5.1 奇妙的自守数

有些数字有着奇妙的性质，好玩儿又好看，自守数就是这类数。那么什么是自守数呢？瞧！

5×5=25，6×6=36

这两个乘数都是5或6，奇妙的是它们的乘积的末位数仍旧是5或6，就像是一条甩不掉的“尾巴”。

再看两位数25与76：

25×25=625，76×76=5776

它们的乘积分别是一位自守数5与6的“伸长”。

三位的自守数也正好有一对，它们是625和376。

这样可以找出规律了吧，一般认为自守数就是指一个数的平方的尾数等于该数自身的自然数。

自守数可以从5或6出发，无限伸长，其位数不受限制，没有尽头。让我们欣赏一下10位的自守数吧：

8212890625与1787109376

加拿大的两位数学工作者利用计算机，已经算出了500位的自守数。

寻找自守数，还可以有更简单的办法。首先，看一下甲类自守数（即5的伸长系列），我们通过例子来说明。把90625自乘，得出结果后，从末位上截取六位，得890625，这就从五位伸长到了六位。一般地，从n位伸长到n+1位，也可以采取这个办法。

其次，来看一下乙类（即6的伸长系列）自守数的求法，也把原数自乘，得出结果后，由末尾起向上追溯，但第n+1位不能直接照抄原来的数字，而应是此数a的补数（10-a）。

比如，我们从376出发，376自乘的结果是141376，根据上述法则，则四位自守数应是9376。

有趣的是，甲类和乙类自守数之间还存在着一种普遍规律，这就是：

5+6=10+1

25+76=100+1

625+376=1000+1

……

所以，两个n位自守数之和正好是10n+1。