3.2 理论基础

数学形态学图像处理以集合论为理论基础，对图像进行形态学变换实质上是一种针对集合的处理过程。形态学运算用于表示物体或形状的集合与形态学算子结构的相互作用，并且形态学算子结构的形状决定了形态学运算所匹配目标的形状信息。因此，对图像进行数学形态学图像处理就是通过在图像中移动一个结构元素，并将该结构元素与对应的图像块矩阵进行交、并等集合运算，得到处理结果矩阵。数学形态学图像处理的基本形态运算是腐蚀和膨胀，然后可以延伸到开启和闭合。

假设f （x，y）为输入图像，g（i，j）为结构元素，⊕和Θ分别表示形态学运算中的膨胀运算符号和腐蚀运算符号，则可以得到灰度膨胀运算和灰度腐蚀运算的公式如下。

灰度膨胀运算：

灰度腐蚀运算：

进而可以得到灰度开启运算和灰度闭合运算的公式如下。

灰度开启运算：

f °g=(fΘg)⊕g

灰度闭合运算：

f ●g=( f⊕g)Θg

假设在灰度图像矩阵上移动形态学线型算子进行膨胀运算，则对于某图像块区域进行灰度膨胀运算的步骤如图3-1所示。

假设数字图像矩阵为Uint8类型（范围为0～255），则根据形态学运算的特点，膨胀运算将超出边界的部分指定为图像数据类型的最小值，即超出灰度图像边界的像素值为0；腐蚀运算将超出边界的部分指定为图像数据类型的最大值，即超出灰度图像边界的像素值为255。

多尺度形态学通过选定形态结构元素的类型及尺度来实现，如对图像应用某结构元素进行膨胀运算，对其尺度的选取可根据不同的情况来定。一般而言，随着选取的结构元素尺度的增加，计算量也会增加，甚至可能会对图像自身的几何形状产生影响，进而造成形态处理结果不准确。适当地选择小尺度（一般取2～5）的结构元素，可以在一定程度上提高形态运算的效率及准确率。因此，通过应用不同尺度的结构元素进行边缘检测，再通过加权融合的思想来整合检测到的边缘，可以在一定程度上减小图像噪声的影响，进而提高边缘检测的精度。

根据数学形态学运算的概念，构造形态学多尺度迭代滤波器如下：

ψ(f)=(f°g1●g1)●g2°g2

结构元素的形状往往会影响到所匹配目标的准确率，应用形态学进行边缘提取需要综合考虑匹配不同方向的边缘的要求。因此，对于一个给定的结构元素g，可将其设计成5个3×3模板，分别为g1～g5：

多尺度结构元素的定义为：

ng=g⊕g⊕…⊕g

式中，n为尺度参数。

多尺度边缘检测算法为：

多尺度边缘融合算法为：

式中，ui为各个尺度边缘检测图像进行融合时的加权系数。

根据信息熵的定义，图像信息熵能够反映图像信息的丰富程度，并直接反映不同边缘所占的比重。因此，可参考加权融合的思想，通过计算不同尺度的边缘图像所含的信息量即信息熵的多少，来计算权值并确定边缘图像的合成。

以信息熵的计算方法为基础，假设数字图像的灰度范围为[0，L-1]，则各灰度级像素出现的概率为：

P0,P1,…,PL-1

各灰度级像素具有的信息量分别为：

-log2(P0),-log2(P1),…,-log2(PL-1)

则该图像的熵为：

一般而言，可以采用距离度量系统中各个实体的相似度，两个实体之间的距离越小，它们之间的相似度就越大。可通过对不同实体fa和fb之间的相似度sim （ fa，fb）求和并将该和作为整个系统中fa的实体的相似度或支持度，即：

可选择图像信息熵和实体加权进行边缘图像的融合，通过对各边缘图像的信息熵计算差值作为距离来获取各个实体的相似度或支持度。

因此，边缘图像fa与边缘图像fb的差量算子为：

差量函数为：

反支持度函数为：

为了在保证程序运行效率的前提下尽可能匹配图像不同方向上的边缘，本案例选择5个不同的结构元素对图像进行边缘检测，步骤如下。

（1）应用不同的结构元素对图像进行边缘检测，通过实体加权融合与信息熵结合的方法对边缘图像进行图像融合，获得单尺度下的边缘检测结果Gf1。

（2）对5个结构元素分别进行膨胀，用膨胀后的5个结构元素在尺度n=2时对图像进行边缘检测，将获得的5个检测结果按照第1步的融合方法进行图像融合，获得尺度n=2时的边缘检测结果Gf2。

（3）对5个结构元素分别进行膨胀，用膨胀后的5个结构元素在尺度n=3时对图像进行边缘检测，将获得的5个检测结果按照第1步的融合方法进行图像融合，获得尺度n=2时的边缘检测结果Gf3。

（4）同理，按照上述步骤对5个结构元素进行n个尺度（n一般取2～5）的边缘检测及融合，获得n个不同尺度的融合图像，分别为：Gf1，Gf2，…，Gfn。

（5）根据实体加权融合与信息熵结合的融合方法进行图像融合，得到最终的融合结果。