堂之课外 牛顿的草地与母牛问题

牛顿在1707年提出了一个有趣的问题：a头母牛在c天内将b块草地上的牧草吃完了；a'头母牛在c'天内将b'块草地上的牧草吃完了；a"头母牛在c"天内将b"块草地上的牧草吃完了。求出a、b、c、a'、b'、c'、a"、b"、c"这 9个数量之间的关系。

这个问题十分有趣，德国科普作家德里将之列为著名的初等数学问题之一，收入《100个著名初等数学问题——历史和解》一书中。

一片草地能让10头牛吃30天，如果有15头牛，能吃几天呢？如果简单地认为牛的数量越多，吃的天数就越少，认为牛的数量和吃的天数是反比例关系，是不正确的。牛吃的草，有的是原来的，有的是新长的。牛多了，新长的草不够牛吃，吃的天数就会比20天少。至于到底能吃多少天，由于题目条件不足，无法计算。下面给出一道完整的题目。

有一片草地，如果让24头牛吃，则6天吃完牧草。如果让21头牛吃，则8天吃完牧草。假设牧草每天匀速生长，每头牛每天吃草的量相等。那么16头牛，几天可以吃完牧草？

此题解题的关键是虽然牧草总在生长，但牧场上原来的牧草量是一个固定的量，而牧草是匀速生长的，所以每天新长出的牧草量也是不变的。抓住不变量，我们可以得到下面4个关系式，显然（3）和（4）可以看成是（2）的变式。

（1）牧草的生长速度=（吃的较多天数的牛的数量×吃的较多天数-吃的较少天数的牛的数量×吃的较少天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）。

（2）原有牧草量=牛的数量×吃的天数-牧草的生长速度×吃的天数。

（3）吃的天数=原有牧草量÷（牛的数量-牧草的生长速度）。

（4）牛的数量=原有牧草量÷吃的天数+牧草的生长速度。

所以此题答案为：

牧草的生长速度：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份牧草/天）

原有牧草量：21×8-12×8=72（份牧草）

16头牛可吃：72÷（16-12）=18（天）

答：16头牛18天可以吃完牧草。