱形铁皮罐来装0.5m3汽油，如何设计铁皮罐的尺寸，才能让铁皮用量最少？

假设铁皮罐的高为h，底面半径为r。由铁皮罐容积πr2h=0.5可得

因此圆柱体表面积S=2πrh+。现在的问题是：r取什么值时S能取到最小值？输入如下代码，绘制函数S（r）的图像（见图2-9）。

    >> r=0.05: 0.1: 3；
    >> S=r.＼1+2∗pi∗r.＾2；
    >> plot（r, S）
    >> xlabel（r）
    >> ylabel（S）

可以发现，S 只有一个极值点，大致位于（0, 1）内，而且这个极值点是其最小值点。接下来对函数S（r）求导：

    >> syms r；
    >> s=1/r+2∗pi∗r＾2；
    >> diff（s）

求得S′（r）=，因此极值点即最小值点，为r=，相应的函数最小值为：

除了通过求导求最值，还可以利用MATLAB提供的命令来直接计算最值，命令格式为：

    [ x, f]=fminbnd（f（x）, a, b）

其意义为计算以x为自变量的函数f（x）在区间 [a, b] 上的最小值点x和最小值f。比如输入如下代码：

    >> [x, f]=fminbnd（x＾2-3∗x+1 ,-10, 10）

输出结果即相应的最小值点和最小值：

    x=1.5000
    f=-1.2500

如果没有给定区间，希望求函数在某一点附近的最小值点和最小值，可以用命令：

    [ x, f]=fminsearch（f（x）, a）

其意义为计算以x为自变量的函数f（x）在点x=a附近的最小值点和最小值f。比如输入如下代码：

    >> [x, f]=fminsearch（ sin（2∗x）+1 , 3）        %求x=3附近的最小值点和最小值
    x=2.3562                                             %输出的最小值点
    f=8.9290e-011                                        %输出的最小值
    >> [x, f]=fminsearch（ sin（2∗x）+1 , 5）         %求x=5附近的最小值点和最小值
    x=5.4978                                             %输出的最小值点
    f=4.8613e-010                                        %输出的最小值

而函数y=sin（2x）+1的图像如图2-10所示。