本章习题

2.1 试证明下列恒等式

（1）ejπ+1=0

（2）

2.2 若ϕ(x)=(ax+a−x)/2，ψ(x)=(ax−a−x)/2，试证明

（1）ϕ(x+y)=ϕ(x)ϕ(y)+ψ(x)ψ(y)

（2）ψ(x+y)=ϕ(x)ψ(y)+ψ(x)ϕ(y)

2.3 如果，试证明。

2.4 若f(x)=x2−x−1，试求f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(x))))))))))。如果结果是多项式，多项式的最高阶次是多少？

2.5 Chebyshev多项式的数学形式为T1(x)=1，T2(x)=x，Tn(x)=2xTn−1(x)−Tn−2(x)，n=3,4,…。试计算T10(x)。

2.6 试判定下面函数的奇偶性

（1）

（2）

2.7 试求出下面函数的反函数

（1）

（2）y=ln(x/2)

（3）y=2x+3

2.8 试绘制下面的隐函数曲线

其中r=x2+y2，θ=arctan(y/|x|)。

2.9 试绘制下面给出的参数方程曲线

（1）x(t)=t2−t，y(t)=t2−t3

（2）x(t)=a(cos t+t sin t)，y(t)=a(sin t−t cos t)

2.10 给定参数方程x=sin t，y=sin at，z=sin bt，针对下面的有理数与无理数a、b取值，试绘制出对应的二维、三维Lissajous图形

（1）a=1/2，b=1/3

（2）

2.11 试用符号元素工具箱支持的方式表达函数f(x)=x5+3x4+4x3+2x2+3x+6，并令x=(s−1)/(s+1)，将f(x)表示成s的函数。试在x左半平面内生成一组样本点，并观察这些样本点如果映射到s平面映射点的分布。

2.12 试绘制并旋转观察下面的参数方程表面图

其中0⩽u⩽2π，0⩽v⩽2π。

2.13 假设某三维曲面由隐函数表示如下，且感兴趣的区域为x,y,z∈(−1,1)，试绘制其三维曲面。

ψ(x,y,z)=x sin (y+z2)+y2 cos(x+z)+zx cos(z+y2)=0

2.14 分别选取合适的θ范围，绘制出下列极坐标图形

（1）ρ=1.0013θ2

（2）ρ=cos 7θ/2

（3）ρ=sin θ/θ

（4）ρ=1−cos37θ

2.15 试用MATLAB表示下面函数项序列的通项

2.16 试用图解法判定下面序列可能最终收敛到的值。