1.4 应力与应变对变形的影响

冷挤压时的应力与应变是冷挤压变形力学的基础。搞清楚不同挤压方法的应力与应变关系，不仅有助于正确分析冷挤压的成形问题，而且还可以正确分析挤压件的组织和性能，正确计算设备吨位，合理设计模具结构。本节主要从塑性变形角度去分析冷挤压中的应力与应变关系，着重于在冷挤压中的实际应用，而略去塑性力学中繁琐的推证。

1.4.1 应力与应变状态的定性分析

挤压变形时，变形区内任一点的应力与应变状态，皆可用主应力简图和主应变简图来表示。众所周知，挤压变形区内的基本应力状态皆为三向压应力。但是，在整个变形区的不同区域中，主应力与主应变的顺序和种类是不相同的。下面分区研究一下正、反挤压的应力与应变状态。

正挤压实心件和反挤压杯形件时，如果摩擦阻力很小，且毛坯的长径比也较小时，可分别把变形区分为两个不同的区域，如图1-35所示。

图1-35 挤压变形区内的应力应变状态

a）正挤压 b）反挤压

区域1是直接受压缩区，这部分金属之所以变形是直接受到凸模压力作用的结果。区域2、3是间接受压区，这个区的金属之所以变形，不是凸模直接加压，而是受到区域1金属压力作用的结果。很显然，这两个区域的主应力和主应变的顺序是不同的。

实心件正挤压的区域1与环形件毛坯在封闭模中的镦粗变形相似，其主应力与主应变的顺序是：径向应力σ_r为最大主应力σ₁（代数值最大，绝对值最小），径向应变ε_r为最大主应变ε₁（拉应变）；轴向应力σ_z为最小主应力σ₃（代数值最小，绝对值最大），轴向应变ε_z为最小主应变ε₃（压应变）；切向应力σ_θ为中间主应力σ₂，切向应变ε_θ为中间主应变ε₂。而区域2的变形却与摔子摔圆的一个圆棒相似，其主应力、主应变的顺序是：轴向应力σ_z为σ₁，轴向应变ε_z为ε₁；切向应力σ_θ为σ₃，切向应变ε_θ为ε₃；径向应力σ_r、应变ε_r近似与切向应力σ_θ、应变ε_θ相等，为中间主应力σ₂、中间主应变ε₂。

杯形件反挤压的区域1与圆毛坯镦粗相似，切向应力σ_θ为σ₁，切向应变ε_θ为ε₁；径向应力σ_r为σ₂，径向应变ε_r为ε₂；轴向应力σ_z为σ₃，轴向应变ε_z为σ₃。而区域3与受内压的圆筒相似，轴向应力σ_z为σ₁，轴向应变ε_z为ε₁；切向应力σ_θ为σ₂，切向应变ε_θ为ε₂；径向应力σ_r为σ₃，径向应变ε_r为ε₃。

上述正挤压实心件和反挤压杯形件的情况也可参照图1-36所示的主应力分布曲线，作出这两个区域的主应力简图。

图1-36 冷挤压变形时的主应力分布曲线

a）正挤压 b）反挤压

1.4.2 应力与应变的关系

冷挤压变形的主应力与相对应变之间的关系可以用应变比例定律来表示。所谓应变比例定律就是指相对应变与相应的应力偏量成比例。

图1-37 三向压应力作用下的单元体

设从挤压变形体中任取一单元体，它承受三向压应力σ₁、σ₂、σ₃的作用，如图1-37所示。变形前的尺寸为l₁、l₂、l₃，变形后尺寸的微量变化为Δl₁、Δl₂、Δl₃（正号表示伸长，负号表示压缩），则毛坯的相对应变为

这三个方向的应力与应变关系可用下式表示

式中 σ_m——平均应力，；

λ——正值比例常数。

式（1-2）就是应变比例定律方程式。该式没有反映加载过程的经历，对于加载过程中应力比值不恒定的过程，严格说来是不适用的，仅适用于简单加载的情况。但是由于该式运算简便，因此，可用来近似表示冷挤压中的应力与应变关系。

由应变比例定律可以得出如下一些关系。

1.三种典型压缩变形

（1）单向压缩（见图1-38a）假设σ₃＜σ₁=σ₂=0，则由式（1-2）可得

图1-38 三种典型压缩变形

a）单向压缩 b）等双向压缩 c）平面应变压缩

式（1-3）表明：只在材料的一个方向上加压时，则在此方向上受到压缩应变，而此压缩应变又各以其半数向横向伸长。例如，无摩擦的镦挤变形就属于此种变形情况。

（2）等双向压缩（见图1-38b）假设σ₁=σ₂＞σ₃时，则由式（1-2）可得

δ₃=-2δ₁=-2δ₂ （1-4）

式（1-4）表明：当材料的三个方向上受压时，其中两向压力代数值相等且大于另一向压力，则在此两相等压力σ₁、σ₂方向上受到相等的压缩应变，而又以此压缩应变的两倍向第三方向伸长。例如，实心件正挤压变形区中的2区（见图1-35a）就是属于此种变形情况。

（3）平面应变压缩（见图1-38c）假设σ₂=（σ₁+σ₃）/2，则由式（1-2）可得

δ₂=0，δ₃=-δ₁（1-5）

式（1-5）表明：当在金属材料的三个方向上加压时，其中一向压应力σ₂等于另两向压应力σ₁、σ₃的平均值。此时在σ₂方向上不产生变形，故为平面应变状态，σ₁方向上的压缩应变恰好等于σ₃方向上的伸长应变。例如，为了便于对实际的挤压变形进行分析和计算，常把属于轴对称问题的挤压变形简化为长板件挤压，简化后的挤压变形就是属于此平面应变压缩。

2.体积不变方程式

把式（1-2）的分子和分母分别加起来可得

为使此分数不变成无限大，必须使下式成立：

δ₁+δ₂+δ₃=0 （1-6）

式（1-6）为体积不变方程式。它表示冷挤压变形前后的体积是相等的，故又称为体积不变定律。它是冷挤压中计算原材料体积的理论依据。

3.应变符号与相对应的应力偏量符号

现以正挤压变形区中的2区（见图1-35a）为例来说明。设轴向压应力σ₁=-50MPa，径向压应力σ₂=切向压应力σ₃=-80MPa，则主应力简图如图1-39a所示，平均应力σ_m=，如图1-39b所示，则应力偏量大小为

图1-39正挤压2区主应力简图

如图1-39c所示。对比图1-35a中2区的主应变简图的符号与图1-39c的符号，可以看出应变符号与应力偏量符号是相同的。

4.应变顺序与应力顺序对应关系

因为σ₁＞σ₂＞σ₃，由式（1-2）得

δ₁＞δ₂＞δ₃ （1-7）

式（1-7）表明：与最大主应力方向相对应的应变δ₁为最大，与最小主应力方向相对应的应变δ₃为最小，而与中间主应力方向相对应的应变δ₂介于δ₁与δ₃之间。

应变的大小和方向，既应满足式（1-6），又应满足式（1-7），同时满足这两式的条件是：应变的符号有正有负，沿着最大主应力σ₁的主应变δ₁必然是正应变（拉应变），沿着最小主应力σ₃的主应变δ₃必然是负应变（压应变）。至于中间主应力σ₂所对应的主应变δ₂是拉应变还是压应变，要看σ₂接近于σ₁还是σ₃而定。如果σ₂接近于σ₁，则δ₂是拉应变；如果σ₂接近于σ₃，则δ₂是压应变。如何判断σ₂接近于σ₁，还是σ₃呢？可根据图1-40所示的应力与应变数轴来确定。

由图1-40可知：当时，δ₂为拉应变；当时，δ₂为压应变；当时，δ₂=0为平面应变状态。

图1-40 应变δ₂与应力σ₂符号对应关系

1.4.3 变形力学条件对变形的影响

变形力学条件是指应力与应变状态，冷挤压时的变形力学条件是指冷挤压时的基本应力与应变状态。应着重分析一下在冷挤压的应力与应变状态作用下，为什么既提高了塑性，也提高了变形抗力，以便于在生产实际中采用一些提高塑性、降低变形抗力的有效方法。

1.应力状态对冷挤压变形的影响

（1）对塑性的影响 应力状态的种类对冷挤压材料塑性的影响是很大的。在金属塑性变形加工中，变形区的金属受拉应力的影响越小，受压应力的影响越大，则塑性越高；相反，若受拉应力的影响越大，受压应力的影响越小，则塑性越差。从上述分析可知，冷挤压的基本应力状态是三向压应力状态，因此，冷挤压加工时材料的塑性是很高的。例如，生产薄壁筒形件，可以采用反挤压加工，也可采用拉深加工，前者变形量比后者大得多，这就是由于冷挤压加工时材料的塑性比拉深加工高得多的缘故。

从上述分析可知，挤压加工的基本应力状态是三向压应力状态。因此，被挤压材料的塑性可以大大提高，其原因可以归纳为以下几方面。

1）三向压应力状态能遏止晶间相对移动，使晶间变形更加困难。这是因为晶间变形在没有再结晶和溶解沉积等修复机构时，会引起晶间破坏的积累，从而引起多晶体的迅速断裂。

2）三向压应力状态能促使由于塑性变形和其他原因而破坏了晶内和晶间的联系得到恢复。这样，随着明显的三向压应力的增加，不仅使金属变得致密，而且还能使各种显微裂纹，甚至宏观破坏（组织缺陷）也可得到修复。

3）三向压应力状态能使金属内某些夹杂物的危害程度大为减少。金属内部夹杂物的存在，正如内部空洞一样，往往会形成应力集中。在压应力的作用下，使空洞减小的危害性明显降低。

4）三向压应力状态可以完全抵消或大大减小由于不均匀变形而引起的附加拉应力，因而减轻了附加拉应力所造成的破坏作用。

冷挤压变形区的基本应力状态虽然属于三向压应力状态，但是有时仍不能通过冷挤压方法来加工一些低塑性材料。为了扩大冷挤压工艺的应用范围，在生产实际中常采用增加三向压应力强烈程度的有效办法，来进一步提高金属材料的塑性，其主要措施有如下三种：

第一，采用直径稍大的毛坯进行挤压，以加大冷挤压件的变形程度，从而增加各向压应力，提高被挤毛坯的塑性。

第二，采用附加推力的方法进行挤压，如图1-41所示。在挤压过程中，零件挤出的顶端另外再加一个反向推力P′，这能进一步增加三向不均匀压缩状态，提高材料的塑性。

第三，采用在毛坯的外层加上包套的办法进行挤压，如图1-42所示。它是把塑性较差的材料置于用高塑性材料制成的包套中，然后一起进行冷挤压加工。这样，一方面可以减小不均匀变形引起的附加拉应力；另一方面也起到了增加侧向压应力的作用。应该指出的是，包套材料的厚薄必须选择合适，否则会因外套变形大，对芯材产生很大的附加拉应力，而引起拉裂。

图1-41 附加反向推力的挤压

图1-42 采用包套的冷挤压

（2）对变形抗力的影响 三向压应力状态对变形抗力的影响是很大的。例如，用冷挤压和冷拉拔方法生产同一种退火纯铜材料相同尺寸的工件，如图1-43所示。测得冷挤压所需的总压力为35.3kN，单位挤压力为450MPa；冷拉拔所需总压力为10.5kN，单位拉深力为220MPa。冷挤压的单位压力约是冷拉拔的单位拉深力的2倍。这说明像冷挤压这样的塑性成形工艺，由于受三向压应力的作用，会增大材料的变形抗力。

上述这种现象可从塑性条件得到解释。例如，能量不变塑性条件（σ₁-σ₂）²+（σ₂-σ₃）²+（σ₃-σ₁）²=6k²（k为屈服剪应力）是在三向压应力状态下推导出来的。该式告知我们必须使三向压应力之差的平方和达到6k²，金属材料才开始产生塑性变形。而“两压一拉”应力状态（拉拔）的塑性条件应为（σ₁+σ₂）²+（σ₂-σ₃）²+（σ₃+σ₁）²=6k²，此式左边三项只有一项是应力之差的平方，而有两项为应力之和的平方。很显然，“两压一拉”的应力状态（拉拔）容易使左边三项数值之和达到6k²，这就是成形相同零件时，冷挤压的变形抗力大于拉拔的原因。

2.应变状态对冷挤压变形的影响

从主应变简图可知，应变状态对冷挤压变形有很大的影响。压缩变形有利于塑性的发挥，而拉伸变形则有损于塑性。主应变图中压应变分量越多，对于充分发挥材料的塑性越有利。按此原则可将主应变简图对塑性的影响排列为：两向压缩一向拉伸的主应变简图（挤压）最有利于塑性的发挥；一向压缩一向拉伸主应变简图（长毛坯压缩）次之；两向拉伸一向压缩主应变简图（薄板轧制）最差。

图1-43 不同应力状态对变形抗力的影响

a）拉拔 b）挤压

图1-44 主应变图对材料中缺陷的影响

1—未变形的情况 2—挤压变形后的情况 3—薄板轧制变形后的情况

“两压一拉”主应变简图可以充分发挥材料的塑性，“两拉一压”主应变简图有损于塑性。其原因可通过实例作如下解释：如图1-44所示，在实际的变形体内都不可避免的或多或少存在着各种缺陷，如气孔、夹杂、缩孔、空洞等。这些缺陷在“两拉一压”的主应变简图（薄板轧制）的影响下，就可能向两个方向扩大而暴露弱点，使点缺陷变为面缺陷，因而降低了塑性；而在“两压一拉”主应变简图（挤压）情况下，面缺陷可被压下而变成线缺陷，使其危害性大为减少，从而提高了塑性。