2.2 液体动力学基础

液体动力学是流体力学的核心，是研究液体在外力作用下的运动规律的。液体动力学主要研究液体运动和液体的受力，并以数学模型为基础，推导出液体运动的连续性方程、能量方程及动量方程等基本定律。能量方程加上连续性方程，可以表达压力、流速或流量以及能量损失之间的关系。动量方程可解决流动液体与固体边界之间的相互作用问题。本节主要涉及液体动力学的基础知识，是液压传动中分析问题和设计计算的理论依据。

2.2.1 几个基本概念

1.理想液体、恒定流动和一维流动

（1）理想液体 没有黏性的液体称为理想液体，实际上理想液体是不存在的。研究液体流动时必须考虑到黏性的影响，但如果考虑黏性，问题往往会变得很复杂，所以在开始分析时，可以假设液体没有黏性，寻找出流动液体的基本规律后，再考虑黏性作用的影响，并通过实验验证的方法对所得出的结论进行补充和修正。

（2）恒定流动液体 在流动中，任意点上的运动参数（包括压力、密度、速度等）都不随时间变化的流动状态称为恒定流动，又称定常流动。如果液体运动参数（包括压力、密度、速度等）任意一个随时间发生非常缓慢的变化，那么在较短的时间间隔内，可近似将其视为恒定流动。

图2-7 流线、流管、流束

a）流线 b）流管 c）流束

（3）一维流动 当液体的运动参数只是一个空间坐标的函数时，该流动称为一维流动。当平面或空间流动时，该流动称为二维或三维流动。一维流动最简单，但是从严格意义来讲，一维流动要求液流截面上各点处的速度矢量完全相同，这在现实中极为少见。

2.流线、流管和流束

流线是流场中一条一条的曲线，它表示同一瞬时流场中各质点的运动状态。流线上每一液体质点的速度矢量与这条曲线相切，因此，流线代表了在某一瞬时许多液体质点的流速方向，如图2-7a所示。在非恒定流动时，由于液流的速度随时间变化，因此流线形状也随时间变化；在恒定流动时，流线的形状不随时间变化。由于流场中每一流体质点在某一瞬时只能有一个速度，所以流线之间不可能相交，流线也不能突然折转，它只能是一条光滑的曲线。

在流场中给出一条不属于流线的任意封闭曲线，沿该封闭曲线上的每一点作流线，由这些流线组成的表面称为流管，如图2-7b所示；流管中的流线群称为流束，如图2-7c所示。

3.流量、平均流速

单位时间内液体流过过流截面的体积称为流量，用Q表示，即

式中 Q———流量，在液压传动中流量的常用单位为L/min；

V———液体的体积；

t———液体流过过流断面的体积为V时所需的时间。

由于实际液体具有黏性，因此液体在管内流动时，过流断面上液体的流速不同，通常以断面上的平均速度来代替实际流速，认为液体以平均速度v流经过流断面的流量等于以实际流速流过的流量，即

由此得出过流断面上的平均流速为

2.2.2 液体的连续性方程

液体的连续性方程实质是质量守恒定律的另一种表示方式。

设液体在非等截面管中做恒定流动。如图2-8所示，过流截面1和2的面积为A₁和A₂，平均流速分别为v₁和v₂。根据质量守恒定律，单位时间内液体流过截面1的质量一定等于流过截面2的质量。即

ρ₁v₁A₁=ρ₂v₂A₂=常数

当忽略液体的可压缩性时，ρ₁=ρ₂=ρ，则有

图2-8 连续性方程

v₁A₁=v₂A₂=Q=常数 （2-10）

式（2-10）为管流的连续性方程。它表明在所有过流截面上流量都是相等的，并给出了截面上的平均流速与截面面积之间的关系，在液压传动中应用甚广。

例2-3 如图2-9所示，已知流量Q₁=25L/min，小活塞杆直径d₁=20mm，小活塞直径D₁=75mm，大活塞杆直径d₂=40mm，大活塞直径D₂=125mm，假设没有泄漏流量，求大小活塞的运动速度v₁、v₂。

解 根据液流连续性方程Q=vA，求大小活塞的运动速度v₁、v₂分别为

2.2.3 伯努利方程

伯努利方程又称能量方程，它实际上表达的是流动液体的能量守恒定律。

图2-9 例2-3附图

图2-10 液体受力分析

由于实际液体流动的能量方程比较复杂，所以先从理想液体的流动着手，然后再对它修正，得出实际液体的伯努利方程。

1.理想液体的运动微分方程

在液流的微小流束上取出过流截面面积为dA、长度为dl的圆柱形微元体，如图2-10所示，液柱所受表面力为pdA和（p+dp）dA，其质量力为dF=ρgdAdl。设运动加速度为a_l，方向如图2-10所示，根据牛顿第二定律，有

pdA-（p+dp）dA-ρgdAdlcosθ=ρa_ldAdl （2-11）

由图可知

液体沿l方向的流速v是位置和时间的函数，即

v=v（l，t）

同时位置也是时间的函数，即存在

l=l（t）

故根据复合函数的求导法则，有

将式（2-12）和式（2-13）代入式（2-11），整理得

若液体做定常流动，则，p=p（l），v=v（l），有

式（2-14）为理想液体一元定常流动的运动微分方程。将式（2-14）沿流线积分，即得定常流动的能量方程

对不可压缩液体，有

式（2-16）是伯努利在1738年首先提出的，故被命名为伯努利方程，根据推导过程可知，它的适用条件是理想、微元、不可压缩液体的定常流动。

用重力加速度g去除式（2-16）的各项得到伯努利方程的另一表达式

分别为单位重量液体具有的位能、压力能和动能，故式（2-17）被称为能量方程，它们之和称为机械能，此式表示液体运动时，不同性质的能量可以互相转换，但总的机械能是守恒的。

2.实际液体的伯努利方程

实际液体是有黏性的，由于黏性引起液体层间产生内摩擦，运动过程中必定消耗能量，沿流动方向液体的总机械能将逐渐减少。用平均流速与实际流速得出的动能有差别。

若以h_f表示图2-11中实际液体从截面A流到截面B的能量损失，用α₁、α₂分别表示截面A和截面B的动能修正系数，则式（2-17）变成

对于层流，α₁=α₂=2；对于紊流，α₁=α₂=1。

式（2-18）称为实际液体的伯努利方程。式中的h_f为液体从截面A流到截面B的能量损失。

例2-4 计算液压泵吸油口处的真空度。

液压泵吸油装置如图2-12所示，设油箱液面压力为p₁，液压泵吸油口处的绝对压力为p₂，泵吸油口距油箱液面的高度为h。

图2-11 实际液体的总流伯努利方程

图2-12 例2-4附图

解 以油箱液面为准，并定为1-1截面，泵的吸油口处为2-2截面。取动能修正系数α₁=α₂=1，设从1-1截面到2-公式2截面的能量损失为h_f，对1-1截面和2-2截面建立实际液体的能量方程，则有

图2-12所示油箱液面与大气接触，故p₁为大气压力，即p₁=p_a；v₁为液面下降速度，v₂为泵吸油口处的液体的速度，它等于液体在吸油管内的流速；由于v₁《v₂，故v₁近似为零；所以上式可简化为

所以液压泵吸油口处的真空度为

可见，液压泵吸油口处的真空度由三部分组成：把油液提升到高度h所需的压力、将静止液体加速到v₂所需的压力和在吸油管路的压力损失。

2.2.4 动量方程

流动液体作用于限制其流动的固体壁面的总作用力用动量定理求解。根据理论力学中的动量定理：作用在物体上全部外力的矢量和等于物体在力作用方向上的动量变化率，即

这一定理推广到流体力学中去，就可以得出流动液体的动量方程。

图2-13 动量方程推导简图

在图2-13所示的管流中，任取被通流截面1和2限制的部分为控制体积，截面1和2称为控制表面。若截面1和2的液流流速分别为v₁和v₂，设1-2段液体在t时刻的动量为（mv）_1-2；经Δt时间后，1-2段液体移动到1′-2′，1′-2′段液体动量为（mv）_1′-2′。在Δt时间内动量的变化为

Δ（mv）=（mv）_1′-2′-（mv）_1-2

而

若液体做恒定流动，则1′-2段液体各点流速未发生变化，故动量也未发生变化。于是

Δ（mv）=（mv）_1′-2′-（mv）1_-2=（mv）2_-2′-（mv）_1-1′=ρQΔtv₂-ρQΔtv₁

根据动量定理，则有

式（2-19）就是恒定流动液体的动量方程。它表明：作用在液体控制体上的外力总和等于单位时间内流出控制面与流入控制面的液体动量之差。

例2-5 当压力为p的液体以流量Q流经图2-14所示的锥阀时，如通过阀口处的流速为v₂，求液流作用在锥阀轴线方向上的力。

解 取图示阴影部分液体为控制体。设锥阀作用于控制体上的力为F，列写控制体在锥阀轴线方向上的动量方程。

对于图2-14a有

因为，v₁可以忽略，故

图2-14 锥阀上的液动力

a）压力油从锥阀尖端注入井 b）压力油从锥阀大端流入

液体作用在阀芯上的力大小与F相同，方向与F相反。而作用在阀芯上的稳态液动力的大小为ρQv₂cosϕ，方向与F相同，即使阀芯关闭的方向。

对于图2-14b，有

于是

稳态液动力的大小为ρQv₂cosϕ，但是方向与F的方向相同，即使阀芯打开的方向。

由以上分析知，对于锥阀，若压力油从锥阀尖端流入，稳态液动力使阀芯关闭；若从大端流入，稳态液动力使阀芯打开。