2.3　赤道、黄道与子午圈相交的弧和角，以及它们的偏离和计算

接下来，我要说天穹被子午圈等分为两部分的情况。在24小时周期内，子午圈在黄道和赤道上各经过了一次。子午圈将黄道和赤道分割开，截出由春分点和秋分点（黄、赤道的交点）算起的圆弧。我们也可以说，由于与一个圆弧相截，子午圈被分割开了。因为都是大圆的缘故，它们构成了一个球面三角形。由于子午圈与赤道垂直，因此这个三角形为直角三角形。在该三角形内，子午圈的圆弧被称为黄道弧段的“赤纬”，而相应的赤道圆弧被称为“赤经”。

画一个凸三角形，一切就简单明了了（见图2.1）。

令：ABCD为同时通过赤道两极和黄道两极的圆（一般称它为“分至圈”），黄道的一半为AEC，赤道的一半为BED，E为春分点，A为夏至点，C为冬至点。

设：周日旋转的极点为F，并取黄道上的段长为30°，通过G点画出象限FGH。

在△EGH中，已知边＝30°，而∠GEH也已知。

当它为最小时，取360°＝4直角的分度法，它等于23°28′。这正好与赤纬AB的极小值相符。

因此，∠GHE=90°。

根据球面三角形定理四，△EGH的各角和边都可知。

由此证得，两倍所对弦（即球的直径）与两倍所对弦之比，等于两倍和所对弦之比。

在它们的半弦之间也存在相似的关系。

设：两倍的半弦为100000P。

那么，两倍和的半弦各为39822P和50000P。

假设：四个数成比例。

那么：首尾两数之积就等于中间两数之积。

因此，19911P（此处实际约为19909P）就是两倍的半弦。

∵在表里的值为11°29′，即与段相应的赤纬。

∴在△AFG中，∠FAG为直角，而和两边作为两条象限的剩余部分，求得为78°31′和60°。

那么：两倍、、和的半弦（或它们所对的弦）成比例。

已知：两倍FG、AG、FGH的量，便可知BH为62°6′。这是从夏至点算起的赤经，或者从春分点算起为，等于27°54′。

同理，已知：为78°31′，为66°32′及一个象限。

那么：∠AGF≈69°23。它的对顶角与此相等。另外，在其他情况下我们也将采用这一范例。

我们不容忽视的事实是，子午圈与黄道正交于黄道和回归线相切的点。因为那时的子午圈通过黄道的两极。然而在两分点，子午圈与黄道的交角不会大于直角，而且随着黄赤交角偏离直角越多，这些交角就比直角越小，所以现在子午圈与黄道的交角为66°32′。另外，在黄道上量得的两段从两分点或两至点开始的相等弧长，与两个三角形的相等角或相等边同时出现（见图2.2）。

设：画赤道弧及黄道弧，使两弧相交于B点，令其为一个分点。

取和为相等弧，通过周日旋转极点K和H，画两条象限KFL和HGM，得到△FLB和△BMG。

令：边和相等，其对顶角在B点，且∠FLB和∠GMB都是直角。

∴根据球面三角形定理六，两个三角形的对应边与角皆相等，而且赤纬和相等，赤经和相等，∠F等于∠G。

如果相等弧是从一个至点量起的，可用相同方法进行阐述（见图2.3）。

设：和为B点两侧的相等弧，回归线与黄道相切于B点。

从赤道的极点D画象限DA和DC，连接DB，得到两个相同的三角形△ABD和△DBC。

AB和BC相等，BD是共有边，而两个直角都经过B点。

根据球面三角形定理八，可证明△ABD和△DBC的相应边与角都相等。

显然，假定对黄道上一条象限作出这些角和弧的表，那么这个表将适用于整个圆周的其他象限。对此，我可以举例说明：第一栏为黄道度数，第二栏为与黄道度数相应的赤纬，第三栏为赤纬超过这些局部的赤纬的分数（在黄道倾角极大时出现），最大差值为24′。我对赤经与子午圈角度也按同样的方法编制（如下表）。

如果黄道倾角变化，那么与它相关的一切也应随之变化。赤经的变化很小，因为它小于一个单位时间的，甚至在一小时内只有它的。关于与黄道分度一道升起的赤道分度如何表示，古代就出现了用以表述赤道分度的“时间”一词。这两个圆都有360个单位，但是为了加以区分，许多人习惯把黄道的单位称为“度”，把赤道的单位称为“时间”。我在后面也将采用这些名称。尽管这种变化小到可以忽略不计，但我仍会把它加进去。根据这些变化，便能对黄道的其他所有倾角得到相同的结果，但这需要假设对每一栏都能用相应的分数，且这个分数与黄道最大倾角和最小倾角之差成正比。例如，设倾角为23°34′，假定我想知道黄道上从一个分点量起的30°的赤纬的大小，那么可以在表一中找到11°29′，其差值为11′。当黄道倾角为极大时，就要加上这个差值。我在前面讲过，黄道倾角极大值可达23°52′。不过在当前的范例中可取值为23°34′，这比极小值大6′。而最大倾角超过最小倾角的24′的四分之一就正好是6′。按相同比值可得11′的部分约为3′。对11°29′加上3′，便得从至点量起黄道为30°时的赤纬为11°32′。子午圈角和赤经也可采用这种方法，但是后者应随时加上差值，而前者应减去差值，如此才能对任何与时间相关的数量得出更精准的结论。