2.5　孔口和缝隙流量

本节主要介绍液流经过小孔和缝隙的流量公式。在研究节流调速及分析计算液压元件的泄漏时，它们是重要的理论基础。

2.5.1　孔口流量

液体流经孔口的水力现象称为孔口出流。它可分为三种：当孔口的长径比l/d≤0.5时，称为薄壁孔；当l/d>4时，称为细长孔；当0.5<l/d≤4时，称为短孔。当液体经孔口流入大气中时，称为自由出流；当液体经孔口流入液体中时，称为淹没出流。

（1）薄壁小孔

在液压传动中，经常遇到的是孔口淹没出流问题，所以我们就用前面学过的理论来研究一下薄壁小孔淹没出流时的流量计算问题。薄壁小孔的边缘一般都做成刃口形式，如图2.31所示（各种结构形式的阀口就是薄壁小孔的实际例子）。由于惯性作用，液流通过小孔时要发生收缩现象，在靠近孔口的后方出现收缩最大的流通截面。对于薄壁圆孔，当孔前通道直径与小孔直径之比d₁/d≥7时，流束的收缩作用不受孔前通道内壁的影响，这时的收缩称为完全收缩；反之，当d₁/d<7时，孔前通道对液流进入小孔起导向作用，这时的收缩称为不完全收缩。

现对孔前、后通道断面1—1、2—2之间的液体列伯努利方程，并设动能修正系数α=1，则有：

式中，∑h_ξ为液流流经小孔的局部能量损失，它包括两部分：液流经断面突然缩小时的h_ξ1和突然扩大时的h_ξ2。。由于A_e≪A₂，因此，。注意到A₁=A₂时，v₁=v₂，得出：

式中，C_v为速度系数，它反映了局部阻力对速度的影响，C_v=；Δp=p₁-p₂为小孔前后的压差。

经过薄壁小孔的流量为：

　　 （2.64）

式中　A_T——小孔截面积，A_T=πd²/4；

A_e——收缩断面面积，A_e=πd/4；

C_c——断面收缩系数，C_c=A_e/A_T=d/d²；

C_q——流量系数，C_q=C_vC_c。

流量系数C_q的大小一般由实验确定，在液流完全收缩（d₁/d≥7）的情况下，C_q=0.60～0.61（可认为是不变的常数）；在液流不完全收缩（d₁/d<7）时，由于管壁对液流进入小孔起导向作用，C_q可增至0.7～0.8。

（2）短孔

短孔的流量表达式与薄壁小孔的相同，即q=C_q。但流量系数C_q增大了，Re较大时，C_q基本稳定在0.8左右。C_q增大的原因是：液体经过短孔出流时，收缩断面发生在短孔内，这样在短孔内形成了真空，产生了吸力，结果使得短孔出流的流量增大。由于短孔比薄壁小孔容易加工，因此短孔常用作固定节流器。

（3）细长孔

流经细长孔的液流，由于黏性的影响，流动状态一般为层流，因此细长孔的流量可用液流流经圆管的流量公式，即Δp。从此式可看出，液流经过细长孔的流量和孔前后压差Δp成正比，而和液体黏度μ成反比，因此流量受液体温度影响较大，这是和薄壁小孔不同的。

纵观各小孔流量公式，可以归纳出一个通用公式：

　　 （2.65）

式中　K——由孔口的形状、尺寸和液体性质决定的系数，对于细长孔K=d²/（32μl），对于薄壁孔和短孔；

A_T——孔口的过流断面面积；

Δp——孔口两端的压力差；

m——由孔口的长径比决定的指数，薄壁孔m=0.5，细长孔m=1。

这个孔口的流量通用公式常用于分析孔口的流量压力特性。

2.5.2　缝隙流量

所谓的缝隙就是两固壁间的间隙，与其宽度和长度相比小得多。液体流过缝隙时，会产生一定的泄漏，这就是缝隙流量。由于缝隙通道狭窄，液流受壁面的影响较大，因此缝隙流动的流态基本为层流。

缝隙流动分为三种情况：一种是压差流动（固壁两端有压差）；一种是剪切流动（两固壁间有相对运动）；还有一种是前两种的组合，即压差剪切流动（两固壁间既有压差又有相对运动）。

（1）平行平板缝隙流量（压差剪切流动）

如图2.32所示的平行平板缝隙，缝隙的高度为h、长度为l、宽度为b，l≫h，b≫h。在液流中取一个微元体dxdy（宽度方向取为1，即单位宽度），其左右两端面所受的压力为p和p+dp，上下两面所受的切应力为τ+dτ和τ，则微元体在水平方向上的受力平衡方程为：

pdy+（τ+dτ）=（p+dp）+τdx

整理后得：

　　 （2.66）

根据牛顿内摩擦定律有：

故式（2.66）可变为：

　　 （2.67）

将式（2.67）对y积分两次得：

　　 （2.68）

当y=0时，u=0，得C₂=0；当y=h时，u=u₀，得-×h。此外，液流作层流运动时p只是x的线性函数，即（Δp=p₁-p₂），将这些关系式代入式（2.68）并考虑到运动平板有可能反向运动得：

　　 （2.69）

由此得通过平行平板缝隙的流量为：

　　 （2.70）

很明显，只有在u₀=-h²Δp/（6μl）时，平行平板缝隙间才不会有液流通过。对于式（2.70）中的“±”号是这样确定的：当动平板移动的方向和压差方向相同时，取“+”号；方向相反时，取“-”号。

当平行平板间没有相对运动（u₀=0）时，为纯压差流动，其流量为：

　　 （2.71）

当平行平板两端没有压差（Δp=0）时，为纯剪切流动，其流量为：

　　 （2.72）

从以上各式可以看到，在压差作用下，流过平行平板缝隙的流量与缝隙高度的三次方成正比，这说明液压元件内缝隙的大小对其泄漏量的影响是非常大的。

（2）圆环缝隙流量

在液压元件中，某些相对运动零件，如柱塞与柱塞孔、圆柱滑阀阀芯与阀体孔之间的间隙为圆环缝隙，根据两者是否同心可分为同心圆环缝隙和偏心圆环缝隙两种。

① 同心圆环缝隙 　如图2.33所示的同心圆环缝隙，如果将环形缝隙沿圆周方向展开，就相当于一个平行平板缝隙。因此只要使b=πd代入平行平板缝隙流量公式就可以得到同心圆环缝隙的流量公式，即：

　　 （2.73）

若无相对运动，即u₀=0，则同心圆环缝隙的流量公式为：

　　 （2.74）

② 偏心圆环缝隙　把偏心圆环缝隙（图2.34）简化为平行平板缝隙，然后利用平行平板缝隙的流量公式进行积分，就得到了偏心圆环缝隙的流量公式：

　　 （2.75）

式中　ε——相对偏心率，ε=e/h；

h——内外圆同心时半径方向的缝隙值；

e——偏心距。

当内外圆之间没有轴向相对移动时，即u₀=0时，其流量为：

　　 （2.76）

由式（2.76）可以看出，当ε=0时，它就是同心圆环缝隙的流量公式；当偏心距e=h，即ε=1（最大偏心状态）时，其通过的流量是同心圆环缝隙流量的2.5倍。因此在液压元件中，有配合的零件应尽量使其同心，以减小缝隙泄漏量。