13.1　导数的概念

本节重点知识：

1.导数的定义.

2.导数的几何意义与物理意义.

3.可导与连续的关系.

4.高阶导数.

13.1.1　引例

17与18世纪的数学家们常把自己的数学活动与各种不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联系起来，并由实际需要提出了许多数学问题.历史上，导数概念产生于以下两个实际问题的研究.第一，求变速直线运动的速度；第二，曲线的切线问题.

引例1　变速直线运动的瞬时速度.

分析　对于匀速直线运动，物体在任何时刻的速度都相同，且.而对于变速直线运动，物体在不同时刻的速度不全相同.设物体从某一时刻开始到时刻t所走过的路程为s，则s是t的函数s=s（t），当时间t从时刻t0变到时刻t0+Δt，物体运动的路程为

Δs=s（t0+Δt）-s（t0），

这段时间的平均速度为

因物体作变速直线运动，它在任一时刻的速度随t的不同而不同.当Δt很小时，速度的变化不大，可用平均速度近似地表示物体在时刻t0的速度，显然Δt越小，近似的程度越好，平均速度就越趋近于时刻t0的速度v（t0），也就是说，当Δt→0时，平均速度无限趋近于时刻t0的瞬时速度v（t0），即

此例将匀速直线运动与变速直线运动联系起来，局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.

引例2　平面曲线的切线斜率.

设曲线y=f（x）的图形如图13-1所示.

分析　在曲线y=f（x）上取一点M（x0，y0）及邻近的另外一点M1（x0+Δx，y0+Δy），作割线MM1，则割线的斜率为

当Δx→0时，动点M1沿曲线y=f（x）无限趋近于定点M，使得割线MM1的位置也随着变动而无限趋近于极限位置MT，则称直线MT为曲线y=f（x）在点M（x0，y0）处的切线，显然，此时割线的斜率无限趋近于切线的斜率，即切线MT的斜率为

此例先以割线代替切线，算出割线的斜率，然后通过取极限，从割线过渡到切线，求出切线的斜率.

以上两个实例虽然实际意义不同，但是解决问题的思路和方法完全相同，最终都归结为计算自变量的改变量趋于零时，函数的改变量与自变量的改变量比值的极限.在数学中，把此特殊类型的极限称做函数的导数.

13.1.2　导数的定义

定义　设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在点x0处取得改变量Δx（Δx≠0）时，函数y=f（x）取得相应改变量Δy=f（x0+Δx）-f（x0），如果当Δx→0时，的极限存在，即

存在，则称此极限值为函数y=f（x）在点x0处的导数，记作f′（x0），或 ，或 ，或 .即

并称函数y=f（x）在点x0可导.如果 不存在，则称函数y=f（x）在点x0不可导.

例1　求函数y=x2在点x=2处的导数

解　根据导数的定义求导数通常分三步：

（1）求Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.

　Δy=（2+Δx）2-22=4Δx+（Δx）2.

（2）求.

（3）求.

因此f′（2）=4.

通过上例容易看出，给定函数y=f（x）后，其导数f′（x0）仅与x0有关.如果函数f（x）在开区间（a，b）内的每一点都可导，则称函数f（x）在开区间（a，b）内可导.这时，对于区间（a，b）内的每一个x值，均有对应的导数值f′（x），因此f′（x）也是x的函数，称其为函数f（x）的导函数，简称为导数.记作f′（x），y′，，.即

注意　导数f′（x0）与导函数f′（x）的区别和联系.

区别：f′（x0）是常数，f′（x）是函数.

联系：函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）就是导函数f′（x）在x=x0处的函数值，即.注意f′（x0）≠[f（x0）]′

例2　求函数y=x2的导数，并算出f′（1）.

解　（1）Δy=f（x+Δx）-f（x）=（x+Δx）2-x2=2xΔx+Δx2.

因此（x2）′=2x，从而f′（1）=（x2）′|x=1=2x|x=1=2.

上例进一步可推广为（xα）′=αxα-1（α为任意实数）利用这个公式，可以很方便地计算幂函数的导数.例如

练一练

求下列函数的导数：

（1）y=x2；y=x3； .

（2） ； ； .

（3） ； ； .

例3　求函数y=sin x的导数.

因此　（sin x）′=cos x.

类似地，可得到导数的基本公式：

（cos x）′=-sin x；　（c）′=0（c为常数）；

（ax）′=axlna（a>0，a≠1）；　（ex）′=ex；

练一练

求下列函数的导数：

（1）y=2x；y=3x； ； ；y=e5； .

（2）y=log2x；y=log4x；y=lgx； ； ；y=lg2.

13.1.3　导数的实际意义

1.导数的几何意义

由引例2可知，函数y=f（x）在点x0处的导数f′（x0），就是它所表示曲线在点M（x0，y0）处切线的斜率.即k=f′（x0）.根据直线方程的点斜式，曲线y=f（x）在点M（x0，y0）处的切线方程为

y-y0=f′（x0）（x-x0）.

如果f′（x0）≠0，曲线y=f（x）在点M（x0，y0）处的法线方程为

例4　求曲线在点（1，1）处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程.

根据导数的几何意义，所求切线的斜率为

从而所求切线方程为y-1=-1（x-1），即x+y-2=0.

法线方程为y-1=1·（x-1），即x-y=0.

练一练

求曲线y=sin x在点 处的切线方程.

2.导数的物理意义

由引例1可知，若物体的运动规律为s=s（t），则物体在时刻t的瞬时速度v（t）就是s=s（t）在点t处的导数，即v（t）=s′（t）.与此类似，许多物理量其实质就是某一函数的导数.例如，加速度a（t）是速度v（t）关于时间t的导数，即a（t）=v′（t）.

13.1.4　可导与连续的关系

定理　如果函数y=f（x）在点x0可导，则它在点x0处一定连续.

证明　因为函数y=f（x）在点x0可导

故函数y=f（x）在点x0处一定连续.

但反过来，在点x0连续的函数，不一定在点x0处可导.

注意　函数在一点连续只是函数在该点可导的必要条件，而不是充分条件.

13.1.5　高阶导数

如果函数y=f（x）的导数y′=f′（x）在点x处可导，则称f′（x）的导数为函数y=f（x）的二阶导数，记作

f″（x）或y″.

类似地，二阶导数y″=f″（x）的导数称为函数y=f（x）的三阶导数，记作

f‴（x）或y‴.

一般地，函数y=f（x）的（n-1）阶导数的导数称为函数y=f（x）的n阶导数，记作

f（n）（x）或y（n）.

二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.

例5　求y=ex的各阶导数.

解　y′=ex，y″=ex，…，y（n）=ex.