第3讲 定义新运算
原来如此
如图3-1所示，一只甲虫从画有方格的木板上的A点出发，延着一段一段的横线、竖线爬行到B，左图中的路线对应下面的算式：1-2+1+2+2-1+2+1=6。请在图3-2中用粗线画出对应的算式：-2-1+2+2+2+1+1+1的路线。
图3-1
图3-2
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Step1
【引导】1和2对应的方向
算式 “1-2+1+2+2-1+2+1=6” 中有4个1、4个2，路线图呈现上下左右方向。第一步+1，对应向________；（填上、下、左、右，同后）；第二步-2，对应向________；第三步+1，对应向；第四步+2，对应向________。
所以-1对应向________。
Step2
【引导】 数字大小与路线长短的关系
此题中，“+1” 对应向上走1个单位长度；“-2” 对应________________，1和2表示都走________个单位长度。
Step3
【引导】 算式转化成路线
一共需要走________个单位长度，路线是________________________（图中画出）。
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如此这般
如图3-4所示，一只甲虫从画有方格的木板上的A点出发，延着一段一段的横线、竖线爬行到B，左图中的路线对应下面的算式：1-2+1+2+2-1+2+1=6。请写出图3-5中用粗线画出的路线对应的算式。
图3-4
图3-5
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基础巩固
1.设m，n表示两个数，规定m＠n=m×（n+5）
试计算：（1）6＠9 （2）9＠6
2.规定a*b=（b+a）×b，求2*（3*5）。
3.设a，b表示两个不同的数，规定a⊕b=3×a-b，如果已知4⊕b=2，求b。
能力提升
4.两个整数a除以b的余数记为a△b。例如13△5=3。
根据这样定义的运算，（26△9）△4等于几？
5.规定：6&2=6+66=72，2&3=2+22+222=246，1&4=1+11+111+1111=1234。求7&5。
6.规定：6*3=6×5×4=120，9*2=9×8=72，4*4=4×3×2×1=24。计算8*4的结果。
7.定义新运算：A＃B表示从A开始的B个连续自然数的和，例如4＃3=4+5+6=15。
如果 （A＃5）＃9=2016，求A。
8.规定a*b=4×a-b，m*（2*m）=17，求m是多少。
9.对于数a，b，c，d，规定 〈a，b，c，d〉=2ab-c+d。
（1） 按着这样的规则计算 〈1，3，5，7〉 的结果。
（2） 若 〈2，3，4，n〉=18，求n是多少。
10.定义两种运算 “⊕”、“⊗”，对于任意两个整数a，b，a⊕b=a+b+1，a⊗b=a×b-1。计算4⊗[（6⊕8） ⊕ （3⊕5）]的值。
11.对任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1，g（b）=b×b。
（1） 求f（5）-g（3） 的值；
（2） 求f（g （2））+g（f（2））的值；
（3） 已知f（x+1）=21，求x的值。
12.规定a与b中较大的减去较小的得到的结果记为a△b，那么(…(((1△2)△3)△4)△…△99)△100=?
思维突破
13.对于任意自然数，定义：n！=1×2×…×n。
例如4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+…+100！的和的个位数字是几？
14.定义新运算：A§B等于A，B之间所有与B奇偶性相同的自然数的和 （不包含A，B），例如：7§2=4+6=10，2§7=3+5=8。
（1） 计算9§21的值。
（2） 如果9§A=200，求A的值。
单题拓展
有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。装置A∶将输入的数加上5；装置B∶将输入的数除以2；装置C∶将输入的数减去4；装置D∶将输入的数乘以3。这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出3。
（1） 输入9，经过A·B·C·D，输出几？
（2） 经过B·D·A·C，输出的是100，输入的是几？
（3） 输入7，输出的还是7，用尽量少的装置该怎样连接？