1.1 一元函数

函数是高等数学中最重要的概念之一．在数学、自然科学、经济学和管理科学的研究中，函数关系随处可见．微积分学是以函数关系为研究对象的．极限是研究函数和解决各种问题的一种基本方法．它研究变量的变化趋势，贯穿微积分研究的始终．极限理论是微积分理论的基础．连续是函数的最重要的性质之一，连续函数是微积分研究的主要对象．本章将从函数概念入手，讨论一元函数及二元函数的性质、函数的极限、函数的连续性等基本概念，为以后的学习奠定基础．

1.1.1 函数的概念

定义1　设D是一个给定的非空数集，如果对于每一个数x∈D，变量y按一定法则总有唯一一个确定的数值与之相对应，则称变量y是变量x的函数，记作y=f（x），x称作自变量，y称作因变量，f是函数符号，表示y与x的对应法则．函数符号也可以用其他字母表示，如g，h，φ等．数集D称作函数y=f（x）的定义域，函数值的全体W={y｜y=f（x），x∈D}称为函数y=f（x）的值域．

由函数的定义可以发现，一个函数的确定有三个要素：定义域D、对应法则f和值域W．由于函数值可以由定义域D和对应法则f唯一确定，给出了定义域D及对应法则f，则值域W也就确定了，从而定义域D和对应法则f就是决定一个函数的两个要素．所以，在判断两个函数是否一样的时候，只要看这两个要素是否相同即可．

y=f（x）称为函数表达式．不难发现，函数表达式有的比较简单，有的比较复杂，复杂的表达式是由简单的表达式按照一定的“运算”（四则运算和复合运算）演变而来的．表达式最简单的函数称为基本初等函数．

1. 基本初等函数

幂函数y=xα（α∈R）、指数函数y=ax（a＞0且a≠1）、对数函数y=logax（a＞0且a≠1）、三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx和反三角函数y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx统称为基本初等函数．具体函数图像和性态见附录Ⅲ．

2. 复合函数

定义2　如果y是u的函数y=f（u），而u又是x的函数u=φ（x），且φ（x）的值域与y=f（u）的定义域的交非空，那么，y通过中间变量u的联系成为x的函数，把这个函数称为由函数y=f（u）与u=φ（x）复合而成的复合函数，记作y=f[φ（x）]．

注意：函数复合是有条件的，y=f（u），u=φ（x），并不一定都能构成复合函数y=f[φ（x）]．

例如，y=lnu，u=sinx－2就不能构成复合函数y=ln（sinx－2）．

学习复合函数有两方面要求：一方面，会把几个作为中间变量的函数复合成一个函数，这个复合过程实际上是把中间变量依次代入的过程；另一方面，会把一个复合函数分解为几个较简单的函数，这些较简单的函数往往是基本初等函数或是基本初等函数与常数的四则运算所得到的函数．

【例1】　已知y=lnu，u=x2，试把y表示为x的函数．

解　y=lnu=lnx2，x∈（－∞，0）∪（0，+∞）．

注意：复合函数的中间变量可以不限于一个．

【例2】　函数y=esinx是由哪些简单函数复合而成的？

解　令u=sinx，则y=eu，故y=esinx是由y=eu，u=sinx复合而成的．

【例3】　函数y=tan3（2lnx+1）是由哪些初等函数复合而成的？

解　令u=tan（2lnx+1），则y=u3；再令v=2lnx+1，则u=tanv．

故y=tan3（2lnx+1）是由y=u3，u=tanv，v=2lnx+1复合而成的．

注意：复合函数的复合过程是由内层到外层进行的，而分解过程是由外层到内层进行的．

例如，，w=arctanu，，v=x2+1．

（由左到右为分解过程，由右到左为复合过程）

1.1.2 一元函数的几个简单性质

1. 有界性

定义3　设y=f（x），定义域为D，若对于任意的x∈D，总存在一个正数M，使得恒有｜f（x）｜≤M，则称函数f（x）在D上有界．否则称函数f（x）在D上无界．

从几何上来看，一个函数是有界函数，则一定能够找到两条平行于x轴的直线，使得有界函数的图像介于这两条直线之间．

例如，y=sinx是有界函数，它的图像介于直线y=－1和y=1之间；在[1，+∞）上有界，在（0，1）上无界．

常见的有界函数有：y=sinx，y=cosx，y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx．

2. 单调性

定义4　设函数f（x）在区间I上有定义，对于区间I上任意的两个点x1＜x2，则

如果总有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）在区间I上单调递增，区间I称为单调递增区间；

如果总有f（x1）＞f（x2），则称函数f（x）在区间I上单调递减，区间I称为单调递减区间．

单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数，单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间．

从几何上看，单调增加的函数图像整体上是从左下向右上方向发展的，而单调减少的函数图像则是从左上向右下方向发展的．对于一个一般的函数图像，从整体上来看可能既不是从左上到右下的，也不是从左下到右上的，但是基本都可以看作由几个从左上到右下或者从左下到右上的段组合而成．

3. 奇偶性

定义5　设I是关于原点对称的区间，函数f（x）在该区间上有定义：

若对所有的x∈I，有f（－x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数；

若对所有的x∈I，有f（－x）=－f（x），则称函数f（x）为奇函数．

奇偶性有的时候也叫对称性．从几何上来看，偶函数的图像是关于y轴的轴对称图形，而奇函数的图像是关于原点的中心对称图形．例如，y=x2是偶函数，y=x是奇函数．

4. 周期性

定义6　设函数f（x）在区间I上有定义，若存在一个不为零的常数T，使得对于任意的x，只要x+T∈I，满足f（x+T）=f（x），则称f（x）是周期函数，称常数T为它的一个周期．

若T为函数的一个周期，则±2T，±3T等也都是函数的周期．通常称周期中的最小正周期为周期函数的周期，如y=sinx的周期为2π．

从几何上来看，周期性体现了图像发展中的重复规律，每隔一个周期T，图像就出现重复．像这样的周期函数，只要了解一个周期内的特性，就可以了解这个定义域内的函数特性．

1.1.3 初等函数

1. 定义

定义7　由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合而成的，并且能用一个式子表示的函数，称为初等函数．

有些函数，对于其定义域内自变量x的不同的值，不能用一个统一的数学表达式表示，而要用两个或两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数．

例如，

注意：分段函数是用几个公式合起来表示一个函数，而不是表示几个函数．初等函数是用一个表达式表示的函数，分段函数一般都不是初等函数．

例如

等都是初等函数．

2. 函数定义域

从定义1可知，自变量的取值范围就是函数的定义域．在一般情况下，函数的定义域是随着函数的确定被确定出来的，定义域一般都具有特殊的实际条件范围．但是也有的时候得到了函数的表达式，却需要确定满足函数表达式所需要的自变量的取值范围，此时就要从函数表达式出发来考虑函数的定义域．

【例4】　求函数的定义域．

解　观察函数表达式可以发现，该函数中有分式，有对数函数，还有偶次根号，因此，可以得到如下不等式组：

分别解这三个不等式并求解的公共部分，可得函数的定义域为（1，3）．

一般来说，函数的表达式对于自变量取值范围的限制主要由函数的各组成部分的定义域来确定的，掌握基本初等函数的定义域是求解此类问题的基础．常见的情况包括：

（1）分母中包含自变量：；

（2）偶次根号下包含自变量：；

（3）对数函数中包含自变量：logaf（x）；

（4）反三角函数包含自变量：arcsinf（x）．

3. 邻域

在表示函数定义域或者值域的时候，一般都使用集合或者连续区间．在微积分的研究过程中，主要是通过研究某些点附近的“局部”细微变化，进而研究函数在定义域内的整体变化．今后在很多情况下会用到这个表示某点附近区域的工具——邻域．

数轴上一点a，距离a的距离小于δ的区域称为a的δ邻域，记作U（a，δ），即

U（a，δ）={x｜｜x－a＜δ}=（a－δ，a+δ）．

其中，点a称为邻域的中心，正常数δ称为邻域的半径．

有些时候考虑邻域，需要将特殊点a排除在外．排除中心a以后的邻域称为a的一个去心δ邻域，记作（a，δ），即

1.1.4 生活中常见的函数及建模

1. 根据实际问题中变量的内在关系建立函数表达式

前面已经了解了函数的概念及性质，现在可以利用它们来解决实际问题．从例题中可以发现，解决实际问题的过程其实就是将问题转化为数学问题，建立数学模型，具体步骤如下：

（1）分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示；

（2）分析所给条件，运用数学、物理或其他知识，确定等量关系；

（3）具体写出函数关系：y=f（x），并指明定义域．

2. 生活中常见的函数：成本函数、收益函数、利润函数

某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入的价格或费用总额．它由固定成本与可变成本组成．

设C为总成本，C1为固定成本，C2为可变成本，为平均成本，Q为产量，则有

总成本函数：C=C（Q）=C1+C2（Q）．

总收益是出售一定数量的产品所得到的全部收入．总利润是生产一定数量的产品的总收益与总成本之差．

设P为商品价格，Q为商品量，R为总收益，C（Q）为总成本，则有

总收益函数：R=R（Q）=Q•P（Q）；

总利润函数：L（Q）=R（Q）－C（Q）．

例如，生产某种产品q个单位时的费用为C（q）=5q+200，收入函数为R（q）=10q－0.01q2，

则利润函数为

L（Q）=R（Q）－C（Q）=－0.01（q－250）2+425．