第一章　计数原理

第一节　加法与乘法原理

一、课标导航

二、概念辨析

1. 加法原理

问题1　书架上层放有7本不同的英语书，中层放有8本不同的语文书，下层放有3本相同的英语书，从中选取一本书，有多少种不同的选法？

【分析】在用加法原理时首先要确定完成这件事分几类，每一类有几种方法，需要注意的是每一类的划分必须是相互独立的，不同种类中的方法必须是不相同的且没有重复的. 根据加法原理，要完成“选取一本书”这件事，上层有7种选法，中层有8种选法，下层有只有1种选法，所以共有7+8+1=16种.

【解答】16

2. 乘法原理

问题2　（1）5名学生从3项体育项目中选择参赛，若一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？

（2）5名学生争夺3项比赛的冠军（每个学生报名科目不限），则冠军获得者有几种不同情况（没有并列冠军）？

【分析】在使用乘法原理时，要确定一个分步标准，只有各个步单独完成，并且连续完成几步，整件事才算完成.

（1）中每名学生都可以从3项体育项目中选1项，有3种选法，只有5名学生都选完，这件事才算完成，所以5名学生的参赛方法有3×3×3×3×3=35种.

（2）完成这件事是需要产生3个冠军，每个冠军都可能被5个人中的一人获得，所以3个冠军的获得情况有5×5×5=53种.

【解答】（1）35　（2）53

三、全能突破

基础演练

1. 小冉有3条不同款式的裙子、5双不同款式的靴子，某日她要去参加聚会，若穿裙子和靴子，则不同的穿着搭配方法的种数为（　）.

A. 7

B. 8

C. 15

D. 125

2. 5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择，则不同的选取方法种数是（　）.

A. 54

B. 45

C. 5×4×3×2

D.

3. 设x，y∈N*，且x+y≤4，则直角坐标系中满足条件的点M（x，y），共有（　）.

A. 3个

B. 4个

C. 5个

D. 6个

4. 已知集合，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有（　）.

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

5. a，b，c，d，e共5人，从中选1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，不同的选法总数是（　）.

A. 20

B. 16

C. 10

D. 6

6. 某城市的电话号码，由6位升为7位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是（　）.

A. 9×8×7×6×5×4×3

B. 8×96

C. 9×106

D. 81×105

7. 已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，经过这13个点可以确定（　）个不同的平面.

A. 40

B. 13

C. 10

D. 16

8. 书架上原来并排放着5本书，现要再插入3本不同的书，那么不同插法的种数是（　）.

A. 336

B. 120

C. 24

D. 18

9. a，b，c，d排成一行，其中a不排第1、b不排列第2、c不排第3、d不排第4的不同排法共有________种.

10. 某座山，若从东侧通往山顶的路有3条，从西侧通往山顶的路有两条，那么游人从上山到下山共有________种不同的走法.

11. 用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个没有重复数字的三位奇数？

12. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各1人，有________种不同的选法.

能力提升

13. 某城市的街道如图1-1-1所示，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有（　）.

A. 8种

B. 10种

C. 12种

D. 32种

14. 正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数为（　）.

A. 20

B. 15

C. 12

D. 10

15. 设集合I={1，2，3，4，5}，选择I的两个非空子集A和B中，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（　）.

A. 50种

B. 49种

C. 48种

D. 47种

16. 如图1-1-2所示，在A，B，C，D，E这5个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为________.

17. 用5种不同颜色给图1-1-3中4个区域涂色，每个区域涂一种颜色，那么涂色的方法有________种.

18. 3张1元币、4张1角币、1张5分币、2张2分币，可组成多少种不同的币值（1张不取，即0元0角0分不计在内）？

19. 现有3个完全相同的白球和4个完全相同的黑球，将它们全部放入甲，乙两个篮子，每个篮子里至少有一个球，则不同的放法有多少种？

20. 将标有数字1，2，3，4，5的5张卡片放入标有数字1，2，3，4，5的5个盒子中，每个盒子放一张卡片，且卡片上的数字与盒子的数字均不同，则共有多少种不同的放法？

21. 跳格游戏，如图1-1-4所示，人从格外只能进入第1个格子，在格中每次可向前跳1格或两格，那么人从格外跳到第8个格的方法种数为________.

高考链接

22. （2014年四川）6个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（　）.

A. 192种

B. 216种

C. 240种

D. 288种

23. （2011年北京）用数字2，3组成四位数，且数字2，3都至少出现一次，这样的四位数共有________个. （用数字作答）

24. （2012年湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等. 显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99. 3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.

（1）4位回文数有________个.

（2）2n+1（n∈N*）位回文数有________个.

25. （2010年上海）从集合U={a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件.

（1）∅，U都要选出；

（2）对于选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或B⊆A.

共有________种不同的选法.

巅峰突破

26. 72的正约数（包括1和72）共有________个.

27. 设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两个顶点之一. 若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若在5次之内不能跳到D点，则跳完5次也停止跳动. 那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共有________种.

28. 函数f：{1，2，3}→{1，2，3}满足f（f（x））=f（x），则这样的函数共有（　）.

A. 1个

B. 4个

C. 8个

D. 10个