命题III.15

圆内越靠近圆心的弦越长，直径是最长的弦。

设：圆为ABCD，AD是其直径，E为圆心，作弦BC靠近圆心，弦FG为较远弦。

求证：AD最长，且BC大于FG。

令：从圆心E作EH、EK，使之分别垂直于BC、FG（命题I.12）。

因为BC靠近圆心，FG离圆心较远，所以：EK大于EH（定义III.5）。

令：EL等于EH，过L作LM垂直于EK，并经过点N；再连接ME、EN和EF、EG（命题I.3、I.11）。

因为EH等于EL，所以：BC也等于MN（命题I.3、I.11）。

又，因为AE等于EM，ED等于EN，所以：AD等于ME、EN之和。

又，因为ME、EN之和大于MN，MN等于BC，所以：AD便大于BC（命题I.20）。

又，因为ME、EN两边等于FE、EG两边，∠MEN大于∠FEG，所以：第三边MN大于第三边FG（命题I.24）。

而MN又被证明等于BC，所以：直径AD为最大，BC大于FG。

所以：圆内弦直径最长，越靠近圆心的弦越长。

证完

注解

这一命题在《几何原本》中的其他地方再未被利用。