1.2　传感器的基本特性

传感器是检测系统的首要环节和关键部件，传感器的主要性能指标见表1-2。

续表

传感器的输入/输出特性是传感器的基本特性。根据测量或控制过程中被测量的状态有静态和动态之分，从而将传感器的输入/输出特性分为静态特性和动态特性。

1.2.1　传感器静（态）特性

所谓静（态）特性是指传感器在稳态（输入量为常量或变化极慢时）输入信号作用下，传感器输出与输入信号之间的关系，一般用曲线、数学表达式或表格表示；当输入量随时间较快地变化时，这一关系就称为动（态）特性，动态特性是传感器输出随时间变化的响应特性。

在不考虑迟滞、蠕变和不稳定性等因素时，传感器的静态特性可用多项式方程表示，即

y=a0+a1x+a2x2+…+anxn　　（1-1）

式中：y——传感器的输出量；

x——传感器的输入量；

a0——零点输出；

a1——零点处的灵敏度；

an——n>1，非线性项系数。

传感器的静态特性曲线可以通过实际测试得到。衡量静态特性的主要参数包括测量范围、线性度、灵敏度、分辨率、灵敏限、迟滞、重复性、稳定性等。

1.测量范围

各种传感器都有一定的测量范围，超过规定的测量范围，测量结果会有较大的误差或造成传感器的损坏。满量程（YFS）是用传感器的测量上限减去测量下限。例如，测量范围为0～100℃时，量程为100℃；测量范围为20～100℃时，量程为80℃；测量范围为-20～100℃时，量程为120℃。

2.线性度

为了标定和数据处理的方便，希望得到传感器输入/输出的线性关系。因此常用硬件方法、软件方法进行线性化处理。在非线性误差不很大的情况下，经常采用直线拟合方法来线性化。

拟合直线是一条通过一定方法绘制出来的直线，求拟合直线的方法有：理论拟合、过零旋转拟合、端点连线拟合、端点平移拟合、最小二乘法拟合等。前四种拟合如图1-2所示。最小二乘法拟合将在2.5.9节以实例进行介绍。

在采用直线拟合线性化时，在规定条件下，传感器输入/输出的实际特性曲线与其拟合直线间的最大偏差（ΔLmax）称为线性度（线性度又称非线性误差），通常用相对误差rL表示，即

该值越小，表明线性特性越好。

3.灵敏度

传感器在稳态下，传感器输出变化量Δy与输入变化量Δx之比，称为静态灵敏度K，即K=，由此可知K为实际工作输出曲线的斜率。线性特性传感器检测系统和非线性特性传感器检测系统的灵敏度如图1-3所示。

传感器的灵敏度通常随着被测量的增大而逐渐减小，同一变换原理的传感器，其工作点的变化也可能使其灵敏度发生变化，从而会产生灵敏度误差。灵敏度误差也用相对误差表示，即

4.分辨率

分辨率是指系统能检测到被测量最小变化量的本领。也就是说，如果输入量从某一非零值缓慢地变化，当输入变化值未超过某一数值时，传感器的输出不会发生变化，即传感器对此输入量的变化是分辨不出来的。只有当输入量的变化超过分辨率时，其输出才会发生变化。通常传感器在满量程范围内各点的分辨率并不相同，因此常用满量程中能使输出量产生阶跃变化的输入量的最大变化值作为衡量分辨率的指标。上述指标若用满量程的百分比表示，则称为分辨率，即

5.灵敏限

灵敏限指仪表在刻度起点处引起输出量变化的输入量的最小变化值。所谓最小变化是指使输出有可觉察到的变化为准。这是由系统内部噪声和传动间隙造成的。为了明确表示灵敏限，通常用死区来表示输入的变化。死区即不至于引起有可察觉任何变化的有限输入区间。在仪表的任何一个刻度上引起输出变化的最小输入变化值δ则称为仪表的灵敏限。通常灵敏限的数值应不大于仪表允许绝对误差的一半。

6.迟滞

传感器的输入信息由小到大变化过程的输入/输出特性，与输入信息由大到小变化过程的输入/输出特性不一致的程度，称为迟滞（或滞环），如图1-4所示。这反映了传感器正反行程期间输入/输出特性的不一致程度。产生这种现象的主要原因是传感器机械部分存在不可避免的缺陷，如间隙、紧固件松动、积尘等。

7.重复性

重复性表示传感器在输入信息按同一方向（单调增大或减小）连续做全量程多次重复测量时，所得的输入/输出特性曲线不一致的程度，如图1-5所示。多次重复测量的曲线若重复性好，则误差也小。重复性的好坏与许多因素有关。

8.稳定性

传感器在较长时间工作下输出量的变化，称为传感器时间工作稳定性，简称稳定性。它是由于敏感元件和传感器部件的特性随时间增加而产生时效等原因造成的。

上面所述的传感器的线性度、灵敏度、分辨率、灵敏限、迟滞和重复性等特性的好坏，都是影响传感器精度的重要因素。

1.2.2　传感器动（态）特性

1.传感器动态特性简介

测量静态信号时，线性传感器的输入/输出特性是一条直线，二者之间有一一对应关系。而实际测试中，大量的被测信号是动态信号。传感器对动态信号的测量任务既要精确地测量信号幅值大小，又要测量和记录动态信号变化过程的波形，这就要求传感器能迅速准确地测出信号幅值大小和无失真地再现被测信号随时间变化的波形。

传感器常用于被测量在动态变化的条件，被测量可能以各种形式随时间变化。只要输入量是时间的函数，其输出量也将是时间的函数，其输入/输出关系用动态特性说明。

传感器的动态特性是指输入量随时间变化时传感器输出的响应特性。

一个动态特性好的传感器，其输出随时间变化的规律（输出曲线）将能够同时再现输入随时间变化的规律，即具有相同的时间函数，这是动态信号测量中对传感器提出的新要求。即用传感器测试动态量时，希望它的输出量随时间变化的关系与输入量随时间变化的关系尽可能一致，但实际并不尽然。实际上，除非传感器具有理想的比例特性，否则传感器输出信号将不会与输入信号具有完全相同的时间函数，这种输出与输入之间的差异即所谓的动态误差。

因此需要研究它的动态特性，分析其动态误差。它包括两部分：

（1）输出量达到稳定状态以后与理想输出量之间的差别；

（2）当输入量发生跃变时，输出量由一个稳态到另一个稳态之间的过渡状态中的误差。

产生测试失真和动态误差的原因是什么呢？首先，信号的变化；其次，应该考查传感器对动态参数测试的适应性能。

2.传感器动态特性的研究方法

研究传感器的动态特性目的在于从测量误差的角度分析产生动态误差的原因以及改善措施。

研究动态特性可从时域和频域两个方面分别采用瞬态响应法和频率响应法来分析。

由于输入信号的时间函数，是各种各样的，在时域内研究传感器的动态特性时，只能研究几种特性的输入时间函数，如阶跃函数、脉冲函数和斜波函数等的响应特性。通常取输入为阶跃信号时的输出响应。

在频域内研究传感器的动态特性一般是采用正弦函数输入信号得到频率响应特性。

传感器动态测量输入信号分类见表1-3。

动态特性好的传感器的瞬态响应时间很短或者频率响应范围很宽。这两种分析方法内部存在必然的联系，在不同场合，根据实际需要解决的问题不同而选择不同的方法。

传感器的种类和形式很多，一般可以简化为一阶或二阶系统（高阶系统可以分解成若干个低阶环节），因此主要分析一阶和二阶系统。

一阶系统：动态特性可用一阶微分方程来描述；二阶系统：动态特性可用二阶微分方程来描述。

解析法求解线性系统对激励的响应步骤：先建立描述该系统的数学方程；然后求满足初始条件的解。

大多数传感器都是线性系统或在特定范围内认定是线性系统。将输出量与输入量联系起来的方程是微分方程，是基本的数学方程；集总参数的线性系统可用有限阶的线性常系数微分方程来描述。设x（t）、y（t）分别为传感器的输入量和输出量，则

对于零阶环节（零阶传感器、比例环节、无惯性环节），有

a0y=b0x　　（1-4）

对于一阶环节（一阶传感器），有

对于二阶环节（二阶传感器），有

对于许多激励函数，经典法容易解出输出的响应，然而对某些较一般的激励函数，当函数或其导数具有不可去间断点时，常需要求助于拉普拉斯变换，它将使运算简化。经典法是在应用变换法失效时普遍适用的方法，有助于理解微分方程及其解的暂态和稳态性质。

对于线性定常系统，在初始条件为零时，输出量（响应函数）的拉普拉斯变换与输入量（激励函数）拉普拉斯变换之比称为该系统的传递函数。

设x（t）和y（t）的拉普拉斯变换分别为X（s）和Y（s），根据上述传递函数的定义对式（1-3）两边取拉普拉斯变换，可得

Y（s）（ansn+an-1sn-1+…+a0）=X（s）（bmsm+bm-1sm-1+…+b0）　　（1-7）

得到系统的传递函数为

一个复杂的高阶传递函数可以看作是若干简单的低阶（一阶、二阶）传递函数的乘积。这时可以把复杂的二端口网络看作低阶的、简单网络的级联，如图1-6所示。

可见传递函数H（s）可以用于描述传感器本身传递信息的特性，即传输和变换特性。由输入激励和输出响应的拉普拉斯变换求得。传感器最简单的数学模型即传递函数。该模型可在整个标定过程中进行优化，并且模型的成熟度将随标定点的增加而增加。

当传感器比较复杂或传感器的基本参数未知时，总是先分析每个单元环节，分析它们的传递函数、响应特性，然后再分析总的传递函数、总的响应特性。当总的响应特性不能满足要求时，要从对总的响应特性要求出发，提出对每个环节的要求，或增减一些环节以期得到设计要求的响应特性。

实际的传感器往往比简化的数学描述要复杂。动态响应特性一般并不能直接给出其微分方程，而是通过实验给出传感器与阶跃响应曲线和幅频特性曲线上的某些特征值来表示传感器的动态响应特性。

3.一阶传感器动态特性

一阶传感器系统又称惯性系统，传感器的输入量和输出量x（t）、y（t）均是时间的函数。其单位阶跃响应信号通式为

当输入为单位阶跃信号时，，传感器输出的拉普拉斯变换为

式中：τ——时间常数；

k——静态灵敏度。

在线性传感器中，静态灵敏度k为常数；在动态特性分析中，k只起着使输出量增加k倍的作用。讨论时采用k=1。

则一阶传感器的传递函数为

其单位阶跃响应信号为

y（t）=L-1[Y（s）]=1-e-t/τ　　（1-12）

相应的响应曲线如图1-7所示。

由图1-7可知，传感器存在惯性，输出不能立即复现输入信号，而是从零开始，按指数规律上升，最终达到稳态值。

理论上，传感器的响应只在t趋于无穷大时才达到稳态值。实际上，当t=τ时其输出达到稳态值的63.2；当t=4τ时其输出达到稳态值的98.2，可认为已达到稳态。

时间常数τ是描述一阶传感器动态特性的重要参数，τ越小，响应速度越快。响应曲线越接近于输入阶跃曲线。因此，τ（一阶传感器的时间常数）值是一阶传感器重要的性能参数。

不带保护套的热电偶是典型的一阶传感器系统。

4.二阶传感器动态特性

二阶传感器的单位阶跃响应的通式为

式中：K——传感器的静态特性灵敏度或放大系数；

ζ——传感器阻尼系数；

ωn——传感器固有频率。

二阶传感器的传递函数为

在单位阶跃信号作用下，传感器输出的拉普拉斯变换为

对Y（s）进行拉普拉斯逆变换，即可得到单位阶跃响应。图1-8所示为二阶传感器的单位阶跃响应曲线。

二阶传感器对阶跃信号的响应在很大程度上取决于阻尼比ζ和固有频率ωn。固有频率ωn由传感器主要结构参数所决定，ωn越大，传感器的响应越快。当ωn为常数时，传感器的响应取决于阻尼比ζ。

阻尼比ζ直接影响超调量和振荡次数：

ζ=0为无阻尼（零阻尼），超调量为100，输出为等幅振荡，达不到稳态。

0<ζ<1为欠阻尼，输出衰减振荡，达到稳态值所需时间随ζ减小，衰减减慢而加长。

ζ=1为临界阻尼，无超调也无振荡，达到稳态所需时间最短。

ζ>1为过阻尼，无超调也无振荡，达到稳态所需时间较长。

ζ=1时响应时间最短。

实际使用中，为兼顾有短的上升时间和小的超调量，一般传感器常设计成稍欠阻尼，ζ取0.6～0.8为最好。

带保护套管的热电偶是一个典型的二阶传感器。

5.过渡过程与传感器的阶跃响应特性指标

过渡过程是指输入为阶跃信号时传感器的输出（响应），即传感器的输入由0突变到1并保持1，输出将随时间变化并缓慢趋向于稳定值。这一过程可能会经过若干次振荡（或者不振荡）。

二阶传感器阶跃响应（过渡过程，又称瞬态响应）的典型特性指标如图1-9所示。

各特性指标定义如下：

（1）上升时间tr。输出由稳态值的10变化到稳态值的90所用的时间。

（2）响应时间（调整时间）ts。系统从阶跃输入开始到输出进入稳态值所规定的范围（输出值处于允许误差带范围）内所需要的时间。响应时间是重要动态特性之一。

（3）峰值时间tp。阶跃响应曲线达到第一个峰值所需时间。

（4）超调量σ。传感器输出超过稳态值的最大值ΔA，常用相对于稳态值的百分比σ表示。超出稳态值的其他峰值称为过冲量，用M表示。

6.传感器的频率响应特性

传感器的频率响应特性是指对传感器正弦输入信号的响应特性。频率响应法是从传感器的频率特性出发研究传感器的动态特性。

根据式（1-8），对于稳定系统，令S=jω，

H（jω）称为系统的频率响应函数，简称频率响应或频率特性。

将频率特性改写为H（jω）=HR（ω）+jHI（ω）=A（ω）e-jφ（ω）。其中，A（ω）=H（jω）=称为传感器的幅频特性，表示输出与输入幅值之比随频率的变化。

φ（ω）=arctan[HI（ω）]/[HR（ω）]称为传感器的相频特性，表示输出超前输入的角度。通常输出总是滞后于输入，因此φ（ω）总是负值。

研究传感器的频域特性时主要用幅频特性。

（1）零阶传感器的频率特性。零阶传感器的传递函数为

频率特性为H（jω）=K。

零阶传感器的输出和输入成正比，并且与信号频率无关。因此，无幅值和相位失真问题，具有理想的动态特性。电位器式传感器是零阶传感器的一个例子。在实际应用中，许多高阶传感器在变化缓慢、频率不高时，都可以近似地作为零阶传感器来处理。

（2）一阶传感器的频率特性。将一阶传感器的传递函数式（1-9）中的s用jω代替，即可得到频率特性表达式为

幅频特性表达式为

相频特性表达式为

Φ（ω）=-arctan（ωτ）　　（1-20）

一阶传感器的幅频特性和相频特性如图1-10所示。

时间常数τ越小，频率响应特性越好。当ωτ<<1时，A（ω）≈1，Φ（ω）≈ωτ，表明传感器输出与输入为线性关系，相位差与频率ω为线性关系，输出y（t）比较真实地反映输入x（t）的变化规律。因此，减小τ可以改善传感器的频率特性。

（3）二阶传感器的频率特性。二阶传感器的频率特性、幅频特性、相频特性表达式分别为

二阶传感器的幅频特性和相频特性如图1-11所示。

频率响应特性指标如下：

①频带。传感器增益保持在一定值内的频率范围，即对数幅频特性曲线上幅值衰减3dB时所对应的频率范围，称为传感器的频带或通频带，对应有上、下截止频率。

②时间常数τ。时间常数τ用来表征一阶传感器的动态特性，τ越小，频带越宽。

③固有频率ωn。二阶传感器的固有频率ωn表征了其动态特性。

传感器特性的基本要求有两个：一是输入为0时输出为0，二是对应于某个确定的输入值，按照对应关系，输出值也是确定的。如果这两条同时满足，传感器就不会有误差，否则就会产生误差。