1.1 方程与方程求解

方程（equation）是无处不在的数学模型，是在工程、科学与人们的日常生活中随时都能看到的数学模型。

定义1-1 方程是含有一个或多个变量的等式。这些变量又称为未知变量，而这些满足等式的未知变量的值又称为方程的解。

定义1-2 如果同时给出若干个方程，这些方程含有多个不同的变量，并要求这些方程同时成立，则这些方程称为联立方程（simultaneous equations）。

现代数学是用表达式和等号描述方程的，等号的左边有一个表达式，右侧有一个表达式，用等号连接这两个表达式。威尔士物理学家、数学家Robert Recorde（约1512−1558，图1-1（a））在1557年发明了等号，并用数学符号描述了方程。

方程分为代数方程与微分方程，代数方程中变量与变量之间的关系是静态的，也就是说，方程的根是常数；而微分方程中，变量之间的关系是动态的。微分方程将在卷V专门介绍，本书暂不涉及。代数方程分为线性方程、多项式方程和非线性方程。除此之外，还有参数方程、隐式方程等。线性代数方程在卷III中已经给出了全面介绍，本书将介绍其他方程的求解方法。

其实早在Recorde使用等号描述方程之前，对诸多类型方程的研究就已经开始了。古巴比伦人在大约公元前2000年就开始研究一元二次方程，公元628年，古印度数学家Brahmagupta（约598−约668）用语言而不是用数学公式描述了一元二次方程的求根方法。中国古代数学家刘徽（约225−295）、王孝通（580−640）研究了一元三次方程。1554年，意大利数学家Gerolamo Cardano（1501−1576，图1-1（b））出版了一部数学著作，给出了意大利数学家Scipione del Ferro（1465−1526）的一元三次方程的求根公式和意大利数学家Lodovico de Ferrari（1522−1565）的一元四次方程的求根公式，Cardano还是第一个使用负数的数学家。挪威数学家Niels Henrik Abel（1802−1829，图1-1（c））在1824年证明了五次或五次以上的多项式方程是没有一般代数解法的。

图1-1 Recorde、Cardano和Abel画像

注：图像均来源于维基百科

还有一类特殊的方程，对所有的未知数都成立，这类方程称为恒等式（identity），例如

这类方程一般都可以直接通过符号运算方式证明，所以本书不再探讨恒等式问题。