十六 排方阵
这类题，也是可照题画图来实际观察的。马先生说为了彻底明白它的要点，各人先画一个图来观察下面的各项：
图65
（1）外层每边多少人？（7）
（2）总数多少人？（7×7）
（3）从外向里第二层每边多少人？（5）
（4）从外向里第三层每边多少人？（3）
（5）中央多少人？（1）
（6）每相邻的两层每边依次少多少人？（2）
“这些就是方阵的秘诀。”马先生含笑说。
例一：三层中空方层，外层每边十一人，共有多少人？
除了上面的秘诀，马先生又说：“这正用得着兵书上的话，‘虚者实之，实者虚之’了。”
“先来‘虚者实之’，看共有多少人？”马先生问。
“十一乘十一，一百二十一人。”周学敏回答。
“好！那么，再来‘实者虚之’。外面三层，里面剩的顶外层是全方阵的第几层？”
“第四层。”也是周学敏回答。
“第四层每边是多少人？”
“第二层少2人，第三层少4人，第四层少6人，是5人。”王有道。
“计算各层每边的人数有一般的法则吗？”
“二层少一个2人，三层少两个2人，四层少三个2人，所以从外层数起，第某层每边的人数是：
“外层每边的人数-2人×（层数-1）。”
“本题按照实心算，除去外边的三层，还有多少人？”
“五五二十五。”我回答。
这样一来，谁都会算了。
例二：兵一队，排成方阵，多49人，若纵横各加一行，又差38人，原有兵多少？
图66
马先生首先提出这样一个问题：
“纵横各加一行，照原来外层每边的人数说，应当加多少人？”
“两倍外层的人数。”某君回答。
“你这是空想的，不是实际观察得来的。”马先生加以批评。
对于这批评，某君不服气，他用铅笔在纸上画来看，才明白了“还需加上一个人”。
“本题，每边加一行共加多少人？”马先生问。
“原来多的49人加上后来差的38人，共87人。”周学敏。
“那么，原来的方阵外层每边几个人？”
“87减去1——角落上的，再折半，得43人。”周学敏。
马先生指定我将式子列出，我只好在黑板上去写，还好，没有错。
[（49+38-1）÷2]×[（49+38-1）÷2]+49=1898
例三：1296人排成12层的中空方阵，外层每边有几人？
观察！观察！马先生又指导我们观察了！所要观察的是，每边各层都按照外层的人数算，是怎么一回事！
清清楚楚地，AEFD、BCHG，横看每排的人数都和外层每边的人数相同。换句话说，全部的人数，便是层数乘外层每边的人数。而竖着看，ABJI和CDKL也是一样。这和本题有什么关系呢？我想了许久，看了又看，还是觉得莫名其妙！
图67
后来，马先生才问：“依照这种情形，我们算成总共的人数是四个AEFD的人数行不行？”自然不行，算了两个AEFD已只剩两个EGPM了。所以若要算成四个，必须加上四个AEMI，这是大家讨论的结果。至于AEMI的人数，就是层数乘层数。这一来，算法也就明白了。
（1296+12×12×4）÷4÷12=39……外层每边人数。
例四：有兵一队，正好排成方阵。后来减少十二排，每排正好添上30人，这队兵是多少人？
图68
越来越糟，我简直是坠入迷魂阵了！
马先生在黑板上画出这一个图来，便一句话也不说，只是静悄悄地看着我们。自然！这是让我们自己思索，但是从哪儿下手呢？
看了又看，想了又想，我只得到了这几点：
（1）ABCD是原来的人数。
（2）MBEF也是原来的人数。
（3）AMGD是原来十二排的人数。
（4）GCEF也是原来十二排的人数，还可以看成是三十乘“原来每排人数减去十二”的人数。
（5）DGFH的人数是十二乘三十。
完了，我所能想到的，就只有这几点，但是它们有什么关系呢？
无论怎样我也想不出什么了！
周学敏还是值得我佩服的，在我百思不得其解的时候，他已算了出来。马先生就叫他讲给我们听。最初他所讲的，原只是我已想到的五点。接着，他便说明下去。
（6）因为AMGD和GCEF的人数一样，所以各加上DGFH，人数也是一样，就是AMFH和DCEH的人数相等。
（7）AMFH的人数是“原来每排人数加30”的12倍，也就是原来每排的人数的12倍加上12乘30人。
（8）DCEH的人数却是30乘原来每排的人数，也就是原来每排人数的30倍。
（9）由此可见，原来每排人数的30倍与它的12倍相差的是12乘30人。
（10）所以，原来每排人数是30×12÷（30-12），而全部的人数是：
[30×12÷（30-12）]×[30×l2÷（30-12）]=400
可不是吗？400人排成方阵，恰好每排20人，一共20排，减少12排，便只剩8排，而减去的人数一共是240，平均添在8排上，每排正好加30人。为什么他会转这么一个弯儿，我却不会呢？
我真是又羡慕，又嫉妒啊！