13.4　隐函数的导数

本节重点知识：

1.隐函数的定义.

2.隐函数的求导方法.

1.隐函数的定义

前面讨论的函数求导方法，都是对于因变量y已写成自变量x的显性表达式y=f（x）来说的，这样的函数称做显函数.但有时还会遇到函数关系不是用显函数形式表示的情形.例如，中心在原点的单位圆方程x2+y2=1.又例如ey=xy，它们都表示x，y之间的函数关系.我们把由方程F（x，y）=0表示的因变量y与自变量x的函数关系，称为隐函数.

2.隐函数的求导方法

有些隐函数可以化为显函数，但有些隐函数很难或不能化为显函数y=f（x）的形式.例如ey=xy就是这样.因此，我们需要寻找一种不需要把隐函数化为显函数，直接从确定隐函数关系的方程中计算出隐函数的导数的方法.下面举例说明隐函数的求导方法.

例1　求由方程x2+y2=1所确定的隐函数的导数y′.

解　将方程两端对x求导数，注意y2是y的函数，而y=f（x）又是x的函数，故y2是复合函数，利用复合函数的求导法则，得

2x+2yy′=0，

隐函数的求导法：

（1）方程两端对x求导数，注意y是x的函数y=f（x），y的函数就是x的复合函数，利用复合函数的求导法则.

（2）从（1）的所得式中解出y′即可.

例2　求由方程ey=xy所确定的隐函数y的导数.

解　方程两端对x求导数，得

eyy′=y+xy′，

例3　求由方程x=y-sin（xy）所确定的隐函数y的导数.

解　方程两端对x求导数，得

1=y′-cos（xy）（y+xy′），

例4　求由xy+ln y=1所确定的隐函数y在给定点的导数.

解　方程两端对x求导数，得