第3章 导数的应用

3.1 微分中值定理

知识点归纳

（1）微分中值定理建立了导数与函数之间的某种联系，从几何上说就是要考虑曲线的割线与切线之间的平行关系．

（2）罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理用一句话概括：对于处处连续、处处有切线曲线的每一条割线都可以找到平行于该割线的切线．

（3）掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理应用条件并能找到满足条件的中值点．

习题 3.1

一、选择题

1．在区间[-1,1]上满足罗尔中值定理条件的函数是（　）.

A．f（x）=x2-2x-1

B．f（x）=1-x2

C．f（x）=|x|

D．

2．在区间[-1,1]上，下列函数中不满足罗尔中值定理的是（　）.

A．f（x）=ln（1+x2）

B．f（x）=-1

C．

D．

3．函数f（x）=2x3在[0,1]上满足拉格朗日中值定理条件的ξ=（　）.

A．-

B．0

C．

D．

4．设函数f（x）在[a, b]上连续，在（a, b）内可导，则（　）.

A．至少存在一点ξ∈（a, b），使得f′（ξ）=0

B．当ξ∈（a, b）时，必有f′（ξ）=0

C．至少存在一点ξ∈（a, b），使得

D．当ξ∈（a, b）时，必有

二、填空题

1．函数y=x2-4x+3在[1,3]上满足罗尔中值定理条件的ξ=__________.

2．函数y=lnx在区间[1, e]上满足拉格朗日中值定理的ξ=__________.

三、解答题

设函数f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，试证：至少存在一个点ξ∈（0,1），使得f′（ξ）=2ξ[f（1）-f（0）].