2.4 复变函数与映射

自变量为实数的函数称为实函数，自变量为复数的函数称为复变函数。本节将介绍复变函数的基本定义与简单运算，并介绍复变函数的映射及复变函数Riemann面的绘制方法。

2.4.1 复数矩阵及其变换

MATLAB可以直接表示复数矩阵。假设已知一个复数矩阵Z，则可以使用简单函数对该矩阵进行如下变换：

（1）共轭复数矩阵Z1=conj(Z)。

（2）实部、虚部提取R=real(Z)，I=imag(Z)。

（3）幅值、相位表示A=abs(Z)，P=angle(Z)，其中相位的单位为弧度。

其实，这里的Z并不局限于矩阵，还可以是多维数组或符号表达式。

2.4.2 复变函数的映射

定义2-14 若某函数f(z)的自变量z为复数，则该函数称为复变函数。

由于复数是MATLAB最基本的数据结构，在大多数算法中均未特别区分实数和复数，所以前面介绍的绝大多数内容均可以直接用于复变函数的分析。

例2-16 已知某复变函数为，其中z为复数变量，试求。

解 由下面语句即可得出所需的结果为。

     >> syms z; f(z)=(z^2+3*z+4)/(z-1)^5; f1=simplify(f(-sqrt(-5)))

在复变函数中，一种很重要的数学变换形式是映射，即函数可以从一个变量z变换成另一个变量w的函数，其中z=g(w)为给定的函数。经常使用的映射是平移映射z=w+γ，反演映射z=1/w和双线性映射z=(aw+b)/(cw+d)。这里γ为给定复数，a、b、c、d为给定实数。平移映射将函数的原点平移到γ点；反演映射可以将单位圆内外的点相互映射；双线性映射实现直线与圆的相互映射。

例2-17 考虑例2-16中给出的复变函数f(z)，试得出z=(s−1)/(s+1)下的映射函数F(s)。

解 映射问题可以由下面命令直接得出，得出的结果需要化简。

该语句可以直接得出映射函数为

例2-18 试将左半平面内的数据s通过双线性变换z=(s+1)/(s−1)映射成z平面内的点，并观察其分布。

解 假设实轴范围选择为(−a,0)，纵轴范围选择为(−b,b)，并令a=1，b=3，则可以用网格方法生成一些s左半平面的点。另外，还可以在区域内绘制一条垂直直线x=−0.55和一条水平直线y=1.65，如图2-9所示。

通过双线性变换的直接映射，可以得出z平面内的映射点，如图2-10所示，该图还给出了s平面内水平、垂直线的映射结果。

可见，通过双线性变换，可以将左半平面内的点映射成z平面单位圆中的点。不过从图2-10中给出的结果看，映射不是很完全，因为a、b取值不是足够大，增加a和b的值则可能得出覆盖全单位圆的映射结果。

一般情况下，人们只知道通过这种变换，s左半平面上的点可以映射到单位圆内，但不知道具体会如何映射，如果借助计算机工具就可以更好地观察具体的映射方式。

2.4.3 Riemann曲面的绘制

复变函数映射的三维图形表示和实函数是不一致的，复变函数映射应该首先采用函数cplxgrid()生成极坐标网格，用户可以根据给定的单值复变函数公式计算出变量f，然后由cplxmap()函数绘制该复变函数的映射曲面，这类曲面又称为Riemann面。这些函数具体调用格式为

z=cplxgrid(n)；%给出语句计算f；cplxmap(z,f)

例2-19 试绘制出复变函数f(z)=z3 sin z2的映射曲面。

解 由下面的语句可以立即绘制出相应的复变函数的映射曲面，如图2-11所示。

     >> z=cplxgrid(50); f=z.^3.*sin(z.^2); cplxmap(z,f)

对于复数变量z，多值复变函数的Riemann面可能有多个分支，这些分支又称为Riemann叶（Riemann sheet），例如就有n个分支。MATLAB提供了绘制其各次方根Riemann曲面的函数cplxroot(n)，可以直接绘制出的Riemann曲面。

例2-20 试绘制和的Riemann曲面。

解 绘制这些方根函数的Riemann前面甚至不用事先生成网格，由cplxroot()函数可以直接绘制出和的Riemann面，如图2-12、图2-13所示。

从上面给出的cplxroot()函数可见，其局限性在于只能绘制出方根函数的Riemann面，对其他类型的多值复变函数无能为力，所以可以考虑扩展cplxmap()函数，将该函数另存为cplxmap1()函数，再删除掉其中的mesh()函数和hold语句，这样就可以考虑多值复变函数Riemann面的绘制了。

例2-21 利用上述思路重新绘制的Riemann面。

解 首先考虑重新绘制函数的Riemann面。如果一个函数f1(z)是的一个分支，则另两个分支可以由f1(z)e−2jπ/3和f1(z)e−4jπ/3求出。这样可以由下面语句直接绘制的Riemann面，与图2-12给出的结果完全一致。

例2-22 试绘制出复变函数的Riemann面。

解 可以生成复数型网格，求出第一Riemann叶的曲面数据，乘以标量e2πj/2就能得到另外一个Riemann叶，将它们在一个坐标系下绘制出来，可以得出完整的Riemann面，如图2-14所示。