3.2 计算机中信息的表示
计算机最主要的功能是信息处理，要使计算机能处理信息，首先必须将各类信息转换成由二进制数0和1表示的代码，这一过程称为编码。计算机能处理的数据除了数值之外，更多的是字符、图像、图形、声音等非数值信息所对应的数据。在计算机内部，各种信息都必须经过数字化编码后才能被传送、存储和处理。因此要了解计算机的工作原理，就必须了解编码知识，掌握信息编码的概念与处理技术是很重要的。
3.2.1 计算机中的数据表示
1.数制
由于计算机中采用二进制数码来表示，因此，了解和掌握数制是十分必要的。用一组统一的符号和规则来表示数的方法就称为进位计数制，简称数制。按照进位方法不同，数制又分为二进制、十进制和十六进制等。日常生活中最常用的是十进制数，而在计算机中最常用的是二进制和十六进制。数制中的三个术语分别是数位、基数和权位。
（1）数位
数位是指数码在一个数中所处的位置，例如数字1235.67，
处在0位上的数字是5；
处在1位上的数字是3；
……
处在-1位上的数字是6；
处在-2位上的数字是7。
通常小数点左侧的位数用n表示，右侧的位数用m表示。
（2）基数
基数是指在数位上所能使用的数码的个数，例如十进制计数中，每个数位上可以使用的数码为0～9十个数码，即其基数为10。
（3）权位
一个数字放在不同的数位上，表示的大小是不一样的。例如，数字6放在0位（个位）上，其大小为6，即6×100；放在1位（十位）上，表示60，即6×101。也就是说，一个数字放在不同的数位上，其大小是该数字乘一个固定的数值，这个固定的数值叫权位。
十进制数有10个基本数码：0～9，进位原则是逢10进1，基数为10，依照这个规律，二进制数的数码为0和1，进位原则是逢2进1，基数为2。十进制与二进制的对应关系见表3-1。
表3-1 十进制与二进制的对应关系表
2.计算机中为什么要使用二进制数
（1）二进制数实现容易
二进制数只有两个数码：0和1，电子器件的物理状态有两种稳定状态的很多，因而实现容易。例如，晶体管的导通和截止、脉冲的有和无等，都可以用来表示二进制的1和0。
（2）二进制数运算规则简单
例如，一位二进制数的加法运算和一位二进制数的乘法运算规则为
0+0=0 0×0=0
0+1=1+0=1 0×1=1×0=0
1+1=10（逢二向高位进一） 1×1=1
而减法和除法是加法和乘法的逆运算，根据上述规则，很容易实现二进制的四则运算。
（3）二进制数能方便地使用逻辑代数
二进制数的0和1与逻辑代数的“假”和“真”相对应，可使算术运算和逻辑运算共用一个运算器，易于进行逻辑运算。逻辑运算与算术运算的主要区别是：逻辑运算是按位进行的，没有进位和借位。
（4）二进制数记忆和传输可靠
电子元件对应的两种状态是一种质的区别，而不是量的区别，识别起来较容易。用来表示0和1的两种稳定状态的电子元件抗干能力扰强、存储量大和可靠性好，不易出错。
3.数制之间的转换
（1）非十进制数（R进制）转换成十进制数
方法：按照位权展开求和扩展到一般形式，一个R进制数，基数为R，用0，1，…，R-1共R个数字符号来表示，且逢R进一，因此，各位的位权是以R为底的幂。
一个R进制数的按位权展开式为
（N）R=kn-1×Rn-1+…+k0×R0+k-1×R-1+k-2×R-2+…+k-m×R-m
其中，R进制数N小数点左侧的位数有n位，右侧的位数有m位。例如，十进制数1999.123=1×103+9×102+9×101+9×100+1×10-1+2×10-2+3×10-3。从该例子可以看出，任何一个十进制数都可以按照位权展开求和，而且等式两边的结果是相等的，那么对于二进制而言当然也可以。同样八进制、十六进制等R进制转换成十进制的方法为：先为该数进行标位（方法：以小数点为分界限，整数部分方向从右向左从0，1，…进行标位，小数部分从左向右从-1，-2，…进行标位），按照位权展开求和就完成了。
（2）十进制转换成非十进制（R进制）
方法：将十进制数转换为R进制数，只要对其整数部分采用除以R取余法（余数为0为止），最后将所取余数按逆序排列；而对其小数部分，采用乘R取整法（每一次的乘积必须变为纯小数然后再作乘法，将所取整数按顺序排列）。
例如，将（179.48）10转换为二进制数。
通过分别对整数部分与小数部分求解如下：
其中，（179）10=（10110011）2，（0.48）10=（0.0111101）2（近似取7位）。即（179.48）10=（10110011.0111101）2。
一个十进制的整数可以精确地转换为一个二进制整数，但是一个十进制的小数并不一定能够精确地转换为一个二进制小数。
与十进制数转换为二进制数类似，当人们将十进制小数转换为八进制或十六进制小数的时候，同样也会遇到不能精确转换的问题。那么，到底什么样的十进制小数才能精确地转换为一个R进制的小数呢？
事实上，一个十进制纯小数p能精确表示成R进制小数的充分必要条件是此小数可表示成k/Rm的形式（其中，k、m、R均为整数，k/Rm为不可约分数）。
下面，我们给出证明。
必要性：如p能精确表示成R进制小数，则令
p=l1R-1+l2R-2+…+liR-i （3-1）
其中，l1，l2，…，li为小于R的整数，即p可精确表示成R进制小数0.l1l2…li。
由式（3-1）可得
p=R-i（l1Ri-1+l2Ri-2+…+li） （3-2）
式（3-2）中括号内显然为一整数，令其为k，又令m=i，则p=k/Rm的必要性得证。
充分性：若p=k/Rm，如k＜R，则p可精确表示为R进制小数0.00…k，其中0共有m-1个；如k>R则可把k表示成
k=qR+a （3-3）
其中，q、a均为整数且a＜R，因此有
p=q/Rm-1+a/Rm （3-4）
式（3-4）中，若q＜R，则命题得证；若q＞R，则继续重复式（3-3）直至q＜R为止。
3.2.2 计算机中的数值表示
数值型数据由数字组成，表示数量，用于算术操作中。例如，你的年收入就是一个数值型数据，当需要计算个人所得税时就要对它进行算术操作。本节我们将讨论计算机中数字信息的表示方法。
在计算机中，数值型的数据有两种表示方法，一种叫做定点数，另一种叫做浮点数。所谓定点数，就是在计算机中所有数的小数点位置固定不变。定点数有两种：定点小数和定点整数。定点小数将小数点固定在最高数据位的左边，因此，它只能表示小于1的纯小数。定点整数将小数点固定在最低数据位的右边，因此定点整数表示的也只是纯整数。由此可见，定点数表示数的范围较小。
为了扩大计算机中数值数据的表示范围，我们将12.34表示为0.1234×102，其中0.1234叫做尾数，10叫做基数，可以在计算机内固定下来。2叫做阶码，若阶码的大小发生变化，则意味着实际数据小数点的移动，我们把这种数据叫做浮点数。由于基数在计算机中固定不变，因此，我们可以用两个定点数分别表示尾数和阶码，从而表示这个浮点数。其中，尾数用定点小数表示，阶码用定点整数表示。在计算机中，无论是定点数还是浮点数，都有正负之分。在表示数据时，专门有1位或2位表示符号，对单符号位来讲，通常用“1”表示负号，用“0”表示正号；对双符号位而言，则用“11”表示负号，“00”表示正号。通常情况下，符号位都处于数据的最高位。
（1）定点数的表示
一个定点数，在计算机中可用不同的码制来表示，常用的码制有原码、反码和补码三种。不论用什么码制来表示，数据本身的值并不发生变化，数据本身所代表的值叫做真值。
1）原码的表示。如果真值是正数，则最高位为0，其他位保持不变；如果真值是负数，则最高位为1，其他位保持不变。
2）反码的表示。如果真值是正数，则最高位为0，其他位保持不变；如果真值是负数，则最高位为1，其他位按位求反。
反码跟原码相比较，符号位虽然可以作为数值参与运算，但计算完后，仍需要根据符号位进行调整。另外0的反码同样也有两种表示方法：+0的反码是00000000，-0的反码是11111111。为了克服原码和反码的上述缺点，人们又引进了补码表示法。补码的作用在于能把减法运算转化成加法运算，现代计算机中一般采用补码来表示定点数。
3）补码的表示。若真值是正数，则最高位为0，其他位保持不变；若真值是负数，则最高位为1，其他位按位求反后再加1。
（2）浮点数的表示
浮点数的表示法类似于科学计数法，任一数均可通过改变其指数部分，使小数点发生移动，如数23.45可以表示为101×2.345、102×0.2345、103×0.02345等各种不同形式。浮点数的一般表示形式为N=2E×D，其中，D称为尾数，E称为阶码，如图3-3所示。
图3-3 浮点数的表示图
对于不同的机器，阶码和尾数各占多少位、分别用什么码制进行表示都有具体规定。在实际应用中，浮点数的表示首先要进行规格化，即转换成一个纯小数与2m之积，并且小数点后的第一位是1。
例如，写出浮点数（-101.11101）2的机内表示（阶码用4位原码表示，尾数用8位补码表示，阶码在尾数之前）。
解：（-101.11101）2=（-0.10111101）2×23可见阶码为3，用原码表示为0011，尾数为-0.10111101，用补码表示为1.01000011。因此，该数在计算机内表示为：00111.01000011。
3.2.3 计算机中非数值信息的编码
我们知道，计算机只认识“0”、“1”代码，因此，为了使计算机能够识别其他的数和字符，必须对其进行二进制编码。下面介绍几种常见的编码及其特性。
1.十进制数的二进制编码
在计算机中，十进制数除了被转换成二进制数参加运算外，还可以直接进行输入和运算。但此时的十进制数是二进制编码的十进制数（即形式上是“0”、“1”代码，实质上却为十进制数）。
用一定规则组成的4位二进制数来表示一位十进制数的方法，称为十进制数的二进制编码或二进制编码的十进制数（Binary Coded Decimal，BCD）。由于十进制数的最大数符为9，故至少需要4位二进制数码才行。一般采用4位二进制数来表示一位十进制数，而4位二进制数的组合有16种，十进制数只取其中10种，还多余6个代码。因此，十进制数的二进制编码方法有多种，不同的编码方法产生不同的BCD码，而目前使用最广泛的BCD码是8421码。8421码是用4位二进制编码表示一位十进制数，且逢十进位。4位二进制码的各位的权值自左到右分别为8、4、2、1，故称8421码。即取4位二进制数的前面10种代码0000～1001依次表示0～9这10个数符。8421码中不允许出现1010～1111这6个代码。注意：不能将其与二进制数混淆起来。例如，（01000111）BCD=（47）10；（01000111）2=（71）10
2.字符的二进制编码
字母、数字、汉字和符号统称为字符，而用来表示字符的二进制码称为字符编码。人们使用计算机的基本手段是通过键盘与计算机交互，从键盘上敲入的各种命令都是以字符形式体现的。然而，由于计算机只识别“0”、“1”代码，这就需要对字符进行编码，并由机器自动地转换为“0”、“1”代码形式存入计算机中。常用的字符编码有ASCII码和汉字编码等。
（1）ASCII码
ASCII（American Standard Code for Information Interchange）码常用7位二进制进行编码，共可表示27=128个字符。ASCII码的最高位b7（最低位为b0）常作为奇偶校验位。所谓奇偶校验，是指代码传送过程中用来检验是否出现错误的一种方法，分奇校验和偶校验两种。常见字符的ASCII码如下：‘A’=41H，‘B’=42H，…等依次加一即得；‘a’=61H，‘b’=62H，…等依次加一即得；‘0’=30H，‘1’=31H，…等依次加一即得。ASCII码字符表见表3-2（本表ASCII值为十进制）。
表3-2 ASCⅡ码字符表
（2）汉字编码
计算机中汉字的表示也是用二进制编码，同样是人为编码的。根据应用目的的不同，汉字编码分为外码、交换码、机内码和字形码。汉字编码处理信息过程如图3-4所示。
图3-4 汉字编码处理信息过程图
1）汉字输入码（外码）：方便人工通过输入设备输入汉字而设计的，如区位码、智能ABC码、五笔字型码。
2）国标码（交换码）：用于汉字信息处理系统之间或通信系统之间进行信息交换，国标GB2312-1980制定了汉字交换码的标准。国标码任何一个汉字或图形符号都用两个7位的二进制数表示，计算机中用两个字节表示，每个字节的最高位为0，剩余7位为汉字或图形的二进制编码。国标码字符集中收集了常用汉字和图形符号7445个，其中图形符号682个，汉字6763个，根据汉字使用频率的高低、构词能力的强弱、实际用途的大小划分为两级汉字，一级汉字3755个，二级汉字3008个。
区位码是国标码的另一种表现形式，把国标GB2312-1980中的汉字、图形符号组成一个94×94的方阵，分为94个“区”，每区包含94个“位”，其中“区”的序号为01～94，“位”的序号也是01～94。94个区中位置总数为94×94=8836个，其中7445个汉字和图形字符中的每一个占一个位置后，还剩下1391个空位，这1391个位置空下来保留备用。所以给定区位值，用4位数字都可以确定一个汉字或图形符号，其中前两位是“区”号，后两位是“位”号，如“汉”字的区位码是“2626”、“吴”字的区位码是“4666”、“邢”字的区位码是“4847”等（一般区位码用十进制表示）。
3）机内码：供计算机系统内部进行汉字存储、加工处理、传输统一使用的代码，俗称变形国标码。汉字机内码、国标码和区位码三者之间的关系为：区位码（十进制）的两个字节分别转换为十六进制后加2020H得到对应的国标码；机内码是汉字交换码（国标码）两个字节的最高位分别加1，即汉字交换码（国标码）的两个字节分别加80H得到。用公式表示为：国标码=区位码+2020H；机内码=国标码+8080H；机内码=区位码+A0A0H。如“汉”字的区位码用十六进制表示后是“1A1A”，“吴”字的区位码用十六进制表示后是“2E42”，“邢”字的区位码用十六进制表示后是“302F”，然后计算出国标码分别对应为“3A3A”“4E62”“504F”，最后计算出机内码分别对应为“BABA”“CEE2”“D0CF”。
4）字形码：字形码是汉字的输出码，输出汉字时都采用图形方式，无论汉字的笔画多少，每个汉字都可以写在同样大小的方块中，通常用16×16点阵来显示汉字。