第14章
受指向极大物体上各部分的向心力推动的极小物体的运动

命题94　定理48

如果两个相似介质被两个平行的平面隔开，且在此空间中存在一个垂直于这两个介质中的一个的力。物体通过这个空间时，受到这个力的吸引作用或排斥作用，但是除此以外物体并不受其他力的推动或者阻碍。已知在任何距平面距离相等处，吸引力都相等，且都指向平面的同一侧。那么当物体从其中一个平面进入该空间时，与该空间有一角度，即入射角，同样物体从另一平面离开该空间时也有一角度，即出射角，这两个角的正弦的比值为一确定值（即常数）。

情形1　设Aa、Bb为两个平行的平面（如图14-1），而在这两个平面之间有一个中介空间。物体沿直线GH从第一个平面Aa进入此中介空间，物体在此空间中运动时，受到干涉介质的吸引力或排斥力，于是用曲线HI表示物体在此力作用下的运动轨迹，最后物体沿直线IK离开此空间。作垂直于出射平面Bb的垂线IM，与入射直线GH的延长线交于点M，与入射平面Aa交于点R。连接GM，与IK的延长线交于点L。以L为圆心，LI为半径作一圆，交HM于点P和Q，与IM的延长线交于点N。首先，假设此吸引力或排斥力是均匀的，那么正如伽利略曾证明过的，轨迹曲线HI是一条抛物线，且此抛物线的性质为：已知通径和直线IM的乘积等于HM的平方，且点L是HM的中点。如果过L作MI的垂线LO，那么LO与MI的交点O为线段MR的中点，即MO＝OR，又因为ON＝OI，那么可知MN＝IR。因此，如果IR的长度已知，则MN的长度也可得到，那么通径和IM的乘积（HM2）与乘积MI×MN的比值也是一个已知值。但是因为乘积MI×MN等于MP×MQ，即等于平方差ML2-PL2或者ML2-LI2，而HM2∶ML2等于4∶1，所以ML2-LI2与ML2的比值也为一已知值。如果将LI2∶ML2加以变换，LI∶ML还是给定值。但是在每个三角形中，如△LMI中，角的正弦与该角的对边成正比，因此入射角LMR的正弦与出射角LIR的正弦之比为一确定比值。

证明完毕。

情形2　如果平行平面隔出若干个空间，如AabB、BbcC等（如图14-2）。设物体连续通过这些平面，并且物体在每个空间都受到均匀力的作用，但是在每个空间，力的大小都不相同。正如在情形1中所证明的，物体进入第一个平面Aa时入射角的正弦与离开第二个平面时出射角的正弦之比为一确定比值，并且进入平面Bb时的入射角的正弦与离开第三个平面Cc时的出射角的正弦之比也为一确定比值，同理，物体进入平面Cc时的入射角的正弦与离开第四个平面Dd时的出射角的正弦之比同样也是一个确定比值。以此类推，无数个平面时，该正弦之比都是一个确定值。将这些比值一一相乘，最后求出进入第一个平面的入射角的正弦与离开最后一个平面的出射角的正弦之比是一个确定比值。现在设平面的数量无限增加，同时平面间间隔距离趋于零，使受到吸引力或排斥力作用的物体按照任意给定规律，做连续运动，那么进入第一平面时的入射角的正弦与物体离开最后一个平面时的出射角的正弦之比为一确定比值。

证明完毕。

命题95　定理49

同命题94的假设条件，那么物体入射前的速度与物体出射后的速度之比等于出射角的正弦与入射角的正弦之比。（如图14-3）

设AH＝Id，过A作垂直于平面Aa的垂线AG，与入射线GH交于点G。过d作dK垂直于平面Dd，且dK与出射线IK交于点K。在GH上取一点T，使TH＝IK，再过点T作直线Tv垂直于平面Aa。根据运动定理推论2，可以将物体的运动分解为两个方向的运动，其中一个运动的方向与平面Aa、Bb、Cc等垂直，而另一个运动的方向则与这些平面平行。因为垂直于平面方向的吸引力或排斥力不会影响平行于平面方向的运动。因为AH＝Id，所以当物体沿平行于平面方向运动时，通过直线AG与点H间距离所用时间等于物体通过直线dK与点I间距离（这两条直线平行）所用时间。由此可得，物体做相应的曲线运动的时间也应相等，也即是物体画出轨迹曲线GH和IK所用的时间相等。设以线段TH或IK为半径，所以入射前速度与出射后速度之比等于GH与IK之比，因为IK＝TH，故该速度之比也等于GH与TH之比，也即是等于AH或Id与vH之比，上述这三个比值都是相等的，它们的比值也即是出射角正弦与入射角正弦之比。

证明完毕。

命题96　定理50

已知入射前物体的运动速度大于出射后速度，在相同条件下，如果入射直线是连续偏折的，那么物体最终将被反射出平面，且其反射角等于入射角。（如图14-4）

假设物体一一通过平行平面Aa、Bb、Cc等，并且在此过程中物体的运动轨迹为抛物线弧。现在将这些弧命名为HP、PQ、QR等。假设物体沿入射线GH倾斜进入第一个平面，此时与平面所成的入射角的正弦与一个正弦和它相等的圆的半径的比值，等于这个入射角的正弦与物体离开平面Dd进入空间DdeE时出射角的正弦的比值。由上所述，可得出射角的正弦等于圆的半径，因为此时出射角为180˚，故出射线与平面Dd重合。设物体到达平面Dd时的位置是点R，因为出射线与平面Dd重合，所以物体在到达平面Dd时将不会再朝平面Ee的方向运动，但是因为物体在此空间中始终受到入射介质的吸引或排斥作用，故该物体也不会沿着出射线Rd运动。所以物体将在平面Cc与Dd间的空间开始返回，其运动轨迹是抛物线弧QRq，并且根据伽利略的证明推得，该抛物线弧的顶点为R，并且在进入平面Cc时的入射角就等于进入平面时在Q点的入射角。然后物体将继续返回，这时的运动轨迹为抛物线弧qp、ph等，这些抛物线弧与之前的抛物线弧QP、PH相似且相等。并且在点p、h等处，物体进入相应平面的入射角等于之前在点P、H等处相应的入射角。最终物体将在点h处从平面Aa出射，此时的出射倾斜度等于物体从H点进入平面Aa时的入射倾斜度。现在设Aa、Bb、Cc、Dd、Ee等平行平面间的空间无限缩小，但是同时平面的数量无限增加，这样按任意已知规律的吸引力或排斥力使物体做连续运动，那么此时出射角将始终等于入射角，并且最后物体从该空间离开时最后的出射角也与入射角相等。

附注

这些吸引作用与斯涅耳发现的光的反射和折射定律非常相似，即光的反射角与折射角的正割之比为一常数，而且最终也如笛卡尔所证明的那样，入射角与反射角的正弦之比也为一常数。因为在许多天文学家对木星现象予以观察后，他们现在已经确定光是连续传播的，并且光从太阳到地球只需七八分钟。此外正如格里马尔迪最近的实验发现一样（同样，我也做过此实验），光线通过小孔进入黑屋。同时，我也仔细观察了光线经过物体边缘时的运动情况。无论该物体是透明的或是不透明的（如金、银、铜币的圆形或方形边缘，刀刃、石块，或者是玻璃碎片），当空气中的光束通过物体的棱边时，光线就如同受到该物体的吸引力作用一样，围绕物体弯曲或屈折。其中，最靠近物体的光束弯曲程度最大，就好比这些光束受到的吸引力最大，而那些距物体稍远的光束的弯曲程度则较小，反而那些离物体更远的光束则会反向弯曲。以上这三类光束形成了三条彩色条纹。（如图14-5）图中s点表示刀刃，AsB表示任意一种尖劈，而gowog、fnunf、emtme、dlsld则是分别沿着弧owo、nun、mtm、lsl朝刀锋处弯曲的光束。这些光束的弯曲程度随离刀锋距离的远近而改变。因为光线的这种屈折是发生在刀锋外的空气中，因此落在刀锋上的光束在接触刀锋前就已经先弯曲了。如果光束是落在玻璃上，那么情况也相同。因此折射并不是发生在入射点，而是由光束的渐渐屈折而形成了折射。其中一部分的折射发生在光束接触玻璃前的空气中，而如果我没有弄错，另一部分则发生在物体进入玻璃后，即发生在玻璃中。（如图14-6）如图所示，落在r、q、p点上的光束ckzc、blyb、ahxa分别在k与z之间，l与y间，以及h与x间发生屈折。因为光线的传播运动与物体的运动极为相似，在完全不考虑光线的本质以及它们究竟是不是物体，只假设物体的路径及其相似于光线的路径的情况下，下述命题是适用于光学应用不会错。

命题97　问题47

假设当物体进入任意平面时，入射角的正弦与出射角的正弦之比为一确定比值（即常数），并且在物体靠近该平面时，这些物体的屈折路径发生在一个极小的空间内（因为此空间非常小，故可视为一个点）。如果小球都来自一个已知的处所，且有一平面能将发散的所有小球都汇集到另一个确定的点上，求这个平面。（如图14-7）

设小球从点A发散出来，而在B点重新汇集。绕轴AB旋转得到一曲线CDE，而D、E是曲线CDE上任意两点，那么曲线CDE所在的面即为所求平面。AD、DB是物体的运动路径，过E分别作AD、BD的垂线EF、EG。设D趋近于点E，并最终与点E重合。已知线段DF使AD增长，而线段DG则使DB变短，因为线段DF与DG之比等于入射角的正弦与出射角的正弦之比，故AD的增长量与DB的减少量之比为一确定比值。因此如果在轴AB上取曲线CDE的必经之点C，并且按照上述比值去求CM与CN间的比值，其中CM为AC的增量，而CN为BC的减量。以A为圆心，AM为半径作一个圆，再以B为圆心，BM为半径作另一个圆，这两个圆相交于点D，那么点D将与所求曲线CDE相切。而根据点D与曲线在任意点相切，可求出该曲线。

证明完毕。

推论1　如果使点A或B有时远至无限，而有时又趋向点C的另一侧，那么由此得到的所有图形就是笛卡尔在他的著作《光学》和《几何学》中所画的关于折射的图形。虽然笛卡尔一直将它隐藏，从未发表过，但在此命题中我将它发表出来。

推论2　如果沿着直线AD（如图14-8）物体按任意规律落在任意表面CD上，并且沿另一条直线DK离开该表面。过点C作曲线CP和CQ，且CP始终垂直于AD，且CQ始终垂直于DK。AD的增量产生线段PD，且DK的增量产生线段QD，那么PD与QD之比等于入射角的正弦与出射角的正弦之比。反之亦然。

命题98　问题48

已知条件同命题97。如果绕轴AB作任意一个吸引表面CD（无论该表面是规则的或是不规则的），假设从已知点A上发散出的物体必定穿过该表面。如果第二个吸引表面EF使这些物体重新汇集到一个确定的点B上，求表面EF。（如图14-9）

如果轴AB与第一个面交于点E，而点D为任意一点。设物体进入第一个平面时入射角的正弦与出射角的正弦之比等于任意给定值M与另一个给定值N之比，同样地，物体进入第二个表面时的入射角的正弦与出射角的正弦之比也等于这个比值。延长AB至点G，使BG∶CE＝（M-N）∶N，并延长AD至H，使AH＝AG，最后延长DF至K，使DK∶DH＝N∶M。连接KB，以D为圆心，DH为半径作一圆，且此圆交KB于点L。再连接DL，过B作直线BF平行于DL。那么这个点F将与曲线EF相切，当曲线EF绕轴AB旋转时所得的平面即是所求平面。

设曲线CP与直线AD处处垂直，且曲线CQ也与直线DF处处垂直，而曲线ER，ES则分别垂直于直线FB、FD，因此QS＝CE。根据命题97的推论2，PD∶QD＝M∶N，同样DL比DK（或FB比FK）也等于M比N，由分比得，也等于（DL-FB）或（PH-PD-FB）比FD或（FQ-QD）。由分比得，也等于（PH-FB）比FQ。又因为PH＝CG，QS＝CE，故（PH-FB）∶FQ＝（CE＋BG-FR）∶（CE-FS）。但是因为BG∶CE＝（M-N）∶N，所以（CE＋BG）∶CE＝M∶N。将上面两个比例式用分比性质，得FR∶FS＝M∶N。根据命题97的推论2，如果一个物体沿直线DF方向落到表面EF上，那么EF将使物体沿直线FR方向运动到点B处。

证明完毕。

附注

用同样的方法，上述命题可以一直证明到三个或更多的表面。但是在所有形状中，球体最适用于光学应用。如果望远镜的物镜由两个球体镜片构成，且这两个球形镜片之间充满了水。由于镜片表面会引起光的折射，那么用水来纠正由折射引起的误差，从而使这个物镜能达到足够的精确度，这不是不可能的。因此这种物镜的效果要比凹透镜和凸透镜的效果都好，这不仅是因为物镜易于操作，精确度高，而且也因为物镜能更精确地折射远离镜轴的光束。但是因为光线不同，故折射率也会随之改变，所以这就使光学仪器不能用球形或其他形状的镜片来纠正所有光线引起的误差。因此除非由此产生的误差都能纠正，否则只是致力于纠正其他误差的努力都将是徒劳的。