运动的公理或定律

定律1

对于任何一个物体，除非有外力作用于它并改变其状态，否则它将保持静止或匀速直线运动的状态。

一个抛射物，如果没有空气阻力的阻碍或重力的向下牵制作用，这个抛射物将保持刚抛射出时的运动状态。一个陀螺，会因自己身体各部分的凝聚力而使自己时常偏离直线运动，如果空气没有阻力，它的旋转也不会自行停止。那些体积较大的物体如行星、彗星等，它们在自由空间里基本不会受到什么阻力，因此它们将在一个较长时间里始终保持一种向前的和旋转的运动。

定律2

运动的变化与外力成正比，且沿着外力作用的直线方向变化。

如果某种力可以产生一种运动，那么双倍这样的力就能产生双倍的运动，三倍这样的力也就能产生三倍的运动，并且不管这个力是一次施加的还是逐次或连续施加的。如果在此之前物体是运动的，那么，应该加上还是减去之前的运动，则由物体运动的方向是与力的方向一致还是相反的来决定。如果力是从斜向加入运动的，在它们之间就会形成一个夹角，由此，就会产生一种新的混合运动，而这个运动的方向也是倾斜的。

定律3

每一种作用都有一个与之方向相反的反作用，并且，两个物体间的相互作用总是相等的。

对一个物体来说，无论是拉还是压，施力一方也同样会受到物体的拉或压。例如，你用手指去压一块石头，手指也同样会受到石头的压迫。如果一匹马去拉一块拴在绳上的石头，这匹马也会受到石头相等的拉力。因为绷紧的绳索也有放松自身的倾向，其拉力就会像把石头拉向马一样，也把马拉向石头。阻碍马前进的力和拉石头前进的力大小是相等的。如果一个物体作用于另一个物体，并以其作用力来改变另一个物体的运动，则这个物体也会发生相同的变化，但变化的方向相反。在物体没有受到任何其他阻碍的条件下，这些运动带来的变化都是相等的，但它们不是速度发生了变化，而是物体运动本身发生的变化相等。因为，运动都是同等地变化，所以相反方向速度的变化与物体成反比。此定律也适用于吸引力，这将在后面的附注中予以论证。

推论1

当两个力同时作用于一个物体时，这个物体将沿着平行四边形的对角线运动，所需时间等于两个力分别沿两边运动所用的时间之和。（运动的公理或定律-图1）

如果一个物体在给定时间内，受到力M的作用后从A离开，这时，它是以一种匀速运动从A到B。如果是受到力N的作用离开A，它就应该从A运动到C。补足平行四边形ABDC，当两个力同时作用时，物体就会在两个力作用的相同时间内沿对角线从A到达D。因为，力N沿直线AC方向作用，又平行于BD，此力（由定律2可知）绝不会改变使物体沿BD运动的力M所产生的速度。此时，无论力N是否产生作用，物体都将以相同的时间到达BD，并且在最后之时它将位于CD的某一处上。同理，物体也会在最后时刻位于BD的某一处上，从而位于D点上，而这个点正是BD和CD的相交点。根据定律1可知，它将沿着直线从A运动到D。

推论2

由此，可以得到以下结论：一个直线力AD可由任何两个倾斜力AC和CD合成。反之，任何一个直线力AD又可以分解成AC和CD两个倾斜力，这种合成和分解已在力学上被大量事实所证实。（运动的公理或定律-图2）

如果从轮的中心O作两条半径OM和ON，OM与ON不相等，在绳MA和NP挂上重量A和P，那么，这些重量所产生的力刚好等于轮子运动所需要的力。然后，通过中心O作一直线KOL，并让这一直线与绳MA和NP垂直相交于K和L，再以OK和OL中较长的OL为半径，绕中心O画一个圆并与绳MA相交，交点为D，连接点O和点D，再作一个点C，使OD与AC平行，与DC垂直。现在，绳上的K点、L点、D点是否在轮上固定已没有什么关系了，因为，无论是悬挂在K、L点还是D、L点上，这些重量产生的效果都是相同的。让线段AD充当重量A的力，并把它分解为力AC和力CD，力AC与从中心作出的半径OD同向，所以它对移动轮子不起任何作用。但是，另一个力DC与半径DO垂直，因此，它对轮子的作用，与它垂直于与OD相等的半径OL上的效果一样。也就是说，其效果与重量P是相同的。如果重量P与重量A之比等于力DC与力DA之比，那么（因为三角形ADC与DOK相似），DC与DA之比，也等于OK与OD或OK与OL之比。因此，重量A和P的比值，与处于同一直线中半径OK和OL的比值是恒等的。这就是著名的平衡理论。如果这个比例中任意一个重量增大，那么，推动轮子的力也将同等量地增大。

如果重量p与重量P相等，并且p部分悬挂在线Np上，部分悬挂在倾斜平面pG上，作直线pH、NH，使前者垂直于地平线，后者垂直于平面pG，如果把指向朝下的重量p的力用线pH来表示，它就可以分解为力pN和HN。如果有任意平面pQ垂直于线pN，并相交于另一个平面pG，同时相交线平行于地平线，重量p仅仅只由平面pQ、pG的支撑，它以力pN和HN垂直压迫于这两个平面上，即力pN作用于平面pQ，力HN作用于平面pG。如果去掉平面pQ，则重量将把绳子拉紧，因为，绳子现在代替了之前被移走的平面，承受着重量，绳子所受的张力与之前压迫在平面上的力均来自相同的力pN。因此，倾斜线pN的张力与垂直线PN张力的比，等于线段pN与线段pH的比。如果重量p与重量A的比值是从轮中心到线PN，AM最近距离的反比与pH和pN之比的乘积，那么，重量p和A对于移动轮子所产生的作用是一样的，并且它们相互支撑，这可以在实验中得到论证。

但是，压在两个倾斜平面上的重量p，可以看做是一个被劈开的物体中的两个内表面的楔子，由此，楔子和木槌的力能够得以确定。因为，无论是它自身的重力作用还是木槌的击打作用，重量p压在平面pQ上的力，与在两平面之间沿pH方向的力之比，可表示为pN∶pH；与压在另一个平面pG上的力之比，可以表示为pN∶NH。同理，螺丝力也可以作力的类似分解，把它也看成是杠杆力推动的一个楔子。可以说，这条推论的应用领域非常广泛，其真理性也由此得到进一步的证实。因为，根据力学准则，这是由不同作者经过广泛的实验而证明的。由此也不难推出由轮子、滑轮、杠杆、绳子等构成的机械力，以及直接或倾斜上升的重物的力，还有其他的机械力、动物运动骨骼的肌肉力等。

推论3

运动的量，是由同一方向的运动的和以及相反方向运动的差所得出，并且在物体间的相互作用中保持不变。

由定律3可知，作用与反作用大小相等但方向相反，因此由定律2可知，作用与反作用在运动中的变化是相等的且方向相反。就是说，如果运动是同向的，就要从后面的运动中减去加在前一个物体上的运动量，这样总量才会保持不变。如果物体在相遇时运动方向相反，双方运动量将会同等量地减少，而朝相反方向运动的差保持相等。

假设球体A是球体B的三倍，并且它们都沿相同直线运动，如果以一个速度平均值作标准，A的速度为2等份，B的速度为10等份，那么，A与B的运动量之比为6∶10。试想，它们的运动量既是6个单位和10个单位，总量就是16个单位。因此在物体相遇之时，如果A获得3个、4个或者5个单位的运动量，B就会失去相同单位的量。相撞之后，A的运动量为9、10或11个单位的量，B的运动量为7、6或5个单位的量，而总和始终保持先前16个单位的量不变。如果物体A获得9、10、11或12个单位的运动量，相撞之后的运动量为15、16、17或18个单位的量，那么，B就会失去A所获得的相同单位量，或失去9个单位量保持1个，或失去整个运动的10个单位量而保持静止，或不仅失去了全部的运动量，还多失去了一个量（如果可以这样说的话），并且以1个量向回运动，或因为向前运动的12个单位量被移去，而以2个单位量向回运动。两个物体的运动总和是15＋1或16＋0，而相反方向运动之差是17-1或18-2，它们始终保持16个单位的总量，这与相撞之前相同。但相撞之后物体前进的运动量是已知的，两个物体中任何一个的速度也是可知的，因为，相撞后与相撞前的速度比等于相撞后与相撞前的运动比。在上述情形中，相撞前球体A的运动量是6单位，相撞后是18单位；相撞前速度为2单位，相撞后达到6单位。换言之，之前的6单位运动量与之后的18个单位量之比，等于相撞前2个单位速度与之后6个单位速度量之比。

但是，如果物体不是球形体，或者在不同的直线上运动，如果是在斜面上相互作用，若要求出它们相撞后的运动量，就必须首先确定在撞击点与物体相切的平面位置，然后把每一个物体的运动分解为两个部分，一部分垂直于平面，另一部分平行于平面。因为，物体相互作用在与该平面垂直的方向上，所以平行于平面方向的运动则在物体相撞前后保持不变。如果垂直运动是反向的等量变化，在这种情况下，相同方向的运动和与相反方向的运动差同先前一样，将保持不变。此类相撞有时也会引起物体围绕它们中心发生旋转运动，不过我不会在下文中给予论述，如果要对与此有关的每种特殊情形都加以证明，实在是太烦琐了。

推论4

两个或多个物体共同的重力中心不会因为物体间的相互作用而改变其运动或静止的状态。如果将外力和阻碍作用排除在外，那么，所有相互作用的物体的公共重力中心不是静止，就是处于匀速直线运动状态。

如果有两个点做匀速直线运动，并按给定的比率分割间距，则分割点不是处于静止状态，就是做匀速直线运动，这个问题将在引理23和推论中进行证明。同理还可以证明当点在相同平面移动时的情形，由类似方法，还可证明当点不在相同平面上移动的情形。就是说，如果任意多的物体做匀速直线运动，那么它们之中任意两个的公共重力中心都是或者静止，或者做匀速直线运动，因为，两个物体的重心连线在公共重心是用一个给定比率分割的。同样，这两个物体的公共重心和第三个物体的重心也是或静止或做匀速直线运动，因为这两个物体的公共重心与第三个物体的重心间距也是以给定的比率进行分割的。再推而广之，这三个物体的公共重心与第四个物体的重心，也是用给定比率进行分割的。所以，它们也保持静止或匀速直线运动的状态，由此，还可以推广到无穷。在一个物体体系中，如果它们之间既无相互作用，也无任何外力作用，则它们就做匀速直线运动，而它们的公共重心则要么静止，要么做匀速直线运动。

此外，在两个物体相互作用的体系中，由于物体的重心和公共重心的间距与物体本身成反比，因此物体无论是靠近重心还是远离重心，其相对运动是相等的。而运动的变化则是相等且反向的，由于物体间相互作用的关系，物体的公共重心既不加速，也不减速，其静止或匀速直线运动的状态也不会有任何改变。但是，在一个多物体系统中，任意两个物体的相互作用不会改变它们公共重心的状态，而其他物体的公共重心受到此力作用的影响更小。但这两重心的间距被所有物体的公共重心切割，并与属于某中心物体的总和部分成反比，所以，当这两个重心保持其运动或静止状态时，所有物体的公共重心也都将维持原来的状态。由此可得出：所有物体的公共重心绝不会因为任意两个物体间的相互作用而改变其运动或静止的状态。但在这个体系中，所有物体间的相互作用，要么发生在两物体之间，要么是由多个“两物的相互作用”组合而成，它们绝不会对它们的公共重心发生任何改变，也不会改变其运动或静止的状态。因为，当物体没有相互作用时，其重心要么静止，要么做匀速直线运动，即使有物体的相互作用，它也总是保持其静止或匀速直线运动的状态，除非在整个系统之外有其他力的作用促使它改变状态。如果涉及保持运动或静止状态的问题，这个定律对多物体系统与单一个体也同样适用，因为无论是对于单个物体还是多物体系统，它们的前进运动总是以重心的运动来估计的。

推论5

在一个给定的空间中，物体的运动和它们自身之间的运动是一样的，无论此空间是静止的还是在做不含任何旋转运动的匀速直线运动。

根据假设，方向相同运动的差与方向相反运动的和，在两种情形中是相等的，而根据定律2，由这些和与差产生碰撞和排斥，以及物体间的相互作用，在两种情形下碰撞产生的效果都是相等的，因此，在一种情形下物体间的相互运动将会保持另一种情形下物体间的相互运动。根据船的实验，我们可以得到清楚的证明：无论船是静止的还是处于匀速直线运动状态，船内的所有运动都将照常进行。

推论6

无论物体相互之间以何种形式运动，在平行方向上被相同的加速力加速时，都会继续之前相互间的运动，就如同没有加速力时一样。

由于这些力作用相等（它们的运动与物体的量相关）并在平行线方向上，那么，根据定律2，所有物体都将做相同的运动，因此，物体相互间的位置和运动不会发生任何变化。

附注

至此，我所阐述的那些原理已被数学家们所接受，同时，这些原理也被大量的实验所证明。根据前两条定律和前两则推论，伽利略在观察中发现，物体下落的变化与时间的平方有关，抛射物的运动路径是曲线。这也得到了实验的证明，但是条件是这些运动只受到很小的阻力作用。当一个物体下落时，它的重量均衡地作用，并在相等的时间内，对物体施加相等的作用力，因此也就产生了相等的速度。而在整个时间里，所有的作用力产生的所有速度与时间成正比。在相应的时间里，距离是速度和时间的乘积，也就是说，它与时间的平方成正比。当物体被向上抛出时，其均衡重力作用于物体之上，且不断减小速度使之与时间成正比，当达到最大高度时，速度也随之消失，因此高度就相当于速度和时间的乘积，或者说相当于速度的平方。如果物体是以任意方向被抛出，抛物运动就是其初始运动与重力运动的复合。（如附注-图1）

假设有一物体A受抛物力作用，在给定的时间里沿直线AB运动，而在下落时也以相同的时间从AC向下运动，可以作出平行四边形ABDC，由于做复合运动，物体最后将落在D点上。物体经过的曲线路径为一抛物线AED，并且它与直线AB相切，切点为A，纵标线BD就是AB的平方。根据相同的定律和推论，很多其他的物体与事件都已得到证明，比如与之相关的单摆振动所需时间的例子，这已从日常生活中的单摆钟实例中得到证实。运用同样的定律和推论，再加上定律3，克里斯多弗·雷恩爵士、瓦理司博士以及我们时代最伟大的几何学家惠更斯先生等人，他们分别确立了与硬物碰撞相关的一系列规则，并几乎是同时向皇家学会呈递了自己的研究报告，对这些规则的发现，他们的见解几乎完全一致。瓦理司博士发表报告的时间相对早一些，然后是克里斯多弗·雷恩爵士，最后是惠更斯先生。但是，克里斯多弗·雷恩爵士是用单摆实验向皇家学会作发现报告的，证明了这个实验的真理性。随后，马略特先生很快意识到，可以对这个课题进行全面阐述。但要使实验与理论完全一致，我们还得考虑到空气阻力和碰撞物体弹力作用的影响。（如附注-图2）

把球体A、B悬挂在平行且相等的线AC、BD上，两线的中心分别为C和D，并始终保持一定的间隔，从两中心作半圆EAF和GBH，半径CA和DB等分两半圆。使物体A在弧线EAF任意点R上，移去物体B并让A从R开始运动，假设它在一次摆动后回到点V，则RV的产生源自空气阻力引起的阻碍。取RV的四分之一ST并把它置放在RV的正中间，即RS＝TV，并且RS∶ST＝3∶2；从而ST就似乎充当了S下落到A点的阻力。再将物体B复位，假设物体A从S点下落，那么，它在碰撞点A的速度（排除切实可能的误差）将与它在真空中从点T下落的速度一样。从上可知，速度可以由弧线TA的弦来表示。因为几乎所有的几何学家都知道这样的命题：摇摆物体在最低点的速度与它在下落过程中经过的弧弦长度成正比。反弹之后，假设物体A到达s点，物体B到达k点。再移去物体B，作一个v点，如果使物体A从v点出发，经过一次振动之后回到r点，而st则为rv的四分之一，所以，st处于rv的中间即rs＝tv，同时使弦tA表示物体A在反弹后处于A点时的速度。如果不考虑空气阻力的话，物体A应该正好上升到t点位置。用同样方法，我们可以找到物体B在真空中应该上升到的l点，以此来修改物体B上升能达到的k点的位置。这样，实验所需的一切条件都具备了，就如同我们已经具备在真空中实验所需的条件一样。一切准备就绪后，根据物体A与弧线TA的弦长，我们可以求出两者的乘积，同时也可以获得在物体反弹前处于A点时的运动，然后再通过与弧tA的乘积，又可以获得物体在反弹之后的运动。因此我们也可以得到物体B与弧弦BL的乘积，也就可以获得物体B反弹之后的运动。根据同样的方法，当两个物体一起从不同的地方下落时，我们可以获得两个物体各自的运动，以及它们反弹前后的运动。然后，我们就可以通过对它们之间的运动进行比较，从而得到反弹之后的效果。做个实验，取一些相等或不等的物体，摆长为10英尺，在一个很大的空间里（例如8、12或16英尺），使它们下落后相撞。在实验中，我经常发现，当物体平直地撞在一起时，它们在运动中带给另一方的变化是相等的，而误差往往在3英寸之内，而它们在运动中的作用和反作用也是相等的。如果物体B静止，而物体A以9个单位的运动量去撞击它，物体A就会失去7个单位的量，碰撞后会以2个单位量继续运动，则物体B就会带着这7个单位的量向后运动。如果物体以相反方向的运动而相撞，A的运动量为12个单位，B为6个单位，如果A以2个单位、B以8个单位的量分别向后退，则它们双方都失去14个单位的运动量。因为，从A的运动中减少了12个单位的量，它就不再运动，但是再减去两个单位，相反方向就将会产生两个单位量的运动。因此，从物体B的6个单位的运动中，减去14个单位，它的相反方向就会产生8个单位量的运动。如果物体都向同一方向运动，A以14个单位的量运动稍快，B仅以5个单位的量运动，那么在相撞后，A以5个单位的量继续运动，而B则以14个单位的量运动，有9个单位的量就从A传递到了B。在其他情况下也是一样的。物体发生碰撞，其运动的量是由相同方向运动的和或由相反方向运动的差得来，这是绝对不变的。要想把每一件事都做得非常精确是很困难的，因此在测量上出现1英寸或2英寸的误差也是可以理解的。要想通过钟摆的精确作用而使物体在最低点AB处相互碰撞，或者要在物体相撞之后找到它们上升到的那个点s和k，并不是一件简单的事。另外，之所以会出现一些误差，也许是因为垂悬物体自身部分的密度不同，或者是由其他原因造成结构上的不规则等。

也许有人会持反对意见，因为这个实验所要证明的规律似乎要求物体要么是绝对的硬物，要么至少是弹性物（但在大自然中不存在此类物体）。在此，我必须补充说明，我们所说的这个实验，绝不是依靠物体的硬度，不管是在软物上还是在硬物上，我们的实验都能成功。如果将这个规律应用在不完全硬的物体上，我们只需依照弹力所需的量，适当减少物体的碰撞度就可以了。根据雷恩和惠更斯理论，绝对硬物相撞时和碰撞后反弹的速度是一样的，这在那些完全的弹性物体上可以得到最好的证明。不完全弹性物体的反弹速度随着反弹力的减小而减小，在我看来，那个力应该是确定的，因为它使物体以一个相对的速度反弹，且这个速度与物体相遇时的速度是成比例的。我用被压得很紧的毛线团做过实验：首先让垂悬物下落，然后测量它们的反弹度，确定出弹性力的量，再通过弹性力，估算出在其他碰撞情形下反弹的距离。后来，我在其他实验中也得到了相同的结果。球团总是以一个相对速度彼此分离，且与相遇时的相对速度之比约为5∶9。钢球反弹的速度几乎是一样的，软木球的速度稍小些，但在玻璃球中，两种速度的比大约是15∶16。因此，定律3所涉及到的有关撞击和反弹的问题，已被相关的理论和实践所证明。

关于引力的问题，我也用类似的方法来简要证明。假设有一阻碍物对任意物体A、B的相遇起阻止作用，当两物体相互吸引时，如果物体A受到B的吸引力比物体B受到A的吸引力大，那么，物体A对阻碍物的压力作用就比B对它的压力作用更大，这样就不能保持平衡，对压力大的一方来说，它将使这两个物体和阻碍物所构成的系统向B的所在地移动。而在自由空间中，物体将会不停地做加速运动直至进入无限，但这种情形并不合理，并且与定律1相矛盾。因为根据定律1的内容，系统应该保持静止状态或是做匀速直线运动，而物体施加在阻碍物上的力也必须是相等的，相互之间的吸引力也应是相等的。我曾用磁石和铁做过这样的实验，如果将它们分开置入合适的容器中，它们会彼此漂浮在平静的水面上而不会互相排斥，并且通过相等的吸引力来抵消对方的压力，最终使双方保持一种平衡状态。（如附注-图3）

地球与它的各个部分之间也是相互吸引的。在附注一图3中，让任意平面EG分割地球FI为EGF和EGI两部分，那么两部分相互间的重量是相等的。如果由另一个平行于EG的平面HK将较大的部分EGI切割分成EGKH和HKI两个部分，并使HKI和之前被切割的EFG相等，我们将会非常清楚地看到，中间部分EGKH将不会偏向任何一方，因为它本身的重量刚合适，悬挂在HKI和EFG之间因保持静止状态而实现了平衡。但边上的HKI部分将会以它全部的重量将中间部分压向另一部分EGF，因此，EGI的力是HKI部分和EGKH部分的和，并且这个力偏向第三个部分EGF，且与HKI部分的重量相等，即与第三个部分EGF的重量相等。所以，EGI和EGF这两个部分相互间的重量是相等的，正如前面我试图所作的证明。如果那些重量确实是不等的，那么漂浮于无阻碍力的太空中的地球将会让位于比它更大重量的物体，然后渐渐远离，最终消失在无限之中。

物体在撞击和反弹过程中的作用差不多是相等的，而速度与它们的惯性力成反比，所以在使用机械器具时，作用物都是保持平衡的，并且相互之间维持对方相反的压力，而速度取决于那些力的大小，并与那些力成反比。

另外，摆动天平的臂的重量，其力也是相等的，在天平的使用过程中，那些重量总是与天平上下摆动时的速度成反比。也就是说，如果上升与下落都是直线路径，那么这些重量的力是相等的，且同悬吊于天平上的点到天平轴的距离成反比。但是如果有其他的斜面或者阻碍物介入其中，使物体倾斜上升或下降，物体也将会保持平衡，并且与它们垂直上升或下降的高度成反比，但这需要由向下的重力方向来获取。

同理，在滑轮或是滑轮组中，无论是直线还是倾斜上升，手拉直线的力都与重量成正比，这就像重物垂直上升的速度与手拉绳子的速度成正比一样，它们都能拉住重物。

在由轮子组成的钟表或是类似的仪器中，促使或阻碍轮子运动反方向的力，如果反比于它们作用在轮子上的速度，则它们也将会相互支撑以实现平衡。

螺丝钉压迫物体的力与手转动把手的力之比，与被手驱使运动的把手的旋转速度和被物体压迫的螺丝的前进速度之比相同。

用楔子将木头劈为两个部分，楔子压迫或劈开木头的力与木槌作用在楔子上的力之比，与楔子在木槌作用下在力的方向上的运动速度和木头部分在楔子中垂直于楔子两边直线方向上运动产生的速度之比相同，在所有的机械中，我们可以得到完全相同的解释。

机械的用途只不过是帮助我们减小速度而增大力量，或者增大力量来减小速度。所以，使用所有恰当的机器都能很好地解决这一问题，即以给定的力去推动一个给定的重量，或者以一个给定的力去克服其他任何给定的阻力。如果机器作用物的速度与它们的力成反比，那么，作用力就刚好将阻力抵消，但如果有更大的速度就可以克服它了。如果速度大到足以克服所有的阻力（无论这些阻力是来自邻近物体相互间滑动而产生的摩擦，还是来自被分离的连续物体间的凝聚或是被抬高的物体的重量），多余的力不仅不会消失，当所有的阻力都被克服之后，那些力还将产生加速度，且与机器的部件和阻碍物成正比。在这里，我并不是要谈论力学，我只是通过这些例子来说明定律3适用的广泛性和正确性。如果我们通过作用物的力与速度的乘积来估计它的运动，或按类似方法来估计阻碍物的反作用（可以通过它某些部分的速度、加速度或由摩擦、凝聚、重量共同产生的阻力来估算），那么，我们将会发现：在所有机器的使用过程中，作用与反作用都是相等的。虽然作用必须通过中介物体才能被传递，并最终施加在阻碍物上，但最终作用方向则是与反作用方向相反的。