3.2 单边极限与函数连续性

3.2.1 左极限与右极限

前面介绍的极限中，x→x0通常允许x从任意方向趋近于x0，而实际应用中，有时只允许x从左侧或从右侧趋近于x0，这就涉及单边极限问题。

定义3-7 函数的单边极限（或称左右极限）数学形式如下

从物理意义上看，定义中前者表示x从左侧无限趋近于x0点，所以又称为左极限，后者相应地称为右极限。单边极限问题在MATLAB符号运算工具箱中也可以使用limit()函数直接求出，该函数的调用格式为

L=limit(f,x,x0, 'left')，%左极限

L=limit(f,x,x0, 'right')，%右极限

例3-14 试求出下面的单边极限问题：

解 求解函数的单边极限与前面介绍的一般极限问题一样方便，采用的步骤也是一致的。先申明符号变量，在将原函数用MATLAB表示出来，最后调用limit()函数直接得出所需的函数右极限的值，其结果为1。其实读者还可以尝试，如果再多求几重这样的函数，得出的结果也是1。

对这个函数而言，若x<0，则原函数在实数框架下是没有定义的，必须假设x为正数；x=0时由于0做了分母，函数也是没有定义的；只能研究x>0的情形，所以应该事先申明x为正的符号变量。还可以绘制出该函数在x=0附近的一个邻域内的曲线，如图3-4所示，可见在x→0+时，函数的值确实趋近于1。

     >> fplot(f,[-0.001,0.01]), hold on, plot(0,1,'o'), hold off

例3-15 试求解单边极限问题。

解 利用MATLAB的limit()函数，可以容易地求出单边极限为12。

用下面的语句还可以绘制出(−0.1,0.1)区间的函数曲线，如图3-5所示。这里采用了一点小技巧，成功地避开了x=0点。

     >> x0=-0.1+0.000001:0.001:0.1; plot(x0,f(x0),0,c,'o')

可见，对这个例子来说，使用limit(f,x,0)命令也能求出函数极限值是12。

回顾原始问题，其中采用x→0+是因为它可以保证根号内的值为非负数。事实上，即使是负数，cos jα=(eα+e−α)/2也是有定义的，且其结果为实数，这对本问题没有影响，但对某些分段函数来说，单边极限是不同的。

例3-16 试分别求出tant函数关于π/2点处的左右极限。

解 由下面命令可以分别求出函数的左右极限，分别为L1=∞和L2=−∞。

3.2.2 函数的连续性

定义3-8 如果函数f(x)在x=x0的某个邻域内有定义，且，则称f(x)函数在x0点处连续。

定义3-9 如果出现下面两种情况之一，则称x=x0是函数f(x)的间断点。

（1）函数f(x)在x=x0处没有定义或不存在；

（2）f(x0)有定义，但。

定义3-10 若关于某点x0，函数f(t)的左右极限相同，则该点称为第一类间断点，否则称为第二类间断点。

例3-17 试判定下面分段函数f(x)的连续性。

解 从给定的分段函数看，在三个给定的区间内f(x)都是连续的，所以需要进一步判定这三个区间两两交界的点处，即x=−7与x=1处函数是否连续就可以了。比如说，需要判定第一段函数的x→−7−左极限是不是等于−7，在第三段函数的x→1+处右极限是不是等于1就可以了。

可以看出，L1=−1/6，L2=1/2，都不是期待的值，所以在这两个点处函数都不连续，由上面的语句还可以绘制出函数的曲线，如图3-6所示，从得出的图形可见，在这两个点处函数都存在跳跃，确实是不连续的。

例3-18 设，试选择a的值使得函数f(x)连续。

解 函数稳定性的关键点可能发生在x=0。由给出的函数f(x)看，f(0)=a，如果a恰好等于，则函数连续。由下面命令可以直接求出a的值为1。

     >> syms x; f(x)=exp(x); a=limit(f,x,0,'left')

3.2.3 区间极限运算

有些函数，如sin x，在x→∞的极限是不存在的，但可以通过MuPAD函数的选项求取其极限范围。可以通过下面的语句直接调用MuPAD的底层函数limit()求解相关问题。

     L=feval(symengine,'limit',f,'x=infinity','Intervals')

其中feval()函数可以直接通过符号运算引擎symengine调用MuPAD的底层函数limit()，其变元为MuPAD写法。

例3-19 假设a,b>0，试求出f(t)=a sin 8x2+b cos(2x−2)函数在x→∞时极限的区间。

解 利用底层的MuPAD命令可以解出该极限的区间为(−a−b,a+b)。

定义3-11 区间极限的下界与上界分别记作与，在数学上分别称为下极限与上极限。

3.2.4 函数连续性的应用——方程解的判定

定理3-1 如果f(x)在(a,b)区间内连续，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)区间内至少存在一个ξ，使得f(ξ)=0。

高等数学老师讲授的“至少存在一个ξ”的方法可以判定一个方程f(x)=0是否有解。其实判定方程解的存在性并不是科学技术人员最感兴趣的事，他们更感兴趣的是有几个这样的ξ，这些ξ都在哪儿。

有了MATLAB这样强有力的计算机工具，求解方程是个轻而易举的事，即使想求出多元多解方程全部的根也是特别容易的，具体内容可以参见本丛书第IV卷。对简单的单变量的方程而言，MATLAB提供的fzero()函数就足以应付了。

例3-20 试判定方程f(x)=sin (x3+1/x)=0在(ϵ,0.1)区间是否有解。如果有，有多少根呢？能不能求出其全部的根？

解 如果将ϵ点与0.1点的值代入函数，可以发现f(ϵ)=0.8742，f(0.1)=−0.5449，这两点的函数值异号，数学家会告诉你，在该区间至少存在一个ξ，满足f(ξ)=0。

数学家能知道的就只有这么多了，如果不借助计算机他们也不知道有多少个根，以及根都位于什么地方。如果绘制函数的曲线，可以得出如图3-7所示的曲线，从曲线上看原方程有无数个根。

     >> fplot(f,[-0.1,0.1])

科学技术人员当然不能满足于数学家的结论，他们更感兴趣的是方程到底有多少个根，这些根都在哪里。要想得出一个根，可以使用简单的搜索函数fzero()，不过该函数一次只能得出方程的一个根，求解多解方程很麻烦。如果想得出一般方程在感兴趣区间内全部的根，则需要采用本丛书第IV卷中将介绍的more_sols()函数，这里只给出其命令与结果，如图3-8所示，关于该函数这里暂不过多介绍。