（二）成倍增长问题
成倍增长是指一列数的后一个数总是前一个数的2倍，成倍增长问题实质上是二进制问题：
05．烦人的老鼠
老鼠是一种啮齿动物，体形有大有小，种类繁多，有450多种，而且繁殖很快，生命力很强。
《尘劫记》中有这样一道数学题：“一对老鼠每个月生六对小老鼠。假设小老鼠长一个月后，每个月也生六对小老鼠，问：年末时总共有多少只老鼠？”
解析：
共（父母+仔）=1+6=7对
二月
生仔7×6对
共7×6+7=7×7=72对
简记为：
三月
生仔=72×6对
共=72×6+72=72×7=73对
简记为：
同理：
712对=712×2只=27682574402只
答：年末时总共有276亿8257万4402只老鼠。
06．长寿面的传说
传说汉武帝崇信鬼神，相信相术。一天他和大臣们聊到关于人的寿命长短的话题，汉武帝说：“《相书》上讲，人的人中越长，寿命越长。若人中1寸长，就可以活到100岁。”他的话刚说完，坐在他身边的大臣东方朔就大笑了起来。众大臣莫名其妙，都怪他对皇帝无礼。汉武帝问他笑什么，东方朔解释说：“我不是笑陛下，而是笑彭祖。如果人活100岁，人中1寸长，那么彭祖活了800岁，他的人中就8寸长，那他的脸有多长啊。”
众人听了也大笑起来，看来想长寿，靠脸长长点是不可能的，但可以想个变通的办法表达一下自己想长寿的愿望。
脸长即面长，于是，人们就借用长长的面条来祝福长寿，称之为吃“长寿面”。
拉面大王厉恩海在齐鲁美食节上大显身手，他先把一公斤面粉和成的面团拉长到1.265米；然后对折（称为1扣），再把它拉长到1.265米，这时面的长度是2.530米；然后再对折（称为2扣），再把它拉长到1.265米，这时面的长度是5.060米……短短10分钟，他一共拉了21扣。有人计算过，拉出的面丝总长度达到2652897.28米，更为叫绝的是25根面丝可同时穿过同一根针眼！
那么，拉面大王共拉出了多少万根面丝？
解析：
每对折一次，面丝成倍增长，一共拉了21扣，所以共拉出面丝
07．国王与麦粒
古时候，有位国王很喜欢下棋，他身边的官宦贵族中有不少棋迷和高手，但都赢不了国王。
有一天，国王派人写了一张告示，贴在城门上。大意是：国王酷爱下棋，天下百姓不分贵贱，谁能在棋桌上赢了国王，国王愿意重奖。
有位乞丐模样的人刚好路过此地，看完告示后，当即表示愿意与国王比赛下棋，原来他是家乡受水灾后出来逃荒的秀才。
国王把棋盘摆放在大厅内，召来文武大臣，一方面是为国王助威，另一方面是做比赛的裁判。国王与秀才的比赛开始了！国王胸有成竹，秀才不慌不忙。棋过三步后，秀才的棋艺开始显露，国王渐渐招架不住。一个时辰过去，国王连输了三盘，谦和地说：“这位秀才的棋术果然不凡，我甘拜下风。请问：你想要我奖励什么东西呢？是金银财宝，还是土地城池？”
秀才笑了笑，答道：“我一不要钱财，二不要土地，只需奖励我一些麦粒，以救家乡灾民百姓的生命，足矣！”
国王说：“那你打算要多少麦粒呢？”
秀才指了指棋盘说：“这张棋盘共有64个格，请你在第一格内放1个麦粒，每一格内放的麦粒数是前一格的2倍，依次放麦粒，一直放满棋盘的64个格。陛下，你就把这些麦粒奖给我吧！”
国王听罢，满口应允，并立即吩咐手下，按秀才的要求去仓库取麦粒。开始，用麻袋一袋袋取，后来用马车一车车拉，雇来几十个人轮流数麦粒。数过的麦粒按秀才的吩咐，直接派人运回家乡，分给灾区百姓。结果，仓库里的麦粒很快运完了，但是，64格棋盘还没有按秀才的要求“填满”。这到底是怎么回事呢？
解析：
这些麦粒，看起来不多，事实上，按照他的要求，需要在第一格内放1个麦粒，第二格内放1×2=2个麦粒，第三格内放2×2=4个麦粒，第四格内放（2×2）×2=8个麦粒……第六十四格内放
个麦粒。再把所有格内的麦粒相加。算法如下：
=20+21+22+23+…+263
=18446744073709551615
这个数是20位数！据专家统计，每个麦粒的平均质量大约是41.9毫克，那么18446744073709551615个麦粒的质量就是
18446744073709551615×41.9
≈772918576688430221668.5（毫克）
≈772918576688430千克
≈772918576688吨