2.1　静电场的电位

在第1章，采用电场强度矢量来描述静电场。本节中，将定义一个标量场电位，以简化静电场的描述。

2.1.1　静电场电位简介

由麦克斯韦方程组，对于静电场，其场方程为

▽×E=0　　（2.1.1）

▽·D=ρ　　（2.1.2）

上两式表明，静电场是无旋场，从而可以写为

E=-▽φ　　（2.1.3）

这里，标量函数φ称为电位或电势。由于▽φ垂直于φ的等值面，并指向φ增加的方向，故由上式可知，电场强度E垂直于φ的等位面，并指向电位下降的方向。

设a、b为空间任意两点，以任意路径L相连接，对于式（2.1.3），沿曲线L取积分，可得

可见，静电场中任意两点之间的电位差可由电场强度E沿连接这两点的任意路径的积分得到。处于静电平衡状态的导体，其内部电场E=0。由式（2.1.4）可知，静电平衡的导体中▽φ=0，导体是等位体。

式（2.1.3）和式（2.1.4）定义的是电位的梯度和电位差。只有规定了电位的零点，电场中每一点的电位才具有确定的值。电位的零点可以任意选取，因为电位加上一个任意常数并不影响其梯度或电位差的值。

2.1.2　空间电荷的电位

对于点电荷的电场，有

考虑到以下梯度运算结果

则有

从而可得点电荷q产生的电场的电位函数为

式中，C为任意常数。应用叠加原理，根据式（2.1.8）可得到点电荷系、线电荷、面电荷和体电荷产生的电场的电位函数分别为

例2.1　求真空中无限长均匀带电直线周围的电位分布，设带电线的线电荷密度为ρl。

解　以带电直线为轴线建立圆柱坐标系，取距离轴线有限远的ρ=ρ0处为电位零点。由高斯定理，该带电直线引起的电场为

从而，距带电线为ρ处的电位为

2.1.3　静电位的微分方程

在均匀、线性和各向同性的电介质中，ε是一个常数。因此将E（r）=-▽φ（r）代入▽·D（r）=ρ（r），可得

▽·D（r）=▽·εE（r）=-ε▽·▽φ（r）=ρ（r）　　（2.1.15）

从而，有

即静电位满足标量泊松方程。若空间内无自由电荷的分布，即ρ=0，则电位函数满足拉普拉斯方程，即

▽2φ（r）=0　　（2.1.17）

通过以上的推导，可见电位函数的微分方程包含了▽×E=0，▽·D=ρ和D=εE这些静电场的所有基本方程。因此对于静电场而言，电位的微分方程和场方程等价。在通过解泊松方程或拉普拉斯方程求电位函数φ（r）时，需应用边界条件来确定常数。下面介绍电位的边界条件。

设P1和P2是介质分界面两侧、紧贴分界面的相邻两点，其电位分别为φ1和φ2。由于在两种介质中电场强度均为有限值，当P1和P2都无限贴近分界面时，即其间距Δl→0时，φ1-φ2=E·Δl→0。因此，分界面两侧的电位是相等的，即φ1=φ2。

又由en·（D1-D2）=ρS，D=εE=-ε▽φ可导出

若分界面上不存在自由面电荷，即ρS=0，则上式变为

若第二种介质为导体，因达到静电平衡后导体内部的电场为零，导体为等位体，故导体表面上，电位的边界条件为