2.3 二维随机变量及其分布
2.3.1 二维随机变量的基本概念
1.二维离散型随机变量的联合概率分布及边缘分布
如果二维随机向量ξ(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y)时,则称ξ为离散型随机变量.理解:(X=x,Y=y)≡(X=x∩Y=y).
设ξ=(X,Y)的所有可能取值为(xi,yj),(i,j=1,2,…),且事件{ξ=(xi,yj)}的概率为pij,,称
P{(X,Y)=(xi,yj)}=pij(i,j=1,2,…)
为ξ=(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律.联合分布有时也用下面的概率分布表2-1来表示.
表 2-1
这里pij具有下面两个性质:
1)pij≥0,i,j=1,2,…;
2)
对于随机向量(X,Y),称其分量X(或Y)的分布为(X,Y)的关于X(或Y)的边缘分布.上表2-1中的最后一列(或行)给出了X为离散型随机向量,并且其联合分布律为
P{(X,Y)=(xi,yj)}=pij(i,j=1,2,…),
则X的边缘分布为 ;
同理,Y的边缘分布为
2.二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布
对于二维随机向量ξ=(X,Y),如果存在非负函数f(x,y)(-∞<x<+∞,-∞<y<+∞),使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有
则称ξ为连续型随机向量;并称f(x,y)为ξ=(X,Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度.
分布密度f(x,y)具有下面两个性质:
1)f(x,y)≥0;
2)
一般来说,当(X,Y)为连续型随机向量,并且其联合分布密度函数为f(x,y),则X和Y的边缘分布密度为
注意:联合概率分布→边缘分布
3.条件分布
当(X,Y)为离散型,并且其联合分布律为
P{(X,Y)=(xi,yj)}=pij(i,j=1,2,…),
在已知X=xi的条件下,Y取值的条件分布为
同理,在已知Y=yj的条件下,X取值的条件分布为P
其中pi·,p·j分别为X,Y的边缘分布.
当(X,Y)为连续型随机向量,并且其联合分布密度为f(x,y),则在已知Y=y的条件下,X的条件分布密度为
在已知X=x的条件下,Y的条件分布密度为
其中fX(x)>0,fY(y)>0分别为X,Y的边缘分布密度.
4.常见的二维分布
(1)均匀分布
设随机向量(X,Y)的分布密度函数为
其中SD为区域D的面积,则称(X,Y)服从D上的均匀分布,记为(X,Y)~U(D).
(2)正态分布
设随机向量(X,Y)的分布密度函数为
其中,μ1,μ2,σ1>0,σ2>0,|ρ|<1,共5个参数,则称(X,Y)服从二维正态分布,记为
(X,Y)~N(μ1,μ2,σ21,σ22,ρ).
由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,反之不成立.
类似地,n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布N(μ,σ2).
5.二维随机向量联合分布函数及其性质
设(X,Y)为二维随机向量,对于任意实数x,y,二元函数
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}
称为二维随机向量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数.
分布函数是一个以全平面为其定义域,以事件{(ω1,ω2)|-∞<X(ω1)≤x,-∞<Y(ω2)≤y}的概率为函数值的一个实值函数.分布函数F(x,y)具有以下的基本性质:
1)0≤F(x,y)≤1;
2)F(x,y)分别对x和y是非减的,即
当x2>x1时,有F(x2,y)≥F(x1,y);当y2>y1时,有F(x,y2)≥F(x,y1);
3)F(x,y)分别对x和y是右连续的,即
F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0);
4)F(-∞,-∞)=F(-∞,y)=F(x,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1.
2.3.2 随机变量的独立性
1.一般型随机变量
F(X,Y)=FX(x)FY(y).
2.离散型随机变量
pij=pi·p·j.
例2-1 二维随机向量(X,Y)共有六个取正概率的点,它们是:(1,-1),(2,-1),(2,0),(2,2),(3,1),(3,2),并且(X,Y)取得它们的概率相同,则(X,Y)的联合分布及边缘分布见表2-2.
表 2-2
3.连续型随机变量联合分布与边缘分布的关系如下:
f(x,y)=fX(x)fY(y).