第二节 几何与拓扑学

四川关于微分几何与拓扑学的研究分别始于20世纪40年代和50年代初期，70年代以来，有显著进步。拓扑学在60年代已形成研究队伍，研究内容集中在点集拓扑与不分明拓扑方面。80年代形成不分明拓扑学的研究中心，达到国际先进水平。

关于微分几何，在20世纪四五十年代，李华宗、蒲保明等有较好的研究成果，80年代有较显著的进展。李安民的“子流形的高阶平均曲率与刚性、唯一性定理”的研究，获1987年国家教委科技进步一等奖。

从20世纪50年代起，四川就有点集拓扑学的论文发表。1978年，四川大学的蒲保明、刘应明、蒋继光等的研究项目“拓扑学”获全国科学大会奖，以后的部分成果作为“不分明拓扑与其他拓扑的研究”项目的一部分，曾获得1979年四川省重大科技成果二等奖。周浩旋关于“集论在拓扑学中的应用”的研究成果获得1987年国家教委科技进步二等奖。

不分明拓扑是拓扑学中的一个新兴领域，又称模糊拓扑学。1977年，蒲保明、刘应明的研究项目“不分明拓扑学基础性研究”，除作为“不分明拓扑与其他拓扑”项目的一部分获奖外，还单独获得1982年全国自然科学四等奖。刘应明的研究项目“不分明嵌入理论、代数结构与凸集理论”获1982年四川省重大科技成果三等奖，“不分明拓扑代数问题与模糊集基础理论及其应用”获1985年国家教委科技进步二等奖，“不分明邻近构造公理、度量化问题与序结构”获1986年国家教委科技进步二等奖。刘旺金的研究项目“不分明代数结构与不分明拓扑”获1986年四川省科技进步三等奖。

1982年，法国政府致函中国教育部邀请刘应明赴法讲学，这是四川数学界首次受到官方邀请的对外学术交流活动。

一、微分几何

（1）早期研究。在20世纪40年代，四川大学的李华宗有一系列重要的研究成果：

①一类偶数维微分几何及其对外微分学的应用。1943年，李华宗用斜对称张量代替在微分几何中常用的对称张量，并用古尔萨-卡丹（Goursat-Cartan）外形式和外导数对“平坦空间”“保形空间”“保形曲率张量”等重要概念给出另一种解释，然后用于寻求偶阶外微分形式的积分因子存在的充要条件，并用类似黎曼几何的方法，得到了一个向量是上述空间的无穷小自同构的向量的充要条件。1945年，他讨论了关于上述空间的三个变换群：其变换由基本张量乘以一个因子而得的形式群、因子为常量的特殊保形群、因子为1的自同构群。他的这些研究的意义在于能建立与经典概念的联系。他还发现，特殊保形变换正好是使哈密顿汇的总数不变的变换。1947年，李华宗又对他得到的这些结果进行了若干推广。

②1942年，李华宗证明，若一个（广义）酉空间是对称的，则其基本张量是（复）坐标的半解析函数的2阶导数。1946年，他给出了用张量分析处理非齐次相切变换的形式上的方式，确定了可由密度向量构造的张量，特别是确定了相切变换的张量。1948年，李华宗讨论一类变换的张量不变量，给出了一类闭微分形式的极大数，证明双侧不变的微分形式是闭的。

（2）1952年，蒲保明在他的博士论文“某些不可定向黎曼流形的不等式”中给出不等式A≥KL2的最佳K值。他证明：①对同胚于二维射影平面的黎曼流形，K =，并给出n维情形的相应结论；②对同胚于莫比乌斯带的黎曼形，K由莫比乌斯带对应的矩形二边之长确定。

蒲保明的这项工作，受到学术界的重视，不等式A ≥被称为“蒲保明不等式”。1973年，陈省身在“Wilhelm Blaschke的数学工作”一文中介绍了蒲保明的结果，并提出一个猜测：对同胚于2n维实射影空间的黎曼流形，有不等式，当n=1时，这就是“蒲保明不等式”。

（3）1982年，中科院成都分院的杨洪苍与钟家庆合作证明：设M是非负李奇（Ricci）曲率的紧致黎曼流形，则其拉普拉斯（Laplace）算子的第一特征值λ1满足λ1≥π2/d2, d为M的直径。这个估计达到了关于第一特征值的最佳估计，是钟家庆获首届（1985—1986年度）陈省身奖的成果之一。

（4）1982年以来，四川大学的李安民研究超曲面主曲率的初等对称函数及在高余维子流形的推广——Killing不变量以及相应的刚性、唯一性定理。用主曲率的初等对称函数刻画常曲率黎曼流形中的全脐超曲面的特征问题，是国际上很多数学家关心的问题。李安民得到很一般的特征，包括历史上很多重要结果作为特例。关于S3中极小曲面的外在刚性定理，李安民得到关于浸入象与高斯（Gauss）象的范围的一个最佳估计，推广了经典的外在刚性定理。在高余维子流形方面，李安民从积分几何、变分性质、管状面等角度，研究了凯灵（Killing）不变量的性质，并把克里斯多非尔（Christoffel）唯一性定理、希尔伯特-李布曼（Hilbert-Liebmann）定理推广到高余维子流形。

李安民在仿射微分几何方面有比较系统的工作，他证明了一个很一般的仿射魏因加腾（Weingarten）曲面定理；确定了按布拉希克（Blaschke）度量为常曲率空间的所有二维仿射球，并确定了具有平坦Blaschke度量的所有高维仿射球；证明了关于高阶仿射平均曲率的一个漂亮的变分公式，推广了Blaschke关于仿射体积的变分公式。

仿射伯恩斯坦问题是仿射微分几何中当前最重要的问题之一。在这方面，李安民证明：三维仿射空间中一个局部严格凸的、仿射度量完备的仿射极大曲面必为椭圆抛物面，如果它的仿射法线不取4个处于一般位置的方向。

李安民关于仿射微分几何方面的工作得到国内外专家如陈省身、西蒙（U.Simon）、瓦尔特（R.Walter）等的好评。

（5）1980年以来，中科院成都分院的杨路和张景中在距离几何的研究中引入“度量方程”的新方法，并完整地解决了欧氏空间和伪欧空间的嵌入问题。他们应用度量方程获得了一系列几何不等式，解决了若干问题，包括Johson猜想、Alexander猜想、Sallee猜想、Stolorsky问题等。“伪对称集”的研究也在国内外引起重视。他们还解决了平均距离常数研究中的一大类问题，在Heilbronn问题的研究中首次给出了求准确值的途径。

二、经典拓扑学

（一）拓扑空间

1953年，西南师范大学的李孝传证明一个度量空间E局部完全的充要条件是E在它的补全空间中是开集。1962—1964年，蒲保明与他人合作，给出了完全仿紧空间、（m, n）紧性与分离性以及（m, n）网方面的一些结果。1977年，刘应明引进一类新空间——拟仿紧空间，并进行了较系统的研究。

（二）集论拓扑

1965年，刘应明在连续统假设下解决了怀特黑德（Whitehead）问题，给出CW复形可乘的充要条件，得到第三世界科学院院士、中国著名数学家廖山涛的好评。

1980—1984年，周浩旋研究集论公理（主要是Martin公理MA）对各种拓扑空间问题的影响，解决了拓扑学中多方面的著名问题，主要成果为集论在下述拓扑学领域的应用：度量化理论，紧空间理论，超滤理论，CW复形理论，广义度量空间。

周浩旋的工作数次获得国际上著名数学家鲁丁（M.Rudin）、库伦（K. Kunen）、托尔（F.Tall）等的好评。

三、不分明拓扑学

（一）不分明集合的研究

1977年，蒲保明、刘应明初次发表有关不分明拓扑的数篇论文，刘应明在不分明集合中引进了重域的概念，解决了关于不分明点的概念及其邻近构造以及收敛性理论这两个基本问题，国内外专家认为这是不分明拓扑学的奠基性工作。美日数学家查德（Zadeh）、菅野道夫等把它归属于这一学科中最高水平的工作，1981年被中国百科年鉴列为数学方面的优秀成果之一。

（二）不分明拓扑中代数问题嵌入理论与不分明凸集的研究

模糊性数学的奠基人查德（Zadeh）在其开创性的工作中花了近半的篇幅来讨论不分明凸集问题，刘应明完善了这方面的结果。为此，查德亲笔具函赞赏。

不分明拓扑是一类格上的拓扑。刘应明关于格上保并映射的交运算与逆运算的有关论文被第12届多值逻辑国际会议（巴黎）学术委员会书面鉴定为“包含一系列重要而有趣的结果”，收入大会论文集。尔后，刘应明与何明又有更系统的推进，并与经典的伽罗华联络等发生联系，他们的论文被1985年在加拿大举行的第15届多值逻辑国际会议审定为“优秀工作”，收入会议文选中。

刘应明综合不分明拓扑中“无点化流派”与“有点化流派”的成果，在深一层次的嵌入理论中做了完善的工作，能在相当简单的条件下判定一个不分明拓扑空间为标准空间的子空间，从而继承标准空间许多良好的性质。应用这个嵌入理论，刘应明解决了不分明拓扑中的两个基本问题，即斯通-切赫（Stone-Cech）问题与度量化问题。

以上工作被专家认为是不分明拓扑方面“国内最好的工作之一，在国际上也是第一流的”。在1985年中国科技工作会议的文件《基础性研究试行奖金制的情况汇报》中，此项工作被列为8项比较有代表性的优秀成果之一。

（三）不分明邻近构造公理、度量化问题与序结构

在邻近构造公理方面，刘应明证明满足若干自然而直观公理的邻属关系是唯一的，即重于关系。这就从集合论这个根基上对不分明拓扑中传统邻域系失效及重域系的合理性进行了透彻的分析。论文在法国马赛的学术会议上宣读，并在美国夏威夷大学和日本明治大学报告后，同行评论这“或许是一个颇具典型的例子，说明不分明集的研究在纯数学方面可以深化我们对传统成果的认识”。

由于不分明拓扑较之通常的拓扑空间多了一个层次结构，使得度量化问题成为不分明拓扑中一项既基本又困难的问题，刘应明利用他在嵌入理论方面的结果给出了此问题的一个解答，得到了著名的乌里松（Urysohn）度量化定理的推广形式。此项工作在夏威夷举行的模糊信息处理首届国际会议上报告后，受到查德的高度评价，并被会议审定为“重要进展”，收入美国CRC出版社1985年出版的《模糊信息分析》一书。

刘应明把美国数学家哥克（Gogueh）关于不分明范畴的一篇影响很大的长达30页的论文结果，用5～6页篇幅进行了简化与深化，特别对模糊关系中出现的一类较范畴更广的代数结构—准范畴进行了深入研究；证明序同态构造方法具有良好的局部构造，并解决了几个基本问题。这些代数性工作是对不分明拓扑中代数问题的深化研究，形成不分明拓扑中“代数派”的一支主脉，引起了国内外学者的广泛注意。

（四）紧化问题

刘应明、罗懋康等证明了一般格值的不分明单位区间的良紧性，建立了一般斯通-切赫（Stone-Cech）紧化理论，构造了反例证明这种Stone-Cech紧化不再具有最大性（即万有性质）。并对一个不分明拓扑空间的诸紧化间预序（preorder）关系进行了深入研究，证明其最大元存在而且可能非唯一，进而还在空间适当分离性条件下证明最大元的唯一性。他们还提出新的标准空间，完成了一种具有最大性的Stone-Cech型紧化理论。这些工作曾多次在国际会议上报告过，受到国内外同行很高的评价。其中相关代数问题的成果在不确定性处理中有不少应用。

（五）不分明代数结构与不分明拓扑

1982—1985年，四川师范大学的刘旺金在不分明代数结构的研究中，提出并解决了Fuzzy对称方阵的可实现问题的条件和若干容度估计公式；提出了Fuzzy理想理论的基本概念与运算，证明了主要的性质。他还在不分明拓扑的研究中运用重域概念修正了卡特萨拉斯（Katsaras）关于Fuzzy邻近空间的概念，重新得到一系列良好的拓扑性质，并引入了Fuzzy拓扑空间的同调群、基本群等概念，证明了其Fuzzy拓扑的（同伦）不变性。