12.6　函数的连续性

本节重点知识：

1.函数的连续性.

2.初等函数的连续性.

3.函数的连续性在求函数极限中的应用.

4.闭区间上连续函数的性质.

12.6.1　函数的连续性

自然界的许多现象，如空气和水的流动、气温的变化、植物的生长等，都是随时间的变化而连续不断变化着（一个连续的变化过程是逐渐变化的，没有中断或突然的变化），这种现象反映在数学上，就是函数的连续性.它是函数重要性态之一，是高等数学的又一重要概念.

从图12-36可以看出，当x从x0的左右两侧无限趋近于x0时，f（x）的函数值无限趋近于f（x0）.此时称f（x）在点x0是连续.

定义　如果，则称函数f（x）在点x0是连续的.

注意　f（x）在点x0连续必须满足三个条件：

（1）f（x）在x0点有定义，（即f（x）在x0有函数值）；

（2） 存在；

（3） .

由定义可知，当x趋近于x0时，f（x）趋近于f（x0），则称f（x）在点x0连续.因此f（x）在点x0连续是指当x在x0处产生微小变化时，函数值的变化也很微小.

如果函数f（x）在x0处不连续（上述三个条件至少有一个不满足），则称f（x）在x0处间断，x0称为f（x）的间断点.

一个函数在开区间（a，b）内每点连续，则称其在（a，b）内连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数.

注意　连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线.

例1　f（x）的图像如下（见图12-37），判断哪些是f（x）的间断点，为什么？

解　从图像上可以看出，1、3、5是f（x）的间断点.

因为f（x）在x=1没有定义，所以f（x）在x=1间断；

虽然f（x）在x=3有定义，但不存在，所以f（x）在x=3间断；

f（x）在x=5有定义，存在，但是，所以f（x）在x=5间断.

12.6.2　初等函数的连续性

连续函数的和、差、积、商（分母不为0）和复合仍为连续函数；基本初等函数在它们的定义区间内都是连续的；一切初等函数在其定义区间内都是连续的.

求初等函数的连续区间就是求其定义区间.关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑每一段函数的连续性外，还必须讨论分界点处的连续性.

例2　求下列函数的间断点，并写出连续区间：

解　　（1）为初等函数，它的间断点即为无定义点，而在x=2函数没有定义，所以x=2是函数的间断点，其连续区间为（-∞，2），（2，+∞）.

（2）由初等函数的连续性知，f（x）在区间（-∞，1]，[1，+∞）连续，对于分界点x=1，有：

①f（1）=2，即函数在x=1有定义；

②，，左右极限不相等，所以不存在；因此f（x）在x=1间断，x=1是f（x）的间断点，其连续区间为（-∞，1]，（1，+∞）.

（3）由初等函数的连续性知，f（x）在区间（-∞，2），（2，+∞）连续，对于分界点x=2，有：

①f（2）=1，即函数在x=2有定义；

极限值不等于函数值，所以f（x）在x=2间断，x=2是f（x）的间断点，其连续区间为（-∞，2），（2，+∞）.

12.6.3　函数的连续性在求函数极限中的应用

（1）如果f（x）在x0点连续，则.即如果f（x）在x0连续，那么就可以用函数值代替求极限.

例3　求下列极限：

解　①；

（2）假定f（u）在u=a连续，，则

即在上述条件下，求复合函数的极限时，函数符号与极限符号可以交换次序.

例4　求下列极限：

练一练

求下列极限：

12.6.4　闭区间上连续函数的性质

最值定理　若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上必取得最大值和最小值.

这就是说，如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，那么至少有一点ξ1∈[a，b]，使得f（ξ1）是f（x）在[a，b]上的最大值；又至少有一点ξ2∈[a，b]，使得f（ξ2）是f（x）在[a，b]上的最小值（见图12-38）.

介值定理　若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，f（a）≠f（b），且常数μ介于f（a）与f（b）之间.则存在ξ∈（a，b），使得

f（ξ）=μ

成立，如图12-39所示.

几何意义：介于两条水平直线y=f（a）与y=f（b）之间的任一条直线y=μ，与y=f（x）的图像曲线至少有一个交点.