第一章 算数与数的属性

好吧，我知道算数是十分基础的内容，我们从一年级就开始做了。但是，我们有时太习惯于什么都用计算器，所以需要在参加SAT无计算器考试部分之前做一点简单的算数练习。

A．乘法

我确定你记得如何计算两位整数和三位整数的乘法，但重温下技能总是好的，尤其是如果你总用计算器算数，或者你发现在有限的时间内做练习题的时候总会犯点算数错误的时候更是很有必要。

尽可能快速地完成这些训练题会帮助你准确定位你经常会犯的错误点。如果有些数你时常乘错，你应该考虑下把它们写在抽认卡上。例如，如果你总不小心觉得9×4 = 32，你就可以做张卡来记住9×4 = 36，并且把这条加到你考试需要复习的内容中去。

B．除法

长除法属于那种我们大部分人也许从四年级开始就一直借助计算器来计算的题目。SAT考试中尽管不太会出这类题，但你需要记得怎么做——尤其如果你不太容易一眼就认得出那些因数。（你做习题时应该就能回忆起来了。）例如，如果你很熟悉那些因子，你可能看到246/6时，就能认出24能被6整除，而6能被6整除，这样这个分数就简化为41了。

但如果这你认不出来，或者你对心算没有把握，你就有必要温习下你的长除技能，使你在纸上也能迅速计算除法并简化分式。

你可能还需要复习下除式中各组成部分的名字。例如，此式中：

14/3=4.5

14是被除数。3是除数。4.5是商。

若数字不能被整除，会多出一个余数。然后呢？

首先，认出这些项：

14是被除数。3是除数。2是余数。

有时题目要求答案为整数，你就可以忽略余数或四舍五入。但题目有时也会就余数来提问你——余数即你除后剩下的数。例如，当你用3来除14，14里包含了4个3，还剩下2。2即为余数。

有时题目会要求答案以小数的形式给出。碰到这类情况，你可以将余数通过放在除数上方来转化为小数。例如，14/3=4和余数2。你可以在14中放入4次3，还剩下2。因此，14除以3的结果是4余2。你可以将余数（2）放在除数（3）上，会发现14除以3=4又2/3，或4.67。

C．负数的加减法

我们都知道负数的加减法规则，但我们也不得不保持警惕。如果你不小心的话，负数在SAT考试中可能会迷惑你，让你选了错误的答案。练习下还是好的，这能让你保持警觉。

你需要记住的最重要的规则是减掉一个负数就相当于加上一个正数。减法会改变你在数字前所放的符号，所以两个减号（即减去一个负数 ）使你要变化前面的符号两次，最后就得到了正号。

当把一个正数和一个负数相加时，哪个数的“量”更大（换言之，哪个数绝对值更大，或当你忽略负号时哪个数更大），结果的符号就与那个数的符号一致。

D．负数的乘除法

再次强调，注意SAT考试时候中出现的负数——漏写一个小小的符号可能会导致你得到错误的答案，而这个答案可能刚好又在选项中。他们知道你可能会犯这样的错误，因此你应该在题目中出现负号时保持警觉。

所有的正数相乘都会得到正的结果。奇数个负数相乘会得到负的结果。偶数个负数相乘会得到正的结果。（每次遇到乘法问题中有两个负数时，它们可以相互抵消后得正。即负负得正。）

用正数除正数会得到正数。用负数除负数会得到正数。用负数除正数，或用正数除负数，结果是负数。

当作乘除法时，奇数个负数会得到负数。

E．乘法分配律

在SAT考试中遇到负数时请高度警惕。即使你对计算规则十分熟悉，还是可能会犯小错误以至于得到错误的答案。更糟糕的是，这个答案很有可能还会在选项中。所以规则并不难，只是要小心点——你可以在有负号要表示的地方画上小箭头，这样你就不会错过任何一步了！

乘法分配律告诉我们：当碰到一个数或自变量乘以一个多项式时（几项相加），我们可以把这个数分别乘以多项式中的每一项。例如，若表达式为x(3+y)，我们可以将其重新写为3x+xy。

若前面的这个数是负数就要特别小心——负号会连带着一起乘以每一项！例如，若表达式为-x(3+y)，我们可以重新写成-3x-xy。记住一个负数乘以一个负数会是一个正数，所以比如-a(b-c)就可以再写为-ab+ac。

一组括号前的一个负号可以当作为-1，然后将其乘以括号内表达式的每项。

F．合并同类项

通常，等式或表达式中的项是由加号或减号来隔开的。例如，3ab2c3只是一项，但3+5是一个有两项的表达式。

“同类”项是指可以通过加或减来简化成一项的几个代数项。要成为“同类”项，这些项必须有一模一样的变量（且如果对它们进行一个幂的乘方，它们乘方后得到的幂也会相同）。

例如，3和5（如上述表达式所示）即为“同类”项，因为他们都没有变量。x和3x为同类项，因为他们有相同的变量（x）且变量有相同的次数/幂（1）。这就意味着你可以将它们相加：x+3x=4x。（可以把同类项当作你要相加的某个“东西”。就像1个橙子加上3个橙子是4个橙子，1个“x”加上3个“x”是4个“x”。

如果两项不“同类”，你无论加或减都不能把它们合并在一起。比如，给定表达式x+xy，你不能用加法把它简化，但你可以提取公因式，下一部分中会讲到。

你可以合并同类项来解决一个等式。例如，要解答3b+2b=15，用合并同类项来简化可以得到5b=15。接着，用消去法使未知数的系数为1可以得到b=3。

G．提取公因数

与乘法分配律相对的就是，当一个多项式的所有项有一个共同的因数时，你可以“提取”这个公因式，然后把它放到多项式的前面，但确保把留下的多项式放在括号内，这样你就能确定表达式的值还是一样的。

例如，在多项式3a+3b中，你可以看到两个代数项都有共同因数3，如果提取公因数能帮助你解答题目的话，则多项式可重新表达为3(a+b)。这么做可能是为了简化分式、比较式子大小、代入数值、或者为了其他简化解决SAT问题。

H．移项

要求解等式中的一个变量，我们需要将它“孤立”出来，或让它只有自己本身。要这么做，我们得先集合含有此变量的所有项，把它们放在等号的一边，然后把没有该变量的项移到等式的另一边。

你如何把一个项移到等式的另一边呢？

- 如果它是个加数，移后就减去它。

- 如果它是个减数，移后则加上它。

- 如果它是个乘数，移后就除以它。

- 如果它是个除数，移后则乘以它。

- 如果它是个乘方，移后则将其开方。

- 如果它是个根式，移后则将其乘方。

换言之，把它逆运算后移到另一边。如果你准备参加SAT考试，那你每次解一个等式时都会做到很多此类的练习。

要解一个变量的值而不确定从何入手？尝试下移项，然后你就会发现你必须要做的是什么了。

I．运算次序

运算次序能告诉你在一个表达式或等式中你应该以什么样的顺序来进行各种不同的运算。这个通常会利用缩写PEMDAS来记忆。它代表的是：

Parentheses（括号）

Exponents（指数）

Multiplication 和 Division（乘除）

Addition 和 Subtraction（加减）

利用此方法来记忆运算次序是十分重要的，首先把乘除归为一类，把加减归为一类。

首先要解决或简化括号里的内容。（在括号内也需要遵循运算次序）。

接着，简化指数式（乘方或开方）。

然后从左往右依次做乘除运算。（对于乘法来说，不依次计算没有影响，而对除法来说是有的。）

然后从左往右依次做加减运算。（对于加法来说，不依次计算并没有影响，而对减法来说是有的。）

如果你不希望从左往右书写的顺序对你的运算产生影响，你还可以用分式来把除法转化为乘法，或者把减法转化为负数的加法。

在含有变量的等式中，你不能只按照运算次序来做，应该先移项，然后你可以在可能的时候根据运算次序来进行简化。

1A： 乘法1

在下面的乘法表内填空。不得使用计算器。任何你无法快速解答或解答错误的题，请制作在抽认卡上，每天复习一次。

 

1A. 乘法2

简化以下乘式（“解答”出来）。不得使用计算器。

438×23

250×19

13×320

4×189

16×17

42×500

17×59

11×90

51×31

57×19

41×18

32×630

88×47

36×803

28×193

22×66

841×48

333×82

901×26

32×84

92×704

302×11

78×87

809×13

25×41

 

1A. 乘法3

计算以下乘式。不得使用计算器。

13×804

38×14

18×903

92×92

114×77

203×29

94×92

450×21

84×85

502×53

411×31

899×25

24×29

93×41

51×101

48×19

53×82

403×101

92×98

14×15

29×37

345×21

29×13

380×41

82×51

 

1B. 除法1

计算商和余数。不得使用计算器。例如，190÷12=15余10。

180÷17

12÷5

230÷15

310÷9

49÷3

911÷10

454÷8

515÷6

450÷110

328÷15

147÷7

782÷23

80÷7

412÷29

333÷11

287÷101

87÷5

50÷40

970÷20

88÷12

235÷6

653÷45

399÷11

108÷2

49÷5

 

1B. 除法2

简化每个除法表达式。不得使用计算器。答案用小数表示。如有必要最多四舍五入至百分位。例如，196÷12=16.33

193÷2

19÷3

181÷4

29÷5

214÷3

22÷8

31÷3

388÷5

330÷4

41÷3

47÷8

411÷2

58÷4

510÷3

67÷2

640÷8

63÷4

725÷4

777÷8

82÷5

841÷4

88÷3

98÷8

966÷5

92÷3

 

1C：负数的加减法1

判断以下计算的结果为正还是负。不得使用计算器。

14+29

242-400

53-(-42)

12+129

-6+5

-142+200

53-42

-242+200

-53+(-42)

142-(-200)

5-(-6)

-53-42

42+200

-142-(-200)

142-(-100)

5-6

242-200

53+42

-5-6

-5+6

-42+200

-142+100

-142-(-100)

-53-(-42)

-5-(-6)

 

1C：负数的加减法2

判断以下计算的结果为正还是负。不得使用计算器。

4+19

4+(-5)

-98-99

4+1302

-17-(-12)

-98-(-99)

-(-12)-13

-16-(-15)

12-(-17)

98-99

-16-15

-4-(-5)

 

 

 

-98+(-99)

4-5

98-(-99)

17-(-12)

-16+15

-12-(-17)

-4-5

16-(-15)

-99-(-98)

-12-16

 

1D. 负数的乘除法1

判断以下计算的结果为正还是负。不得使用计算器。

 

1D. 负数的乘除法2

判断以下计算的结果为正还是负。不得使用计算器。

 

1E. 乘法分配律1

利用乘法分配律重新书写以下表达式。

-x(3+y)

-x(-3+y)

4(r-s)

-(-x-y+2z)

-3(x-y-2z)

-(-a-3b+2c)

-(-a-b-c)

5(-a-2b)

-x(-a-b)

-(x-y-2z)

-x(-a+b)

-(a-b-c)

5(-3a+b)

-x(-3-y)

-(a-b+c)

-3(-x-y+2z)

-x(a+b)

-(a-3b+2c)

-4(r-s)

4(-4-2s)

-x(a-b)

-4(r+s)

-3(x+y+2z)

5(a-2b)

-(x+y-2z)

 

1F. 合并同类项1

利用合并同类项重新书写以下表达式。（某些式子可能没有同类项）

x+xy

a+2a+2

b-2b2++14b

x+y-4y

-r-19r

d+2e

xy+xy

z-2yz+3z

y+3y

xy+3xy

x+y+y2

4z-2z+3

y2+3y

d+4d-d2

y2+3y2

b-2b2

r-19r+s

x+y+z

2+y-4y-5

4z-2z+z2

b-2b+14b

y2+5

r-19r+s-3s

r+3r

a+2a-a2

 

1F. 合并同类项2

利用合并同类项来解以下方程。

3b+7b=50

2x-5x=12

v-2v=18+v

3a+7a=-30-5a

2a-a=34

-2r+3r=-r+6

3x+5x=8+4x

2x+5x=-49

-2a-a=4+a

b+b=50

-b-2b=60

b-2b=50

3a+4a=30+2a

2a+15a=34

3x+x=16+2x

3a+7a=-30+5a

-2a-a=33

-2r+3r=12+2r

-2a+a=4+a

4v+6v=18+v

2x-5x=-42

v-3v=17-v

-2x-6x=16

4v+6v=18-8v

3x-2x=16+2x

 

1G. 提取公因式

对以下表达式进行提取公因式。例如，将重新表达为。

3a+15

-7p-14pq

2b2+ab2

5xy+10x

st+5t

4m+n

-16x+4xz

4r2-4

7p+21pq+q

ab-bc

2b2+4a

4r2-ar2

-16x+xz

a+ab+b

10+12a

10b+5

-7p-14pq+p

20st+5t

-12x-4xb

r-rs

-p-pq

4m-6n

2ab-6bc

5xy-5y

st+t

 

1H. 移项1

通过移项来解以下方程。尽可能快速地完成本页题目，不得使用计算器——在计时器上记录你的用时（将会在下一次练习中用到）。

 

1H. 移项2

通过移项来解以下方程。尝试用比完成前一页更快的速度来完成本页，同时要保持全对。

1I. 运算次序1

简化以下表达式。

-(4+9)+3

3+6-(4×2)2

-5(8-3)-(4+3)2

-5(4-1)2

8+3(5-4)-3

5(4-12)

(3-6)2-6÷2

(3-5)2-(6) (-9)

-5-(7-1)2

-5+(7-1)2

4-2(9-1)

-5(8-3)+(3÷1)2

3-(6-4)×22

3+6-4×2

3-62-6÷2

8-3×5-(4+3)2

8-3(5-4)+32

3+6-4×22

8+3(5-4)-32

3-62×6÷2

5-7-12

3+(6-4)×22

5×7-12

5(4-1)2

(3-5)2-(6)(9)

 

1I. 运算次序2

求以下等式中的x。不得使用计算器。

5x+4=5+9

-5+3(7-6)2=2x

x-(2+4)2=2x-(9-8)

4-12+2(2+1)2=x+22

-2(4+62)+x=100÷52

5x+4=(5-3)2

-12+2÷(2+1)2=x+22

5+3(7-6)2=2x

x-42=2x-(3-1)2

x-2+42=2x-(3-1)2

4-12-3(2+6)2=x+9

4-12+3(2+6)2=x+22

x-(2+4)2=2x

-2(4+6)2+x=100÷52

7-(3+2)2=4-2x

-5-3(7-6)2=2x

-3(4+6)+x=-40

x-2+42=2x-(9-8)

(4-4)2=2x-(3-1)2

(7-3)2+2=4-2x

(4-1)2-3(2+6)=x-9

-2(4+6)2+x=-100

(4-1)2-3(2+6)2=x-9

-2(4+62)-x=100÷52

(7-3)2+3=-2(4-2x)