数学历史 比和比例的历史源流

比和比例的概念起源很早，在公元前6世纪～公元前5世纪时，中国和古希腊已经有了比和比例的概念。

约公元前6世纪时，毕达哥拉斯学派提出“任何两个量的‘比’都应归结为两个整数比（即最简整数比）”。根据这个原理，他们创造了一套音乐理论。例如，他们给出了4∶3、3∶2、2∶1几个主要音乐节拍。然而有一天，毕达哥拉斯学派的希帕索斯却发现正方形的对角线与边长之比不能表示为两个整数之比，希腊人把这种“不能表示”成整数之比的“比”称为不可公度比，而把“可表示”成两个整数之比的“比”称为可公度比。

关于比例古希腊数学家泰勒斯曾使用比例的方法测量埃及金字塔的高度，这可以看作是应用比例概念的萌芽。特别是古希腊数学家欧多克索斯在数学上创立了“新比例”，他提出了“数之比”和“量之比”的概念，他认为“数”与“量”是不同的，用现代的术语来说他认为数是跳动的；而量是没有确定数值的，是连续变化的。他还认为，“比”是同类量之间的大小关系，同时他定义“比例”为两个量相等的关系，这样的认识一直延续到现在。他的成果记载在欧几里得《几何原本》中，《几何原本》给出了比、比例、反比、合比等的概念与运算法则，完善了比例理论。

因此，在古希腊，从毕达哥拉斯学派开始研究比例论起，到欧几里得比例论的完成，比例理论的完善经历了两个多世纪。

在我国，比例的概念在先秦已出现了。《算数书》中有关比例的算题要占到所有算题的一半，涉及的知识有正比例、反比例、配比例、连比例、复比例。可见，现代数学的比例类型已经全部包含在内。《墨子·杂守》中有一道题就是比例的复杂运算问题，得出的连比例是。《九章算术》的“粟米”“衰分”“均输”各章中，也记载有各种形式的比例问题，已经形成了比较完整的体系。

《九章算术》中，很多题都采用了“今有术”的方法来解，“今有术”的方法是一种完整的比例算法，即“所有率∶所求率=所有数∶所求数”，也就是现在所说的比例法。“今有术”的名称一直沿用到清代才改为“比例”。这种方法约在公元7世纪传到印度，在印度被称为“三率法”。印度“三率法”后又传入阿拉伯，15世纪经阿拉伯人传入欧洲，被欧洲人称为“黄金法则”（用贵重的黄金比喻其重要性）。数学家刘徽认为，“今有术”是一种常用的方法，比如，《九章算术》的“均输”章中有一道题目是“一位客人离开旅馆时，忘记带衣服了，过了天，主人发现了，骑马追上客人还给他衣服，主人回到家时已过了天。客人的马一日行300里，问主人的马一日行多少里？”。刘徽认为，是主人追客来回用日率，则是主人追客用日率，是客人被追上前用日率。而主人追客用日率即客人马行率，客人被追上前用日率即主人马行率，因此客人马行率5为所有率，主人马行率13为所求率，300里为所有数。主人马一日行（所求率）=300×13÷5=780（里）。

我国提出“比”一词，首次见于刘徽《九章算术注》的“衰分”章中，1607年徐光启与利玛窦合译《几何原本》时，创造性地使用了“比例”一词，不过他们所说的“比例”相当于现在的“比”，而所述的“同类大小之比”则相当于现在的“比例”。

公元8世纪左右，英国数学家阿尔昆在《活跃思想的问题》一书中有一道题：

一个生命垂危的人立了遗嘱：如果他已怀孕的妻子生儿子，则儿子得遗产的，母亲得，如果生女儿，则女儿得，母亲得。结果他的妻子生了双胞胎，一儿一女，试问，怎样分遗产才不违背遗嘱呢？

根据题意有儿子与母亲分得遗产的比为，母亲与女儿分得遗产的比为。根据连比定义得，儿子财产∶母亲财产∶女儿财产4∶2∶1。因此，可以把遗产平均分成4+2+1=7（份），儿子得遗产的，妻子得，女儿得。这个题涉及数学上连比的概念，求三个数的连比的关键是找到连比的中间桥梁，即妻子所得遗产的份数。