7 迟来的“艳福”

瑞士阿尔卑斯山

1925年圣诞节

泡利和狄拉克两个人很快就转向了矩阵力学，推导氢发射光谱的主要特征，即著名的巴尔末公式。1926年1月17日，泡利向《物理学杂志》提交了一篇论文，陈述他的研究结果。而就在五天后，狄拉克向《英国皇家学会会刊》（Proceeding of the Royal Society）提交了他的论文，泡利仅比狄拉克早了这么几天。

泡利还运用新的力学来解释斯塔克效应。斯塔克效应以德国物理学家约翰内斯·斯塔克（Johannes Stark）命名，指的是在静电场中光谱线分裂的问题。然而，这一效应中的某些关系依旧是假设，或者说笼罩在“拟设”（源于德语ansatz，是指有待实验结果验证的“有根据的推测”或“假设”）之下。此外，矩阵力学理论尚不完全符合相对论――也就说，它不符合爱因斯坦狭义相对论的要求。而且它与泡利的不相容原理、电子自旋以及反常塞曼效应尚不相容。

虽然老一辈物理学家对于矩阵力学中数学公式的复杂性和缺乏“直观性”比较头疼，但对于新一代量子物理学家来说，这里却似一个欢乐的游乐场。泡利在论文中写道：“海森伯的量子理论彻底避开了定态（原子的稳定轨道）下电子运动的力学—运动学直观性。”意思很明确了。要想取得进展，首先必须抛弃经典物理学遗留下来的概念包袱，把注意力集中于在实验室中可观察和可测量的东西上。

量子理论未来的发展方向似乎确定了。不过，量子革命的少壮派激进分子的风头，即将被38岁的奥地利物理学家埃尔温·薛定谔抢走。当他完成自己研究的时候，新量子理论的图景几乎已经彻底变样了。

1910年5月，薛定谔拿到了维也纳大学的物理学博士学位。1914年，服完一年多义务兵役之后，他回到维也纳大学，获得了讲师（Privatdozent，编外讲师）的职位。随后“一战”爆发，他又服了四年兵役，中断了研究生涯。1917年，薛定谔返回维也纳，并在1920年晋升为副教授。之后他又先后搬往耶拿（德国西南部城市）、斯图加特（德国西部城市）、布雷斯劳（波兰城市），并在1921年获得了苏黎世大学理论物理学教授的职位。

1921年10月，薛定谔与妻子安妮玛丽（他爱称她为安妮）搬到了苏黎世。但几个月后，医生诊断他疑似患有肺结核，要求他完全静养治疗。他与安妮搬到了阿尔卑斯山区的阿罗萨度假区，住在一处别墅中。此处毗邻著名的达沃斯滑雪胜地，二人在那儿待了9个月。在安妮的悉心照料下，薛定谔慢慢恢复了健康。山区海拔高，环境相对封闭，给薛定谔提供了宝贵的思考时机，在身体恢复的同时，他写下了两篇科学论文。1922年11月，薛定谔返回苏黎世，重新开始紧张而忙碌的教学工作。12月9日，他完成了被推迟的教授就职讲座。

由于教学工作繁重，他做研究的时间很少。虽然他的呼吸系统疾病已经被治好，但身体仍然虚弱，且很容易疲劳。在苏黎世的新生活日渐安定下来后，他或许开始思虑自己在物理学界的地位了。作为科学家，薛定谔精通多个领域，知识广博且成就颇多，获得了广泛的赞誉。但在他自己熟悉的物理科学领域，薛定谔还没有做出过什么显著的贡献。韶华渐逝，他别无选择，只能眼睁睁地看着年轻一代的物理学家把自己抛在身后。他似乎已经被挤到了边缘地带，在物理学史上只能做一个脚注。1924年，当他受邀参加比利时工业家富豪欧内斯特·索尔维（Ernest Solvay）发起的第四届索尔维会议时，都没人要求他提交任何会议论文。

此时，薛定谔跟安妮的婚姻也出了问题。他们的婚姻一直以来都相对“开放”，两个人都有外遇。对婚姻的不忠，让两人之间摩擦不断，但并不足以闹到上诉离婚的地步。薛定谔很想要个孩子，但由于两个人性生活不和谐，因此生育孩子的可能性似乎不大。安妮也不想离婚，想继续维持这种“开放”的婚姻状态。她是天主教徒，离婚代价太大，而且一旦离婚，倒很有可能正中薛定谔反布尔乔亚情绪之下怀。虽然性生活不和谐，但埃尔温的帅气和才智依然让安妮迷恋其中：“比起赛马，虽然与金丝雀生活容易些，但我还是喜欢赛马。”然而，矛盾还在升温。

有时候，薛定谔会与隔壁苏黎世联邦理工大学的同事、荷兰物理学家彼得·德拜和数学家赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）一起放纵生活，寻求婚姻外的慰藉。他们形成了一个复杂的社交网。安妮爱上了外尔，两人有了婚外情。同时，外尔的老婆海琳·约瑟夫（Helene Joseph）在跟着现象学大师埃德蒙德·胡塞尔（Edmund Husserl）研究哲学期间，爱上了苏黎世联邦理工大学的瑞士物理学家保罗·谢尔（Paul Scherrer）。

薛定谔生活中这些乱七八糟的事情必然会影响他的工作。1923年，他一篇论文都没有发表。翌年，他努力收拾心情，重拾研究的热忱。1925年10月，在爱因斯坦刚发表的论文中，一个脚注吸引了他的注意力。脚注中提到德布罗意做的“一个非常值得注意的贡献”。

薛定谔带着好奇找到了德布罗意的论文，所读到的内容随即在他心里激起千层浪。1922年在阿罗萨休养期间，薛定谔曾写过一篇题为《论单个电子的量子化轨道所具备的一个显著特性》的论文，发表在《物理学杂志》上。他从好友外尔那儿获得了灵感，产生了一些想法。以此为基础，他注意到稳定电子轨道和所谓的“规范因子”（轨道本身的特点）之间存在一种关系。他发现，如果把规范因子解释为相位因子，就能理解不同电子轨道（它是主量子数n的来源）之间的关系。

虽然当时意识到这一点很重要，但薛定谔还是选择不再深入研究。而在此时，当他读到德布罗意的论文时，他意识到之前注意到的关系就是德布罗意所指的在围绕原子核的圆形轨道上产生电子驻波的相位条件。

苏黎世大学和苏黎世联邦理工大学的物理学家形成了定期联合举行学术讨论会的习惯，讨论会每两周举行一次，就近期双方感兴趣的课题进行讨论。法国期刊《物理纪事》刚发表了一篇德布罗意的论文，德拜问薛定谔要不要就这篇论文准备一次讨论会，由薛定谔来介绍这篇论文。薛定谔同意了，并于11月3日写信给爱因斯坦，信中提及他1922年写的电子轨道方面的论文，并将两篇论文做了对比，但同时指出：“自然，德布罗意是在他的全面理论框架内进行思考的，总体来说，要比我的单一论述有价值得多，毕竟当时我还无从下手。”

座谈会于11月23日召开。与会的观众中，有一位年轻的瑞士学生，名叫菲力克斯·布洛赫（Felix Bloch），去年刚刚开始在苏黎世联邦理工大学的学习生涯，想要学习工程学。但他发现物理学魅力更大，德拜的一节讨论课，比其他所有课程加起来让他学到的东西还要多。这次薛定谔就德布罗意的论文召开的讨论会更是让人无法忘怀，布洛赫在五十多年后回忆道：

在之后的一次讨论会上，薛定谔以非常清晰的思路阐释了德布罗意是如何把波和粒子关联起来的，以及如何通过要求静态轨道的长度等于整数个波长，得出尼尔斯·玻尔和索末菲的量子化规则的。薛定谔发完言后，德拜随口评价了一句，这样讨论有点太幼稚了。身为索末菲的学生，德拜知道要想恰当地处理波动，必须要有波动方程。这句话听起来毫不起眼，也没给大家留下什么深刻印象，但很明显，薛定谔后来认真思考了这个想法。

1925年圣诞节前几天，薛定谔离开苏黎世，动身去瑞士的阿尔卑斯山地区小住几日。1922年在阿罗萨疗养期间他就住在那里，1923年和1924年圣诞节期间，他与安妮也是在那里过的节。但此时夫妻二人的关系已冷到冰点。于是他决定邀请一位维也纳的旧相好与他同行，把安妮留在了苏黎世。他随身携带的还有针对德布罗意的论文做的笔记。

我们不知道这位旧相好到底是谁，也不知道她对薛定谔产生了什么影响，但在1926年1月8日回到苏黎世的时候，薛定谔已经发现了波动力学（wave mechanics）。

从经典物理学出发不可能严格地在物理上推导出量子力学的波动方程。但是，顺着薛定谔当时笔记上的推导，却是可能的。他从众所周知的经典波动方程出发，后者将波函数［用符号ψ（psi）表示］描述的所有波动形式的时间和空间依赖性关联了起来。最初，他用的是与时间无关的波动方程，因为它更适合描述驻波（而非行波）。

深入到经典波动方程后，薛定谔把德布罗意推导出的粒子质量（更确切地说是粒子的动量）和波动频率的关系式替换掉了。他意识到，要想获得有意义的波动方程的解，就必须对电子波函数（把电子看作波的数学描述）的形式做些假设。他需要限制可以接受的函数的种类，更确切地说，函数必须为单值（在给定的空间坐标中只有一个值）、有限的（而非无限）和连续的（没有突然的“断裂”或不连续）。

像德布罗意一样，薛定谔采用了完全与相对论匹配的方法，尝试在符合爱因斯坦狭义相对论要求的情况下推导出氢原子的电子的波动方程。他把电子波函数置于特定的坐标系中，这个坐标系更适于求解球形静电场中运动的问题。这就是所谓的球面极坐标系，其坐标包括电子和核之间的距离r，角度θ（一种余纬度，读作theta）和角度φ（一种经度，读作phi）。他发现他可以把波函数分解成两个独立的函数：一个是“径向”函数，只取决于r；一个是角函数，也叫“球谐”函数，只取决于θ和φ。结果会得出一系列非常复杂的微分方程。

到这里，已经是薛定谔数学能力的极限了。如果说球谐函数的微分方程他尚能解决，径向函数方程他就怎么也应付不了了。无论如何，他觉得他已经看到足够多的东西了。12月27日，他写信给维恩：

此刻，我正在努力研究一个新的原子理论。如果我数学再好一些，那该有多好啊！我对这个研究非常有信心，而且盼着自己最终能够……解决这个问题，会是非常漂亮的一个……我希望自己不久之后能对这项研究做一个更为详尽、易于理解的报告。此刻，我必须多学点数学……

1926年1月8日，薛定谔返回苏黎世，并立即向外尔寻求帮助。大约一周之内，他就解决了径向函数的微分方程的问题。现在，他必须要解决半整数的量子数，受此困扰，他又转头回到非常相似的非相对论波动方程，这个方程的结果只有整数值。此时此刻，所有谜团的解摆在了他的面前。

通过限制在原子核附近的三维电子波函数的性质，波函数可能的解的一种特定模式自然并且直接地出现了。薛定谔发现径向函数的解取决于两个整数，这两个整数分别等同于主量子数n和量子数k，而角函数的解取决于k和m。不同解的能量值由主量子数的平方决定，如此就重新推导出了巴尔末公式。

在薛定谔的推导过程中，唯一的拟设与他对电子波函数形式做的限制有关。剩下的——量子数、它们之间的相互关系、氢能级、巴尔末公式——就是不容辩驳的数学逻辑的结果了。的非常漂亮。

薛定谔在论文中详述了他的研究，并把论文寄给了《物理年鉴》。1926年1月27日，杂志社收到他的论文，这时距离他做出最初的发现不过三周的时间，而距离《物理学杂志》收到泡利的论文也不过10天的时间。在论文中，薛定谔证明玻尔和索末菲所引入的“特设”的量子数“与表示振动弦节点数的整数一样自然而然地出现了”。

薛定谔波动力学的微分方程具有一个特性。一个微分算符作用于一个函数，得到一个数（量）乘以该函数。如果是动力学系统中计算总能量的微分算符（哈密顿算符），运算后得到的量就是系统的总能量。满足此类方程的函数有一个专有名称叫本征函数（eigenfunction），运算得出的数称作本征值（eigenvalue）。随后，薛定谔给自己的论文定名为《作为本征值问题的量子化》。

对薛定谔来说，波动力学的成功意味着有机会把经典力学的重要元素重新引入量子化的图景中。现在，他试图把电子在不可见的电子轨道之间发生的不连续的量子跃迁，用一个更经典的、更具视觉化的图像替代掉，即系统定态波函数之间的平滑和连续的变化。

1926年1月到6月的这六个月中，薛定谔相当高产，就新的波动力学写出了六篇具有高度创新性的论文，而这一切始于外尔所说的“他生命中一次迟来的‘艳福’”。薛定谔在其中一篇论文中阐述了矩阵力学和波动力学在数学上的等价关系。在经典力学中，粒子的动量p是由粒子的质量乘以速度得出的。而在波动力学中，动量的表达由微分算符取代。按照惯例，现在我们需要把经典力学的p和等价的波动力学算符区分开，在字母p的上方画一个“帽子”^，即，来表示算符。

很显然，波函数经过一系列运算后，其结果由施加的运算顺序决定。在薛定谔的波动力学中，位置q乘以波函数，再施以动量算符所得的结果，与先施以动量算符，再以位置q乘以波函数所得的结果是不同的。换种说法就是qψ不等于qψ。在波动力学中，动量算符被构造为能使得位置―动量对易关系q-q等于–ih/2π。

薛定谔在论文的脚注中写道：“我根本没意识到与海森伯有什么本质的关联，我当然知道他的理论，但他用的数学方法已经超出了代数学，对我来说太难了，而且缺乏直观性，即使没把我吓退，也是被难住了。”他们对对方的感觉是针锋相对的。在薛定谔发表了可与之比肩的论文后不久，海森伯写信给泡利：“我越是思考薛定谔理论的物理部分，就越是反感……薛定谔关于其理论直观性的描写（套用玻尔的话）‘可能并不对’，换言之，就是胡扯。”

但是，虽然海森伯有疑虑，但薛定谔的杰作（tour de force）吸引了众多拥护者。现在，大家都把注意力转到电子的波函数身上了。波函数是什么，又该如何诠释呢？