第一章 三角函数

第一节 任意角的概念与弧度制

一、课标导航

二、概念辨析

1.角与终边位置的对应

下列命题中正确的是：_____.

①终边相同的角大小相等；

②小于90°的角是锐角，也是第一象限角；

③∠A=10°，∠B=-30°则∠A大于∠B.

④第一象限的角小于第二象限的角；

【分析】①错误，角的终边的位置不是判断两角大小是否相等的依据，判断两角是否相等应看两角在同一方向上终边是否旋转了相同的幅度。终边相同的角大小不一定相等，但相等的角在始边相同的前提下终边位置必相同.

②错误，在重新定义角后，锐角的概念没有发生改变。锐角所对应的集合是{α∣0°<α<90°}，第一象限角所对应的集合是{α∣k360°<α<90°+k360°，k∈Z}，小于90°的角所对应的集合是{α∣α<90°}，以上三者各不相同.

③正确，角的大小是可以比较的，其比较方式类似于实数的比较，正角一定大于负角.

④不一定，如α=60°为第一象限角，β=-200°为第二象限角，α>β.

【解答】③

2.对弧度制的理解

下列关于弧度制的说法正确的是（ ）.

A.“弧度制”与“角度制”都是角的度量制度，只要书写规范，可以混用.

B.圆心角所对的弧长越长，则这个圆心角越大.

C.sin1>sin1°.

D.函数f（x）=sinx，则f（90°）=1.

【分析】（1）A说法错误，两种制度是不可以混用的如，α=+k360°，k∈Z的写法是错误的。在平时的解题中使用的书写形式应与题干中的相一，致.

（2）B说法错误，圆心角公式为∣α∣=，所以圆心角的大小与圆的半径和所对弧长都相关，不是弧长越大则圆心角越大。在同圆的前提下也应该区别角的正负才能做出准确判断.

（3）C说法正确，sin1≈sin57°，而sin57°大于sin1°，在弧度制学习初期，应该适应弧度在三角函数中的应用，不要将省去rad的弧度数与角度搞混.

（4）D说法错误，在函数问题中，自变量与函数值都必须是实数，而角度制中的度数不是实数，因此函数问题中的自变量与函数值只能用弧度数来表示.

【解答】C

3.与角相关的集合问题

如图1-1-1所示，终边落在阴影部分的角的集合是_____.

【分析】集合中的不等式是由左侧的最小界与右侧的最大界组成，因此应该按着角的终边随着逆时针旋转变大的顺序，确定阴影中角的最小界，也就是第四象限中的-45°的位置，而由-45°的位置按逆时针旋转至另一边界时，角度应为120°，以这两个角度为左右界再加上周期变化就可以写出正确的答案了。此外需注意边界处虚线表示临界值不可取，实线表示可取.

【解答】{α∣-45°+k360°≤α≤120°+k360°，k∈Z}.

三、全能突破

基础演练

1 .钟 表走 了 4 个 小 时， 时 针 转 了 _____（ 填 写 角 度 制 度 数 ）.

2.一个角的度数是405°，化为弧度数是_____.

3.时钟经过一小时，时针转过了（ ）.

A.rad

B.-rad

C.rad

D.-rad

4.与1840°终边相同的最小正角为_____，与-1840°终边相同的最小正角是_____.

5.下列各对角中终边相同的角是（ ）.

A.和-+2kπ（k∈Z）

B.-和π

C.-和

D .和

6.已知α=165°，则α的终边在（ ）.

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

7.若α=-3，则角α的终边在（ ）.

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

8.经过一刻钟，长为10cm的分针所扫过的面积是_____.

9.三角形三内角的比是7∶8∶15，各内角的弧度数分别是_____.

10.用弧度制表示：

（1）终边在x轴上的角的集合S₁=_____；

（2）终边在y轴上的角的集合S₂=_____；

（3）终边在坐标轴上的角的集合S₃=_____.

11.弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为_____，面积为_____.

12.一个半径为R的扇形，若它的周长等于它的所在圆的周长的一半，则扇形圆心角的度数为_____.

能力提升

1 3.若2π<α<4π，且α与角的终边垂直，则α=_____.

14.若α是第四象限角，则π-α是（ ）.

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

15.（1）若α与β的终边互为反向延长线（关于原点对称），则α与β的关系式是_____.

（2）若α与β的终边关于x轴对称，则α与β的关系式是_____.

（3）若α与β的终边关于y轴对称，则α与β的关系式是_____.

16.已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（）.

A.2

B.1

C .

D.3

17.一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积是_____.

18.若A={α∣α=k·360°，k∈Z}，B={α∣α=k·180°，k∈Z}，C={α∣α=k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是（ ）.

A.A=B=C

B.A=B∪C

C.A∪B=C

D.ABC

19.设集合M={x∣x=（2n-1）π，n∈Z}，N={x∣x=（4k±1）π，k∈Z}，则M与N之间的关系是（ ）.

A.MN

B.NM

C.M=N

D.无确定关系

20.已知A={α∣k·360°<α<150°+k·360°，k∈Z}，B={β∣-90°+k·360°<β<45°+k·360°_____或90°+k·360°<β<225°+k·360°，k∈Z}，则A∩B=_____，与A∪B=_____.

21.设集合A=，B={x ∣0 ≤x ≤6 }则A ∩B=_____.

22.写出下列角的集合（均不含边界）.

（1）终边在y=-x（x≥0）与y=x（x≥0）围成的劣弧区域内的角.

（2）终边在y=x（x≥0）与y=-x（x≥0）围成的优弧区域内的角.

（3）终边在y=x与y=x所夹锐角区域内的角.

23.分别用角度制与弧度制写出角的终边在图1-1-2中阴影区域内角的集合（包括边界）

24.图1-1-3所示的圆中，已知圆心角∠AOB=，半径OC与弦AB垂直，垂足为点D.若CD的长为a，求的长及其与弦AB所围成的弓形ACB的面积.

25.若α是第二象限的角，求下面的角所在的象限.

（1）

（2）

（3）2α

26.一个扇形OAB的周长为20，求扇形的半径，圆心角各取何值时，此扇形的面积最大？

高考链接

27.（2010课标全国卷Ⅰ高考）如图1-1-4所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，-），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为（ ）.

巅峰突破

28.若α是第三象限的角，β是第二象限的角，则是第______象限的角.

29.在一般的时钟上，自19点到分针与时针第一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少？

30.圆心角为120°的扇形，求其面积与其内接圆面积之比.