数理统计及其在数学建模中的实践(使用MATLAB)
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2.3 二维随机变量及其分布

2.3.1 二维随机变量的基本概念

1.二维离散型随机变量的联合概率分布及边缘分布

如果二维随机向量ξXY)的所有可能取值为至多可列个有序对(xy)时,则称ξ为离散型随机变量.理解:(X=xY=y)≡(X=xY=y.

ξ=(XY)的所有可能取值为(xiyj),(ij=1,2,…),且事件{ξ=(xiyj)}的概率为pij,,称

P{(XY)=(xiyj)}=pijij=1,2,…)

ξ=(XY)的分布律或称为XY的联合分布律.联合分布有时也用下面的概率分布表2-1来表示.

2-1

这里pij具有下面两个性质:

1)pij≥0,ij=1,2,…;

2)

对于随机向量(XY),称其分量X(或Y)的分布为(XY)的关于X(或Y)的边缘分布.上表2-1中的最后一列(或行)给出了X为离散型随机向量,并且其联合分布律为

P{(XY)=(xiyj)}=pijij=1,2,…),

X的边缘分布为

同理,Y的边缘分布为

2.维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布

对于二维随机向量ξ=(XY),如果存在非负函数fxy)(-∞<x<+∞,-∞<y<+∞),使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={(XY)|a<x<bc<y<d}有

则称ξ为连续型随机向量;并称fxy)为ξ=(XY)的分布密度或称为XY的联合分布密度.

分布密度fxy)具有下面两个性质:

1)fxy)≥0;

2)

一般来说,当(XY)为连续型随机向量,并且其联合分布密度函数为fxy),则XY的边缘分布密度为

注意:联合概率分布→边缘分布

3.条件分布

当(XY)为离散型,并且其联合分布律为

P{(XY)=(xiyj)}=pijij=1,2,…),

在已知X=xi的条件下,Y取值的条件分布为

同理,在已知Y=yj的条件下,X取值的条件分布为P

其中pi·,p·j分别为XY的边缘分布.

当(XY)为连续型随机向量,并且其联合分布密度为fxy),则在已知Y=y的条件下,X的条件分布密度为

在已知X=x的条件下,Y的条件分布密度为

其中fXx)>0,fYy)>0分别为XY的边缘分布密度.

4.常见的二维分布

(1)均匀分布

设随机向量(XY)的分布密度函数为

其中SD为区域D的面积,则称(XY)服从D上的均匀分布,记为(XY)~UD.

(2)正态分布

设随机向量(XY)的分布密度函数为

其中,μ1μ2,σ1>0,σ2>0,|ρ|<1,共5个参数,则称(XY)服从二维正态分布,记为

XY)~Nμ1μ2σ21σ22ρ.

由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,反之不成立.

类似地,n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布Nμσ2.

5.二维随机向量联合分布函数及其性质

设(XY)为二维随机向量,对于任意实数xy,二元函数

Fxy)=P{XxYy}

称为二维随机向量(XY)的分布函数,或称为随机变量XY的联合分布函数.

分布函数是一个以全平面为其定义域,以事件{(ω1ω2)|-∞<Xω1)≤x,-∞<Yω2)≤y}的概率为函数值的一个实值函数.分布函数Fxy)具有以下的基本性质:

1)0≤Fxy)≤1;

2)Fxy)分别对xy是非减的,即

x2x1时,有Fx2y)≥Fx1y);当y2>y1时,有Fxy2)≥Fxy1);

3)Fxy)分别对xy是右连续的,即

Fxy)=Fx+0,y),Fxy)=Fxy+0);

4)F(-∞,-∞)=F(-∞,y)=Fx,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1.

2.3.2 随机变量的独立性

1.一般型随机变量

FXY)=FXxFYy.

2.离散型随机变量

pij=pi·p·j.

例2-1 二维随机向量(XY)共有六个取正概率的点,它们是:(1,-1),(2,-1),(2,0),(2,2),(3,1),(3,2),并且(XY)取得它们的概率相同,则(XY)的联合分布及边缘分布见表2-2.

2-2

3.连续型随机变量联合分布与边缘分布的关系如下:

fxy)=fXxfYy.