任务2.1 正弦交流电路的认识与测试_电工电路分析与实践-QQ阅读男生玄幻网

上QQ阅读APP看书，第一时间看更新

任务2.1　正弦交流电路的认识与测试

任务描述

在生产和生活中所用的电路几乎都是正弦交流电路。正弦交流电路是指含有正弦电源（激励）而且电路各部分所产生的电压和电流（响应）均随时间按正弦规律变化的电路。本任务主要讲述正弦交流电的基本概念，正弦交流电的三要素、相位差，正弦交流电的表示方法及正弦交流电的测试。

任务目标

理解交流电的基本概念、正弦交流电的三要素；掌握正弦交流电最大值与有效值的关系，正弦交流电的三角函数、波形图及相量图表示方法；能熟练地进行单相交流电路的测试。

任务实施

子任务1　正弦交流电的基本知识与交流信号的测试

〖现象观察〗——看一看

用示波器观察低频函数信号发生器的正弦波输出信号，输出信号的频率为1kHz，信号的大小约2V。调节示波器使得在荧光屏上出现两个完整的波形，分别观察频率不同、幅度不同、计时起点不同时的波形。

〖知识链接〗——学一学

大小和方向都随时间做周期性变化的电压、电流、电动势分别称为交流电压、交流电流、交流电动势，统称为交流电。大小和方向随时间按正弦规律变化的交流电称为正弦交流电。本书以后如不加说明，所说的交流电都是指正弦交流电。

在线性电路中，若激励为时间的正弦函数，则稳定状态下的响应也为时间的正弦函数，这样的电路称为正弦交流稳态电路，简称正弦交流电路。

正弦交流电广泛应用于生产与生活的各个领域，它具有易产生、便于输送和使用的特点。与直流电比较，正弦交流电具有发电成本低、便于远距离传输、转换效率高等优点。

正弦交流电路和直流电路具有根本的区别，但直流电路的分析方法原则上也适用于正弦交流电路。由于正弦交流电路电压和电流的大小和方向随时间按正弦规律变化，因此分析和计算比直流电路要复杂得多。

正弦交流电路的基本理论和分析方法是学习交流电机、电器的重要基础，因此，分析与讨论正弦交流电路具有十分重要的意义。

1.正弦交流电的基本知识

现代生产生活中用电大多属于交流电。交流电在其电能的产生、输送和使用方面，都有很大的优越性。例如，交流供电系统可以利用变压器方便而又经济地升高或降低电压，远距离输电时采用较高的电压可以减少线路上的电能损失；而用户用较低的电压，既安全又可降低电气设备的绝缘费用。又如，广泛应用的交流异步电动机与同等功率的直流电动机相比，具有构造简单、价格低廉、运行可靠、维护方便等优点。目前一些需用直流电的场合，如工业用的电解和电镀等，也是利用整流设备将交流电能转变为直流电能的。

交流电循环变化一周的时间称为周期，用T表示，周期的单位是秒（s）。单位时间内交流电变化循环的次数称为频率，用f表示，频率的单位是赫[兹]（Hz）简称赫。由定义可知，频率与周期互为倒数，即

我国和世界上大多数国家都采用50Hz作为工业和民用电频率，称为工频。有些国家（如美国、日本等）用60Hz作为电力标准频率。通常交流动力电路、照明电路都用工频电，在其他不同技术领域内使用不同的频率。例如，高频炉的频率是200～300kHz，中频炉的频率是500～800Hz，高速电动机的频率是150～2000Hz，无线电调频广播载波频率是88～108MHz，广播电视载波频率是30～300MHz等。

对于某一时刻t，交流电的值称为交流电在t时刻的瞬时值。如图2-1（b）所示，设t=t1时，i=i1；t=t2时，i=i2；…则i1，i2，…就是对应于时刻t1，t2，…的电流瞬时值。一般地，电流i是时间t的函数：i=i（t）。规定用小写字母表示交流电的瞬时值，交流电动势、交流电压分别用e、u来表示。在一个周期内，交流电出现最大的绝对值，称为交流电的最大值或振幅（有时又称幅值或峰值）。交流电的最大值用大写字母加下标m来表示，如Em、Um、Im分别表示电动势、电压、电流的最大值。

正弦交流电也可用正弦曲线表示，如图2-1（b）所示。由于交流电的方向是周期性变化的，所以必须在电路中先假定交流电的参考正方向，如图2-1（a）所示电路中的两箭头分别指示e和i的参考正方向。

当电流的瞬时值为正值，即电流的实际方向与其参考正方向一致时，曲线就处于横坐标轴的上方；当电流的瞬时值为负值，即电流的实际方向与参考正方向相反时，曲线就处于横坐标轴的下方。

图2-1　正弦交流电的正弦曲线及正方向

正弦电压、电流、电动势统称为正弦电量。正弦电量的特征表现在快慢、大小及初始值三个方面，分别由周期（或频率）、幅值（或有效值）、初相位来确定，周期、幅值、初相位称为正弦交流电的三要素。

2.正弦交流电的三要素和相位差

（1）正弦交流电的三要素。图2-2画出了正弦交流电（以电流i为例）的一般变化曲线。对应于图2-2所示正弦曲线的瞬时值i的解析式，即正弦函数表达式为

i=Imsin（ωt+φ0）　　（2-2）

式（2-2）中，ωt+φ0称为正弦交流电的相位角，简称相位。相位是研究正弦交流电必须要掌握的一个重要概念，它表示正弦交流电在某一时刻所处的变化状态，它不仅决定该时刻瞬时值的大小和方向，还决定了该时刻交流电变化的趋势（即增加或减少）。

当t=0时，交流电的相位角φ0称为初相角，简称初相。初相表示计时开始时交流电所处的变化状态。图2-1（b）中所绘制的正弦曲线是假设初相φ0=0时的曲线。

初相的取值范围一般规定为-π≤φ0≤π。

最大值、角频率（或频率，或周期）、初相角合称为正弦交流电的三要素。它们分别表示正弦交流电的幅度、变化快慢及起始状态。由式（2-2）看出，正弦交流电的瞬时值是时间t的函数，只要Im、f、φ0这三个量给定了，这个函数也就完全确定了。

图2-2　正弦交流电流变化曲线

（2）正弦交流电的有效值。交流电的瞬时值随时间而变化，不便于用它来计量交流电的大小。在工程技术中，规定用有效值来衡量交流电发热和做功的能力。交流电有效值的定义为：假设交流电流i通过一个电阻R在一个周期内产生的热量Q，与一个恒定的直流电流I通过相同的电阻R，在相同时间内所产生的热量Q′相等，就可以说这个直流电流I与交流电流i在发热方面是等效的，就把这个直流电流的数值I定义为该交流电流i的有效值。简而言之，交流电流的有效值就是热效应与它等同的直流值。用大写字母I、U、E分别表示交流电流、电压、电动势的有效值。

交流电流i一个周期内在R上产生的热量为

直流电流I同一周期内在R上产生的热量为

Q′=I2RT

若两者相等，即Q=Q′，则

可得出周期电流的有效值为

设i=Imsinωt，则

即当电流i按正弦规律变化时，其有效值等于最大值的1/ 。

这个结论同样适用于正弦电压和电动势，即

一般所说的正弦电压或电流的大小，都是指它的有效值；交流电压表、电流表的读数都是它们的有效值；交流电机和电器的额定电压、额定电流也都是指它的有效值。

（3）相位差。分析交流电路时，经常会遇到若干个正弦交流电量，不仅要分析它们的数量关系，还必须分析它们的相位关系。通常只需要研究几个同频率的正弦电量之间的相位关系。

把两个同频率正弦电量相位之差称为它们的相位差，记作φ。

设两个同频率的正弦电量u=Umsin（ωt+φu），i=Imsin（ωt+φi），则u与i的相位差为

φ=（ωt+φu）-（ωt+φi）=φu-φi　　（2-5）

即两个同频率正弦电量的相位差等于它们的初相位之差。虽然每个正弦电量的相位随时间而变，但它们在任意时间相位差是不变的。

若φ>0°，表明φu>φi，如图2-3（a）所示，称u超前i的相位为φ，或者说i滞后于u一个相位φ。

若φ=0°，表明φu=φi，如图2-3（b）所示，称u与i同相位，两正弦电量同时达到最大值或同时为零。

若φ=±180°，如图2-3（c）所示，称u与i反相位，当u为正的最大值时，i为负的最大值。

图2-3　正弦电量的相位差

综上所述，两个同频率的正弦电量计时起点t=0不同时，它们的相位和初相位不同，但它们之间的相位差不变。

例2-1　已知u=311sin（314t+30°）V，i=14.14sin（314t-60°）A，试求：（1）电压、电流的有效值及相位差；（2）若以电压u为参考量，重新写出电压u和电流i的瞬时值表达式。

解　（1）电压、电流有效值为

u与i的相位差为

φ=φu-φi=30°-（-60°）=90°

（2）若以电压u为参考量φu=0°，则φi=90°，u和i的瞬时表达式分别为

u=Umsinωt=310sin314tV

i=Imsin（ωt+φi）=14.1sin（314t-90°）A

〖实践操作〗——做一做

（1）交流信号频率、大小的测量。调节信号发生器，使其输出正弦信号，将示波器与函数信号发生器连接，分别用示波器、晶体管毫伏表测量正弦信号的参数，将数据填入表2-1中。

表2-1　交流信号的频率、大小的测量

（2）交流电压、电流的测量。按图2-4所示电路正确连接。电路图中的交流电源电压为220V、50Hz，3个电阻可用3个1kΩ的电阻，也可以用3个相同的灯泡（220V、25W）。

图2-4　实践操作图

测量电源两端电压U及负载两端电压、、大小及负载电流I1、I2、I3大小，将测量数据填入表2-2中。

表2-2　交流电压、电流的测量

测量时应注意：如果事先不知道被测电压、电流的大小，应尽量选用较大的量程测一次，然后根据实际情况再选择合适的量程；测试时手一定不能碰到表笔的金属部分，以免引起电击。

〖问题研讨〗——想一想

（1）某交流供电的频率f=400Hz，试求其角频率ω和周期T。

（2）对两个不同频率的正弦电量，在某一时刻同时达到正的最大值，能否断定它们是同相的？为什么？

子任务2　正弦交流电的相量表示与电路测试

〖现象观察〗——看一看

如图2-5所示电路，调节低频信号发生器的输出电压U为5V，频率为1kHz。测量RC串联电路中电阻两端电压UR及电容两端的电压UC。由测量的数据，请思考：为什么U≠UR+UC？

图2-5　交流电压测试图

〖知识链接〗——学一学

正弦电量可以用三角函数或波形图来表示，当分析正弦交流电路时，在图2-5所示电路中，由基尔霍夫定律得u=uR+uC，无论是用三角函数表示法还是用波形图表示法进行同频率的正弦电量的加、减、乘、除运算，都非常烦琐，故一般不采用。下面介绍的正弦电量的相量表示法，将给分析、计算正弦交流电路带来极大的方便。

正弦电量的相量表示法的基础是复数，即用复数来表示正弦电量。

1.复数的基本知识

（1）复数的表示式。设A为复数，其代数式为

A=a+jb　　（2-6）

a、b分别为复数A的实部和虚部，j=为虚数单位。复数A可以用由实数轴（单位+1）、虚数轴（单位+j）的复平面的有向线段OA矢量来表示，如图2-6所示。其中，r=为复数的大小，称为复数的模；φ=arctan为复数与实轴正方向间的夹角，称为复数的辐角。在r、φ已知时，由图2-6可知a=rcosφ，b=rsinφ。

图2-6　复数的相量表示

复数的三角函数式为

A=r（cosφ+jsinφ）　　（2-7）

将欧拉公式ejφ=cosφ+jsinφ代入式（2-7），可得复数的指数形式为

A=rejφ　　（2-8）

为了简便，工程上常把指数形式写成极坐标形式，即

A=r∠φ　　（2-9）

一个复数可用上述4种复数形式来表示，复数的4种表示式可相互转换。

（2）复数的运算。复数的加减运算可采用代数式进行，复数的乘除运算可采用指数形式或极坐标形式进行。

设有两个复数A1=a1+jb1=r1∠φ1，A2=a2+jb2=r2∠φ2

加减运算：

A=A1±A2==（a1+jb1）±（a2+jb2）=（a1±a2）+j（b1±b2）　　（2-10）

即复数相加减时，实部和虚部分别相加减。

乘法运算：

A=A1·A2=r1·r2∠（φ1+φ2）　　（2-11）

即复数相乘时，其模相乘，辐角相加。

除法运算：

即复数相除时，其模相除，辐角相减。

作为两个复数相乘的特例，是一个复数乘以+j或-j。

因为，e±j90°=cos90°±jsin90°=0±j=±j。所以，±j是模为1，辐角为±90°的复数，所以任意复数乘以+j的计算为

jA1=1∠90°·r1∠φ1=r1∠（φ1+90°）

即任一复数乘以+j，其模不变，辐角增大90°，相当于把复矢量A逆时针旋转90°，如图2-7所示。

图2-7　j的几何意义

同理

-jA1=1∠（-90°）·r1∠φ1=r1∠（φ1-90°）

即任一复数乘以-j，其模不变，辐角顺时针转过90°，如图2-7所示。±j称为旋转因子。

2.正弦电量的相量表示法

用复数表示正弦电量的方法称为正弦电量的相量表示法。将复数表示法及四则运算用于正弦电路的分析与计算的方法称为正弦电量的相量表示法。

设正弦电流为i=Imsin（ωt+φi）=Isin（ωt+φi）和一个复数，将二者加以比较，发现它们之间有如下对应关系。

（1）复数的模和辐角分别等于正弦电量的最大值Im和相位（ωt+φ）；

（2）正弦电量的瞬时值恰好为复数的虚部，即

（3）复数，等于一个复常数（又称复振幅）乘以旋转因子ejωt，相当于复平面上一个模不变、辐角随时间而变化的旋转矢量（旋转角速度为正弦电量角频率ω）。该旋转矢量在虚轴上的投影，等于正弦电量的瞬时值。显然，这个复数完整地表示了正弦电量的三要素，如图2-8所示。

t=t1时，旋转矢量对应的复数为，此时电流为

式中，Jm表示取[ ]内的虚部。

图2-8　旋转相量与正弦电量的示意图

（4）在线性电路中，如果所给的激励都是同频率的正弦电量，则电路各部分的响应是与激励同频率的正弦电量。就是说，为了确定或区分正弦电压、电流，只需考虑最大值和初相位这两个要素就足够了。因此，正弦电量可由初位置（t=0时）的矢量=Im∠φi唯一确定，即正弦电流i=Imsin（ωt+φi）可以用复数（复常数）=Im∠φi来表示，并称复数为电流i的相量。复数不再是时间的函数，可以参与一般的复数运算，但是，它所表示的电流仍是时间的正弦函数。由于在电路分析中经常使用有效值，所以正弦电量的相量也常用有效值表示，即将其模除以，辐角保持不变。为与一般复数相区别，用大写字母表示，并在大写字母的上方加一小圆点，即=I∠φi。

正弦电量可用复平面上的一复矢量表示，如图2-9所示。复数的模为正弦电量的最大值或有效值，复数的辐角为正弦电量的初相位。

同理，正弦电压、电动势的幅值相量和有效值相量分别为。

注意：相量只是表示正弦电量，而不是等于正弦电量。用相量表示正弦电量后，就可把烦锁的三角函数运算转换为简单的复数运算。由于在分析线性电路时，正弦电动势、电压、电流均为同频率的正弦电量，频率是已知的或特定的，可以不考虑，只要求出正弦电量的幅值（或有效值）和初相位，即可写出正弦电量函数表达式。

多个同频率的正弦电量，按各正弦电量的大小和初相位，用矢量画在同一坐标的复平面上的若干个相量图形，称为相量图。例如，=10∠30°A，=20∠（-45°）V用相量图表示如图2-10所示。在相量图上可直观地看出正弦电量的大小和相互间的相位关系，电流相量比电压相量超前75°。正弦电量的相量表示法有两种形式：一是复数式，常用代数式（或三角函数式）做相量的加减运算，常用指数形式（或极坐标形式）做相量的乘除运算；二是相量图，它是配合复数式进行电路分析和计算的一个很有用的辅助工具。