13.3　复合函数的导数

本节重点知识：

1.复合函数的求导法则.

2.引入中间变量求复合函数的导数.

3.省略中间变量求复合函数的导数.

目前为止我们已经会求不少简单函数的导数，但实际中遇到的函数多是复合函数，因此需要研究复合函数的导数.

1.引例　y=sin 2x，是否y′=cos 2x？

上述答案是错误的.这是因为

y′=（sin 2x）′=（2sin x cos x）′=2（cos2x-sin2x）=2cos 2x.

为什么会错？这是因为求导数时，误把y=sin 2x看成是一个简单的正弦函数，实际上它是由y=sin u和u=2x复合而成的复合函数.因此必须建立复合函数的求导法则.

由于y=sin u，y′u=cos u；u=2x，u′x=2.因而

y′u·u′x=2cos u=2cos 2x.

2.复合函数的求导法则

定理　如果函数u=φ（x）在点x可导，函数y=f（u）在其对应点u=φ（x）也可导，则复合函数y=f（φ（x））在点x可导，且

例1　求下列函数的导数：

（1）y=（2x-3）5；　　（2）y=cos（x2+1）；　　（3）.

解　（1）引入中间变量，令y=u5，u=2x-3，则

y′x=y′u·u′x=5u4·2=10（2x-3）4·

（2）引入中间变量，令y=cos u，u=x2+1，则

y′x=y′u·u′x=-sin u·2x=-2xsin（x2+1）.

（3）引入中间变量，令，u=tan x，则

注意　　（1）根据复合函数的求导法则，若设函数u=u（x）在点x可导，则导数的基本公式可变形为下列公式：

如若u=x2，则 ；　（sin x2）′=cos x2·（x2）′.

如若 ，则 .

（2）重复应用上述定理，可以把复合函数的求导法则推广到多次复合的情形，例如，设

y=f（u），u=φ（v），v=ω（x），

则复合函数的导数

或 .

（3）复合函数的求导方法熟悉之后，引入中间变量这一步就可以省略，只需从外向里，逐层求导即可.

例2　求下列函数的导数：

（1）；　　（2）y=ln sin 3x；　　（3）.

想一想

下面的计算是否正确，如果不正确，请改正.

（1）[（ax+b）2]′=2（ax+b）；

（2）（sin 3x）′=cos 3x；

（3）[sin（1-x）]′=-cos（1-x）；

（4）（e-x）′=e-x.

练一练

（1）[（5x-3）5]′=5（5x-3）4（　）；

（2）（1+sin2x）′=2sin x（　）；

（3）[（1-x2）2cos 3x]′=2（1-x2）（　）（　）+（1-x2）2（　）

例3　求下列函数的导数：

（1）；　　（2）y=sin3x·cos 3x；

（3）y=e-xln（1-x）；　　（4）.

（2）y′=3sin2x（sin x）′·cos 3x+sin3x·（-sin 3x）（3x）′

　=3sin2x cos x cos 3x-3sin3x sin 3x

　=3sin2x（cos x cos 3x-sin x sin 3x）

　=3sin2x cos 4x.