第1章　电工基础

1.1　直流电路

1.1.1　电路的组成

由电源、负载、导线和开关等组成的闭合回路是电流所经之路，称为电路，例如，在日常生活中，把一个灯泡通过开关、导线和电池连接起来，就组成了一个照明电路，如图1-1所示。当合上开关时，电路中就有电流通过，灯泡就会亮起来。

电路一般由以下四部分组成。

（1）电源

电源是提供电能的装置，其作用是将其他形式的能量转换为电能，如发电机、蓄电池、光电池等都是电源。发电机将机械能转换成电能；蓄电池将化学能转换成电能；光电池将光能转换成电能。

（2）负载

负载是消耗电能的电器或设备，其作用是将电能转换为其他形式的能量，如电灯、电炉、电动机等都是负载。电灯将电能转换成光能；电炉将电能转换成热能；电动机将电能转换成机械能。

（3）导线

连接电源与负载的金属线称为导线。导线用于将电路的各种元件、各个部分连接起来，形成完整的电路。导线通过一定的电流，以实现电能或电信号的传输与分配。

（4）开关

开关是控制电路接通和断开的装置。

注：电路中，根据需要还装配有其他辅助设备，如测量仪表用来测量电路中的电量；熔断器用来执行保护任务等。

1.1.2　电路的工作状态

电路的工作状态有以下三种。

（1）通路

通路就是电源与负载连接成闭合电路。如图1-1所示，开关S位于“闭合”位置时，电路处于通路状态。这时，电路中有电流通过。必须注意，处于通路状态的各种电气设备的电压、电流、功率等数值不能超过其额定值。

（2）断路（开路）

断路就是电源与负载未接成闭合电路。如图1-1所示，开关S位于“断开”位置时，电路处于断路状态。这时，电路中没有电流通过。断路又称开路。如果将电路的回路切断或发生断线，电路中的电流不能通过，就称为断路。在实际电路中，电气设备与电气设备之间、电气设备与导线之间连接时，接触不良也会使电路处于断路状态。

（3）短路

短路就是电源未经负载而直接由导线（导体）构成通路，如图1-2所示，电源被短接，电路处于短路状态。电气设备在正常工作时，电路中的电流由电源的一端经过电气设备流回到电源的另一端，形成回路。如果电流不经电气设备而由电源的一端直接回到电源的另一端，导致电路中的电流急剧增大，这就称为短路。

一般情况下，短路时的大电流会损坏电源和导线等。短路属于事故状态，往往造成电源被烧坏或酿成火灾，必须严加避免。

1.1.3　电流

电荷有规则地定向移动称为电流。在金属导体中，电流是电子在外电场作用下有规则地运动形成的。在某些液体或气体中，电流则是正离子或负离子在电场力作用下有规则地运动形成的。

（1）电流的方向

电流不仅有大小，而且有方向，习惯上规定正电荷移动的方向为电流的方向。

在分析或计算电路时，常常要求出电流的方向，但当电路比较复杂时，某段电路中电流的实际方向往往难以确定，此时，可先假定电流的参考方向，然后列方程求解，当解出的电流为正值时，就认为电流的实际方向与参考方向一致，如图1-3（a）所示；反之，当解出的电流为负值时，就认为电流的实际方向与参考方向相反，如图1-3（b）所示。

（2）电流的大小

为了比较准确地衡量某一时刻电流的大小或强弱，引入了电流这个物理量，表示符号为I。电流的大小等于通过导体横截面的电荷量与通过这些电荷量所用的时间的比值。如果在时间t内通过导体横截面的电荷量为q，那么，电流I为

式中，电流I的单位是安培，简称安，用字母A表示；电量q的单位是库仑，简称库，用字母C表示；时间t的单位为秒，用字母s表示。

如果在1秒（1s）内通过导体横截面的电量为1库仑（1C），则导体中的电流就是1安培（1A）。除安培外，常用的电流单位还有千安（kA）、毫安（mA）和微安（μA）等，其换算关系如下。

1kA=10³A

1A=10³mA

1mA=10³μA

（3）电流的种类

导体中的电流不仅可具有大小的变化，而且可具有方向的变化。大小和方向都不随时间而变化的电流称为恒定直流电流，如图1-4（a）所示。方向始终不变，大小随时间而变化的电流称为脉动直流电流，如图1-4（b）所示。大小和方向均随时间变化的电流称为交流电流。工业上普遍应用的交流电流是按正弦函数规律变化的，称为正弦交流电流，如图1-4（c）所示，非正弦交流电流如图1-4（d）所示。

为了区别直流电流和交流电流，直流电流用大写字母I表示；交流电流用小写字母i表示。

（4）电流密度

在实际工作中，有时要选择导线的粗细（横截面），这就要用到电流密度这一概念。所谓电流密度，就是指当电流在导体的横截面上均匀分布时，该电流与导体横截面积的比值。电流密度用字母J表示，其数学表达式为

式中，当电流I的单位为A、导体横截面积S的单位为mm²时，电流密度J的单位是A/mm²。

选择合适的导线横截面积就可使导线的电流密度在允许的范围内，保证用电安全。当导线中通过的电流超过允许值时，导线将过热，甚至造成事故。

1.1.4　电压和电动势

（1）电压

电压又称电位差，是衡量电场力做工本领的物理量。

水要有水位差才能流动，与此相似，要使电荷有规则地移动，在电路两端必须有一个电位差，也称为电压。电压用符号U表示（直流电压用大写字母U表示，交流电压用小写字母u表示）。

电压的基本单位是伏特，简称伏，用字母V表示，例如干电池两端电压一般是1.5V，电灯电压为220V等。有时采用比伏更大或更小的单位：千伏（kV）、毫伏（mV）、微伏（μV）等。这些单位之间的换算关系如下。

1kV=10³V

1V=10³mV

1mV=10³μV

电压和电流一样，不仅有大小，而且有方向，即有正负。对于负载来说，规定电流流进端为电压的正端，电流流出端为电压的负端。电压的方向由正指向负。

电压的方向在电路图中有两种表示方法，一种用箭头表示，如图1-5（a）所示；另一种用极性符号表示，如图1-5（b）所示。

在分析电路时，往往难以确定电压的实际方向，此时可先任意假设电压的参考方向，再根据计算所得电压值的正负来确定电压的实际方向。当计算出的电压为正值时，电压的实际方向与参考方向一致；当计算出的电压为负值时，电压的实际方向与参考方向相反。

对于电阻负载来说，没有电流就没有电压，有电压一定有电流。电阻两端的电压被称为电压降。

（2）电动势

电动势是衡量电源将非电量转换成电量本领的物理量。电动势的定义为：在电源内部，外力将单位正电荷从电源的负极移动到电源的正极所做的功。

一个电源（例如发电机、电池等）能够使电流持续不断地沿电路流动，就是因为它能使电路两端维持一定的电位差，这种使电路两端产生和维持电位差的能力就叫做电源的电动势。电动势常用符号E表示（直流电动势用大写字母E表示；交流电动势用小写字母e表示）。

电动势的单位与电压相同，也是伏特（V）。电动势的方向规定为：在电源内部由负极指向正极。直流电动势的两种图形符号如图1-6所示。

对于一个电源来说，既有电动势，又有端电压，电动势只存在于电源内部，而端电压则是电源加在外电路两端的电压，其方向由正极指向负极。一般情况下，电源的端电压总是低于电源内部的电动势，只有当电源开路时，电源的端电压才与电源的电动势相等。

1.1.5　电阻 

（1）电阻的定义

电流在导体中通过时所受到的阻力称为电阻。电阻是反映导体对电流起阻碍作用的大小的一个物理量。不但金属导体有电阻，其他物体也有电阻。

电阻常用字母R或r表示，其单位是欧姆，简称欧，用字母Ω表示。若导体两端所加的电压为1V，导体内通过的电流是1A，这段导体的电阻就是1Ω。

除欧姆外，常用的电阻单位还有千欧（kΩ）、兆欧（MΩ），它们之间的换算关系如下。

1kΩ=10³Ω

1MΩ=10³kΩ=10⁶Ω

（2）电阻定律

导体的电阻是客观存在的，它不随导体两端电压大小而变化。即使没有电压，导体仍然有电阻。试验证明，导体的电阻R与导体的长度l成正比，与导体的横截面积A成反比，并与导体的材料性质有关，即

上式称为电阻定律。式中的ρ是与导体材料性质有关的物理量，称为导体的电阻率或电阻系数。

电阻率ρ与导体的几何形状无关，而与导体材料的性质和导体所处的条件（如温度等）有关。电阻率ρ通常是指在20℃时，长1m，横截面积为1m²的某种材料的电阻值。当l、A、R的单位分别为m、m²、Ω时，电阻率ρ的单位是欧·米，用符号Ω·m表示。表1-1列出了常用材料在20℃时的电阻率。

（3）电阻与温度的关系

导体的电阻除了取决于导体的几何尺寸和材料性质外，还受温度的影响。不同的材料因温度变化而引起的电阻变化是不同的，同一导体在不同的温度下有不同的电阻，也就有不同的电阻率。表1-1列出的电阻率是温度为20℃时的值。

把温度升高1℃时电阻所产生的变动值与原电阻的比值称为电阻温度系数，用字母α表示，单位为℃^-1。

如果温度为t₁时，导体的电阻为R₁；温度为t₂时，导体的电阻为R₂，则电阻的温度系数α是

即

表1-1所列的电阻温度系数α是导体在某一温度范围内温度系数的平均值，并不是任何初始温度下，每升高1℃都有相同比例的电阻变化。

一般金属材料的电阻温度系数α的数值是很小的，但当导体的工作温度很高时，电阻的变化也很显著，不能忽视。表1-1中碳的电阻温度系数是负数，这表明，当温度升高时，碳的电阻反而减小。

1.1.6　欧姆定律

（1）部分电路欧姆定律

欧姆定律是用来说明电压、电流、电阻三者之间关系的定律，是电路分析的基本定律之一，实际应用非常广泛。

部分电路欧姆定律的内容是：在某一段不含电源的电路（又称部分电路）中，流过该段电路的电流与该电路两端的电压成正比，与这段电路的电阻成反比，如图1-7所示，其数学表达式为

式中　I——流过电路的电流，A；

　U——电路两端电压，V；

　R——电路中的电阻，Ω。

上式还可以改写成U=IR和 两种形式。这样就可以很方便地由已知的两个量求出另一个未知量。

从图1-7中还可以看出，电阻两端的电压方向是由高电位指向低电位的，并且电位是逐渐降低的。

（2）全电路欧姆定律

全电路是指含有电源的闭合电路，如图1-8所示。

由图1-8可以看出，全电路是由内电路和外电路组成的闭合电路的整体。图1-8中的虚线框代表一个实际电源的内部电路，称为内电路。电源内部一般都是有电阻的，这个电阻称为电源的内电阻（内阻），一般用字母r（或R₀）表示。为了看起来方便，通常在电路图中把内电阻r单独画出。事实上，内电阻r在电源内部，与电动势E是分不开的。因此，内电阻也可以不单独画出，而在电源符号的旁边注明内电阻的数值就行了。

全电路欧姆定律是用来说明当温度不变时，一个含有电源的闭合回路中电动势、电流、电阻之间的关系的基本定律。

全电路欧姆定律的内容是：在全电路中，电流与电源的电动势成正比，与整个电路的内、外电阻之和成反比，其数学表达式为

式中　E——电源的电动势，V；

　R——外电路（负载）的电阻，Ω；

　r——内电路（电源）的电阻，Ω；

　I——电路中的电流，A。

由上式得出

E=I（R+r）=IR+Ir

令IR=U，Ir=U_r，则

E=U+U_r　或U=E-U_r

式中　U_r——电源内阻r上的电压降，V；

　U——电源向外电路的输出电压，称为电源端电压，V。

1.1.7　电功与电功率

（1）电功

一个力作用在物体上，使物体在力的方向上产生运动，就认为这个力对物体做了功。在电路中，电荷受到电场力的作用，并沿着电场力的方向运动形成电流，说明电场力对电荷做了功，习惯上叫做电流做了功，称为电功。

电流做功总是伴随着能量的变化和转换，例如电流通过灯泡做功，要损耗电能，而这些损耗的电能却转换为光能和热能；又如电流通过电动机做功，把电能转换为机械能和热能；电流通过电炉丝做功，把电能转换为热能等。电功是电能变化的量度。在电路中，电功用字母W（或A）表示，其单位是焦耳，简称为焦，用字母J表示。

研究表明：电功的大小与通过用电器的电流大小及加在它们两端电压的高低和通电时间的长短成正比，其数学表达式为

W=UIt　或　W=I²Rt

式中　U——加在负载上的电压，V；

　I——流过负载的电流，A；

　R——负载电阻，Ω；

　t——时间，s；

　W——电功，J。

通过手电筒灯泡的电流，每秒钟做功大约是1J。通过普通电灯泡的电流，每秒钟做功一般是几十焦。通过洗衣机中电动机的电流每秒钟做功200J左右。

在实际应用中，焦耳这个单位显得过小，用起来不方便，故一般以千瓦·时（kW·h）作为电功的实用单位，1kW·h就是通常所说的1度电：

1kW·h=3.6×10⁶J

电功通常用电能表（俗称电度表）来测量。

（2）电功率

电功表示电场力做功的多少，但不能表示做功的快慢。把单位时间内电流所做的功称为电功率，用它来表示电场力做功的快慢。电功率用字母P表示，则

在上式中，若电功W的单位为J，时间t的单位为s，则电功率P的单位为J/s或W（称为瓦特，简称瓦）。在直流电路或纯电阻交流电路中，电功率等于电压和电流的乘积，当电压U的单位为V，电流I的单位为A时，则电功率P的单位为W。

在实际应用中，电功率的单位还有兆瓦（MW）、千瓦（kW）、毫瓦（mW），它们的换算关系如下。

1MW=10³kW

1kW=10³W

1W=10³mW

根据欧姆定律，电阻消耗的电功率还可以用下式表达。

上式表明，当电阻一定时，电阻上消耗的功率与其两端电压的平方成正比，或与通过电阻的电流的平方成正比。

1.1.8　电阻的串联与并联

（1）电阻的串联

①电阻的串联电路　将两个或两个以上的电阻器，一个接一个地依次连接起来，组成无分支的电路，使电流只有一条通道的连接方式叫电阻的串联。如图1-9（a）所示为由三个电阻构成的串联电路。

②串联电路的基本特点

a.串联电路中流过每个电阻的电流都相等，即

I=I₁=I₂=I₃=…=I_n

b.串联电路两端的总电压等于各电阻两端的电压（即各电阻上的电压降）之和，即

U=U₁+U₂+U₃+…+U_n

③串联电路的总电阻　在分析串联电路时，为了方便起见，常用一个电阻来表示几个串联电阻的总电阻，这个电阻称为串联电路的总电阻（又称等效电阻），如图1-9（b）所示。

用R代表串联电路的总电阻，I代表串联电路的电流，在图1-9中，总电阻应该等于总电压U除以电流I，即

也就是说，串联电路的总电阻等于各个电阻之和。同理，可以推导出

R=R₁+R₂+R₃+…+R_n

（2）电阻的并联

①电阻的并联电路　把两个或两个以上的电阻并列连接在两点之间，使每一个电阻两端都承受同一电压的连接方式叫做电阻的并联。图1-10（a）所示电路是由三个电阻构成的并联电路。

②并联电路的基本特点

a.并联电路中，各电阻（或各支路）两端的电压相等，并且等于电路两端的电压，即

U=U₁=U₂=U₃=…=U_n

b.并联电路中的总电流等于各电阻（或各支路）中的电流之和，即

I=I₁+I₂+I₃+…+I_n

③并联电路的总电阻　在分析并联电路时，为了方便起见，常用一个电阻来表示几个并联电阻的总电阻，这个电阻称为并联电路的总电阻（又称等效电阻），如图1-10（b）所示。

用R代表并联电路的总电阻，U代表并联电路各支路两端的电压，在图1-10中，根据欧姆定律可得

因为

I=I₁+I₂+I₃

即

所以

a.当只有两个电阻并联时，可得

上式中的“”是并联符号。

b.若并联的n个电阻值都是R₀，则

可见，并联电路的总电阻比任何一个并联电阻的阻值都小。

1.2　磁场与电磁感应

1.2.1　磁的基本知识

（1）磁场和磁力线

人们通过长期的探索和研究，发现当两个互不接触的磁体靠近时，它们之间之所以会发生相斥或相吸，是因为在磁体周围存在着一个作用力的空间，这一作用力的空间称为磁场。

磁体周围的磁场可以用磁力线（又称磁感应线）来形象描述，如图1-11所示。磁力线的方向就是磁场的方向，可用小磁针在各点测知。用磁力线来描述磁场时，磁力线具有以下特点。

①磁力线在磁体外部总是由N极指向S极，而在磁体内部则是由S极指向N极，磁力线出入磁体总是垂直的。

②磁力线上任意一点的切线方向就是该点的磁场方向，即小磁针N极的指向。

③磁力线的疏密程度反映了磁场的强弱。磁力线越密，表示磁场越强；磁力线越疏，表示磁场越弱。

④因为磁针的N极和S极总是成对出现，而且磁场中任何一点，小磁针只能受到一个磁场力的作用，所以磁力线是一些互不相交的闭合曲线。

⑤磁力线均匀分布而又相互平行的区域称为均匀磁场，如图1-12所示；反之则称为非均匀磁场。

（2）电流的磁场

磁铁并不是磁场的唯一来源。把一根导线平行放在磁针的上方，给导线通电，磁针就会发生偏转（见图1-13），当电流停止时，磁针又恢复原来位置。电流对磁针的这种作用说明了通电导线的周围存在着磁场，电与磁是有密切联系的。

法国科学家安培确定了通电导线周围的磁场方向，并用磁力线进行了描述。

①通电直导线周围的磁场　用一根长直导体垂直穿过水平玻璃板或硬纸板。在板上撒一些铁屑，使电流通过这个垂直导体，并用手指轻敲玻璃板，振动板上的铁屑，这时铁屑在电流磁场的作用下排成磁力线的形状，如图1-14（a）所示。再将小磁针放在玻璃板上，可以确定磁力线的方向。如果改变电流的方向，则磁力线的方向也随之改变。

通电直导线产生的磁力线方向与电流方向之间的关系可用右手螺旋定则来说明，如图1-14（b）所示。用右手握住通电直导线，并把拇指伸出，让拇指指向电流方向，则四指环绕的方向就是磁力线的方向。

②通电螺线管的磁场　如果把导线制成螺线管，通电后磁力线的分布情况如图1-15（a）所示。在螺线管内部的磁力线绝大部分是与管轴平行的，而在螺线管外面就逐渐变成散开的曲线。每一根磁力线都是穿过螺线管内部，再由外部绕回的闭合曲线。

将通电螺线管作为一个整体来看，管外的磁力线从一端发出，到另一端回进，其表现出来的磁性类似一个条形磁体，一端相当于N极，另一端相当于S极。如果改变电流的方向，它的N极、S极也随之改变。

通电螺线管产生的磁力线方向与电流方向之间的关系也可用右手螺旋定则来说明，如图1-15（b）所示。用右手握住螺线管，使弯曲的四指指着电流的方向，则伸直的拇指所指的方向就是螺线管内部磁力线的方向。也就是说，拇指所指的是螺线管的N极。

［例1-1］　在图1-16中标出电流产生的磁场方向或电源的正负极性。

解：根据右手螺旋定则可以判定图1-16中电流产生的磁场方向和电源的极性如图1-17所示。

1.2.2　磁场对载流导体的作用

（1）磁场对载流直导体的作用（电磁力定律）

在均匀磁场中悬挂一根直导体，并使导体垂直于磁力线。当导体中未通电流时，导体不会运动。如果接通直流电源，使导体中有电流通过，则通电直导体将受到磁场的作用力而向某一方向运动。若改变导体中电流的方向（或改变均匀磁场的磁极极性），则载流直导体将会向相反的方向运动。把载流导体在磁场中所受的作用力称为电磁力，用F表示。

①电磁力的大小　试验证明，电磁力F的大小与导体中电流的大小成正比，还与导体在磁场中的有效长度及载流导体所在位置的磁感应强度成正比，即

F=BIl　　　　　（1-1）

式中　B——均匀磁场的磁感应强度，T；

　I——导体中的电流，A；

　l——导体在磁场中的有效长度，m；

　F——导体受到的电磁力，N。

若载流直导体l的方向与磁感应强度B的方向成α角（如图1-18所示），则导体在与B垂直方向的投影l_L为导体的有效长度，即 l_L=lsinα，因此导体所受的电磁力为

F=BIlsinα　　　　　（1-2）

从式（1-2）中可以看出，当导体垂直于磁感应强度B的方向放置时，α=90°，sin90°=1，导体所受到的电磁力最大；导体平行于磁感应强度B的方向放置时，α=0°，sin0°=0，导体受到的电磁力最小，为零。

②电磁力的方向　载流直导体在磁场中的受力方向可以用左手定则来判定，如图1-19所示。将左手伸平，使拇指与其他四指垂直，将掌心对着磁场的北极（N极），即让磁力线从手心垂直穿过，使四指指向电流的方向，则拇指所指的方向就是导体所受电磁力的方向。

（2）磁场对通电线圈的作用

磁场对通电线圈也有作用力。如图1-20所示，将一个刚性（受力后不变形）的矩形载流线圈放入均匀磁场中，当线圈在磁场中处于不同位置时，磁场对线圈的作用力大小和方向也不同。

从图1-20中可以看出，线圈abcd可以看成是由ab、bc、cd、da四根导体所组成的。当线圈平面与磁力线平行时，可以根据电磁力定律判定各导体的受力情况。

在图1-20中，导体bc和导体da与磁力线平行，不受电磁力作用；而导体ab和导体cd与磁力线垂直，受电磁力作用，设导体长度ab=cd=l，线圈中的电流为I，均匀磁场的磁感应强度为B，则导体ab和导体cd所受电磁力的大小为F₁=F₂=BIl，且F₁向下，F₂向上。这两个力大小相等、方向相反、互相平行，这就构成了一个力偶矩（又称电磁转矩），使线圈以OO'为轴，沿顺时针方向偏转。

如果改变线圈中电流的方向（或改变磁场的方向），则线圈abcd将以OO'为轴，沿逆时针方向偏转。

在图1-20中，当线圈abcd沿顺时针（或逆时针）方向旋转90°时，电磁力F₁与F₂ 大小相等、方向相反，但是作用在同一条直线上，因此这两个力产生的电磁转矩为零，线圈静止不动。

综上所述，把通电的线圈放到磁场中，磁场将对通电线圈产生一个电磁转矩，使线圈绕转轴转动。常用的电工仪表，如电流表、电压表、万用表等指针的偏转，就是根据这一原理实现的。

［例1-2］　把25cm长的通电直导线放入均匀磁场中，导线中的电流I=2A，磁场的磁感应强度B=1.4T。求导线方向与磁场方向垂直时，导线所受的电磁力F。

解：因为　导线与磁力线垂直，导线长度l=25cm=0.25m

所以　F=BIl=1.4×2×0.25=0.7（N）

即：导线所受的电磁力F为0.7N。

1.2.3　电磁感应定律

（1）电磁感应现象

在磁场的基本知识中已经知道电流能产生磁场，这是电流的磁效应。那么，磁会不会也能产生电呢？自从丹麦物理学家奥斯特发现了电流的磁效应之后，世界上很多科学家都在寻找它的逆效应。英国科学家法拉第做了大量实验，终于在1831年发现了磁能够转换为电能的重要事实及其规律——电磁感应定律。

法拉第通过大量实验发现，当导体相对于磁场运动而切割磁力线，或者线圈中的磁通发生变化时，在导体或线圈中都会产生感应电动势。若导体或线圈构成闭合回路，则导体或线圈中将有电流流过。这种由磁感应产生的电动势称为感应电动势，由感应电动势产生的电流称为感应电流，其方向与感应电动势的方向相同。这种磁感应出电的现象称为电磁感应。

在此需说明的是：只有导体（或线圈）构成闭合回路时，导体（或线圈）中才会有感应电流的存在，而感应电动势的存在与导体（或线圈）是否构成闭合回路无关。

（2）直导体的感应电动势

将一根直导体放入均匀磁场内，当在外力作用下，导体做切割磁力线运动时，该导体中就会产生感应电动势。

①感应电动势的大小　如果直导体的运动方向是与磁力线垂直的，那么感应电动势的大小与该导体的有效长度l、该导体的运动速度v、磁感应强度B有关，即感应电动势的表达式为

e=Blv　　　　　（1-3）

式中　e——导体中的感应电动势，V；

　B——磁场的磁感应强度，T；

　l——导体切割磁力线的有效长度，m；

　v——导体切割磁力线的线速度，m/s。

如果直导体的运动方向不与磁力线垂直，而是成一角度α，如图1-21所示，则此时感应电动势的大小为

e=Blvsinα　　　　　（1-4）

②感应电动势的方向　直导体中感应电动势的方向可以用右手定则来判定，如图1-22所示。将右手伸平，使拇指与其他四指垂直，将掌心对着磁场的北极（N极），即让磁力线从手心垂直穿过，使拇指指向导体运动的方向，那么，四指的指向就是导体内感应电动势的方向。

（3）线圈中的感应电动势

设有一个匝数为N的线圈放在磁场中，不论什么原因，例如线圈本身的移动或转动、磁场本身发生变化等，造成了和线圈交链的磁通Φ 随时间发生变化，线圈内都会感应电动势。

如图1-23所示，匝数为N的线圈交链着磁通Φ，当Φ变化时，线圈AX两端将产生感应电动势e。

①感应电动势的大小　线圈中感应电动势e的大小与线圈匝数N及通过该线圈的磁通变化率（即变化快慢）成正比。这一定律就称为电磁感应定律。

设时间内通过线圈的磁通为，则线圈中产生的感应电动势为：

　　　　　（1-5）

式中　e——在时间内产生的感应电动势，V；

　N——线圈的匝数；

　——线圈中磁通变化量，Wb；

　——磁通变化所需要的时间，s。

式（1-5）表明，线圈中感应电动势的大小取决于线圈中磁通的变化速度，而与线圈中磁通本身的大小无关。越大，则e越大。当时，即使线圈中的磁通Φ再大，也不会产生感应电动势e。

②感应电动势的方向　线圈中感应电动势的方向可由楞次定律确定。楞次定律指出，如果在感应电动势的作用下，线圈中流过感应电流，则该感应电流产生的磁通起着阻止原来磁通变化的作用。

如果把感应电动势e的参考向与磁通Φ的参考向规定为符合右手螺旋关系，如图1-23（c）所示，则感应电动势可用下式表示。

　　　　　（1-6）

当磁通增加时，为正值，而由式（1-6）可知，e为负值，即e的实际方向与图1-23（c）中所标注的参考向相反，因此，图1-23（c）中线圈内的感应电流应从X端流向A端，其产生的磁通将阻止原磁通的增加。而当磁通减少时，为负值，而由式（1-6）可知，e为正值，即e的实际方向与图1-23（c）中所标注的参考向相同，因此图1-23（c）中线圈内的感应电流应从A端流向X端，其产生的磁通将阻止原磁通减少。

［例1-3］　已知均匀磁场的磁感应强度B=4T，直导体的有效长度l=0.15m，导体在垂直于磁力线方向上的运动速度v=3m/s，试求该导体中产生的感应电动势的大小。

解：

e=Blv=4×0.15×3=1.8（V）

［例1-4］　有一个线圈，匝数N=100，将一根条形磁铁插入线圈，使线圈中的磁通在0.5s的时间内由Φ₁=0.015Wb增加到Φ₁=0.030Wb，试求线圈中的感应电动势。

解：

1.3　交流电路

1.3.1　正弦交流电的基本物理量

正弦交流电动势瞬时值的函数表达式为

　　　　　（1-7）

下面以正弦交流电动势为例来讨论表征正弦交流电的物理量。式（1-7）中的三个常数E_m、ω和φ，分别称为正弦波的振幅、角频率和初相位。这三个参数一经确定，正弦电量就唯一确定了，因此这三个参数称为正弦交流电的三要素。

（1）瞬时值、最大值

① 瞬时值　正弦交流电在变化过程中，某一时刻所对应的交流量的数值称为在这一时刻交流电的瞬时值。电动势、电压和电流的瞬时值分别用小写字母e、u和i表示，例如，在图1-24中，e在t₁时刻的瞬时值为e₁ 。 

② 最大值　正弦交流电变化一个周期中出现的最大瞬时值称为交流电的最大值（也称为振幅、幅值或峰值）。电动势、电压和电流的最大值分别用E_m、U_m和I_m 表示。在波形图中，曲线的最高点对应的值即为最大值，例如，在图1-24中，e的最大值为E_m。

（2）周期、频率、角频率

① 周期　正弦交流电完成一次周期性变化所需的时间称为交流电的周期，用字母T表示。周期的单位为秒（s）。常用单位还有毫秒（ms）、微秒（μs）、纳秒（ns）。在图1-25中，在横坐标轴上，由O到a或由b到c的这段时间就是一个周期。

② 频率　正弦交流电在单位时间（1s）内完成周期性变化的次数称为交流电的频率，用字母f表示。频率的单位是赫兹（简称赫），用符号Hz表示。

一般50Hz、60Hz的交流电称为工频交流电。

根据定义，周期和频率互为倒数，即

　或　　　　　　（1-8）

频率和周期都是反映交流电变化快慢的物理量，周期越短（频率越高），那么交流电就变化得越快。

③ 角频率　交流电变化得快慢除了用周期和频率表示外，还可以用角频率表示。通常交流电变化一周也可用2π弧度或360°来计量。正弦交流电单位时间（1s）内所变化的弧度数（指电角度）称为交流电的角频率，用字母ω表示。角频率的单位是弧度/秒，用符号rad/s表示。

交流电在一个周期中变化的电角度是2π弧度。因此，角频率、频率和周期的关系为

　　　　　（1-9）

在我国供电系统中，交流电的频率f=50Hz，周期T=0.02s，角频率ω=2πf=314rad/s。

（3）相位、初相位、相位差

① 相位　由式e=E_msin（ωt+φ）可知，电动势的瞬时值e是由振幅E_m和正弦函数sin（ωt+φ）共同决定的。也就是说，交流电瞬时值何时为零，何时最大，不是简单由时间t来确定的，而是由ωt+φ来确定的。把t时刻线圈平面与中性面的夹角ωt+φ称为该正弦交流电的相位或相角。

相位对于确定交流电的大小和方向起着重要作用。

② 初相位　交流电动势在开始时刻（常确定为t=0）所具有的电角度称为初相位（或初相角），简称初相，用字母φ表示。初相位是t=0时的相位，它反映了正弦交流电起始时刻的状态。

交流电的初相位可以为正，也可以为负或零。初相位一般用弧度表示，也可用电角度表示，通常用不大于180°的电角度来表示，例如图1-26中，e₁的初相位φ₁=60°；e₂的初相位φ₂=-75°。

③ 相位差　两个同频率交流电的相位（或初相位）之差称为相位差，如

e₁=E_m1sin（ωt+φ₁）

e₂=E_m2sin（ωt+φ₂）

以上两个交流电动势的相位差为

φ₁₂=ωt+φ₁-（ωt+φ₂）=φ₁-φ₂

应该注意的是：初相位的大小与时间起点的选择（计时时刻）密切相关，而相位差与时间起点的选择无关。如果交流电的频率相同，则相位差是恒定的，不随时间而改变。

根据两个同频率交流电的相位差可以确定两个交流电的相位关系。若φ₁₂=φ₁-φ₂>0，则称e₁超前于e₂，或称e₂滞后于e₁，如图1-26所示，e₁超前e₂ 135°，或e₂滞后e₁ 135°；若φ₁₂=0°，表示e₁与e₂的相位相同，称为同相，如图1-27所示；若φ₁₂=180°，表示e₁与e₂的相位相反，称为反相，如图1-28所示；若φ₁₂=±90°，称e₁与e₂相位正交。

（4）有效值、平均值

①有效值　正弦交流电的瞬时值是随时间变化的，在工程实际中，往往不需要知道它某一时刻的大小，只要知道它在电功率等方面能反映效果的数值即可。通常用与热效应相等的直流电来表示交流电的大小，称为交流电的有效值。也就是说，交流电的有效值是根据电流的热效应来规定的，在单位时间内，让一个交流电流和一个直流电流分别通过阻值相同的两个电阻，若两个电阻产生的热量相等，那么就把这一直流电的数值称为这一交流电的有效值。交流电动势、交流电压和交流电流的有效值分别用大写字母E、U 和I表示。

可以证明，正弦交流电有效值与最大值之间的关系如下。

　或　

　或　

　或　

通常所说的交流电的电动势、电压、电流的值，凡没有特别说明的，都是指有效值，例如，照明电路的电源电压为220V，动力电路的电源电压为380V等，都是指有效值。用交流电压表和交流电流表测得的数值都是有效值；交流电气设备的名牌所标的电压、电流的数值也都是指有效值。

②平均值　正弦交流电的波形是对称于横轴的，在一个周期内的平均值恒等于零。所以，在通常情况下，所说的正弦交流电的平均值是指半个周期内的平均值。交流电动势、电压和电流的平均值用字母E_av、U_av 和I_av表示。根据分析、计算，正弦交流电在半个周期内的平均值与正弦交流电最大值的关系如下。

E_av=0.637E_m

U_av=0.637U_m

I_av=0.637I_m

1.3.2　正弦交流电的表示法

（1）解析式表示法

用三角函数式来表示正弦交流电与时间之间的变化关系的方法称为解析式表示法，简称解析法。正弦交流电的电动势、电压和电流的瞬时值表达式就是正弦交流电的解析式，即

e=E_msin（ωt+φ_e）

u=U_msin（ωt+φ_u）

i=I_msin（ωt+φ_i）

如果知道了交流电的有效值（或最大值）、频率（或周期）和初相位，就可以写出它的解析式，便可计算出交流电任意瞬间的瞬时值。

（2）波形图表示法

正弦交流电还可用与解析式相对应的波形图，即正弦曲线来表示，如图1-29所示。图中的横坐标表示时间t或角度ωt，纵坐标表示交流电的瞬时值。从波形图中可以看出交流电的最大值、周期和初相位。

有时为了比较几个正弦量的相位关系，也可以把它们的曲线画在同一坐标系内。图1-30画出了交流电压u和交流电流i的曲线，但由于它们的单位不同，故纵坐标上电压、电流可分别按照不同的比例来表示。

（3）相量图表示法

正弦交流电也可以采用相量图表示法。所谓相量图表示法，就是用一个在直角坐标系中绕原点旋转的矢量来表示正弦交流电的方法。现以正弦电动势e=E_msin（ωt+φ）为例说明如下。

如图1-31所示，在直角坐标系内，作一矢量OA，并使其长度等于正弦交流电电动势的最大值E_m，使矢量与横轴Ox的夹角等于正弦交流电动势的初相位φ，令矢量以正弦交流电动势的角频率ω为角速度，绕原点按逆时针方向旋转，如图1-31（a）所示。这样，旋转矢量在任一瞬间与横轴Ox的夹角即为正弦交流电动势的相位ωt+φ，旋转矢量任一瞬间在纵轴Oy上的投影就是对应瞬时的正弦交流电动势的瞬时值，例如，当t=0时，旋转矢量在纵轴上的投影为e₀，相当于图1-31（b）中电动势波形的a点；当t=t₁时，旋转矢量与横轴的夹角为ωt₁+φ，此时旋转矢量在纵轴上的投影为e₁，相当于图1-31（b）中电动势波形的b点。如果旋转矢量继续旋转下去，就可得出正弦交流电动势的波形图。

从以上分析可以看出，一个正弦量可以用一个旋转矢量来表示。但实际上交流电本身不是矢量，因为它们是时间的正弦函数，所以能用旋转矢量的形式来描述它们。为了与一般的空间矢量（如力、电场强度等）相区别，把表示正弦交流电的这一矢量称为相量，并用大写字母加黑点的符号来表示，如、和分别表示电动势相量、电压相量和电流相量。

实际应用中也常采用有效值相量图，这样，相量图中每一个相量的长度不再是最大值，而是有效值，这种相量称为有效值相量，用符号、、表示，而原来最大值的相量称为最大值相量。

把同频率的正弦交流电画在同一相量图上时，由于它们的角频率都相同，所以不管其旋转到什么位置，彼此之间的相位关系始终保持不变。因此，在研究同频率的相量之间的关系时，一般只按初相位作出相量，而不必标出角频率，如图1-32所示。

用相量图表示正弦交流电后，在计算几个同频率交流电之和（或差）时，就可以按平行四边形法则进行，比解析式和波形图要简单得多，而且比较直观，故它是研究交流电的重要工具之一。

1.3.3　三相交流电的产生及表示方法

（1）三相正弦交流电动势的产生

三相正弦交流电动势一般是由三相同步发电机产生的，其工作原理如图1-33所示。

三相同步发电机的转子是一对磁极，定子铁芯槽内分别嵌有U、V、W三相定子绕组，U₁、V₁、W₁分别为三相绕组的首端，U₂、V₂、W₂分别为三相绕组的末端，三相绕组匝数相等，结构相同，沿定子铁芯的内圆彼此相隔120°电角度放置（注意： U、V、W三相分别对应于A、B、C三相；其中U₁、V₁、W₁分别对应于三相绕组的首端A、B、C；U₂、V₂、W₂分别对应于三相绕组的末端X、Y、Z）。

发电机的转子由原动机带动旋转，当直流电经电刷、集电环通入励磁绕组后，转子就会产生磁场。由于转子是在不停旋转着的，所以这个磁场就成为了一个旋转磁场，它与静止的定子绕组间形成相对运动，于是在定子绕组中就会感应出交流电动势来。由于设计和制造发电机时，有意使转子磁极产生的磁感应强度的大小沿圆周按正弦规律分布，所以，定子绕组中产生的感应电动势也随着时间按正弦规律变化。

转子磁极的轴线处磁感应强度最高（磁力线最密），所以，当某相定子绕组的导体正对着磁极的轴线时，该相绕组中的感应电动势就达到了最大值。由于三相绕组在空间互隔120°电角度，所以三相绕组的感应电动势不能同时达到最大值，而是按照转子的旋转方向，即按图1-33中的箭头n所示的方向，先是U相达到最大值，然后是V相达到最大值，最后是W相达到最大值，如此循环下去。这三相电动势的相位互差120°，它们随时间变化的规律如图1-34（a）所示。这种最大值相等、频率相同、相位互差120° 的三个正弦电动势称为对称三相电动势。

（2）三相正弦交流电动势的表示方法

若以U相绕组中的感应电动势为参考正弦量，则三相电动势的瞬时值表达式为

e_U=E_msinωt　　　　　（1-10）

对称三相电动势的波形图和相量图如图1-34所示。

（3）相序

三相电动势中，各相电动势出现某一值（例如正最大值）的先后次序称为三相电动势的相序。在图1-34中，三相电动势达到正最大值的顺序为e_U、e_V、e_W，其相序为U-V-W-U，称为正序或顺序；若最大值出现的顺序为U-W-V-U，恰好与正序相反，则称为负序或逆序。工程上通用的相序是正序。

1.3.4　三相交流电路

（1）三相电源的连接

三相电源的三相绕组一般都按两种方式连接起来向负载供电，一种方式是星形（Y）连接，另一种方式是三角形连接。

①三相电源的星形连接　三相电源的星形连接如图1-35（a）所示。

将三相发电机中三相绕组的末端U₂、V₂、W₂连在一起，首端U₁、V₁、W₁ 引出作输电线，这种连接称为星形连接，用Y表示。从三相绕组的首端U₁、V₁、W₁ 引出的三根导线称为相线或端线，俗称火线；三相绕组的末端U₂、V₂、W₂连接在一起，称为电源的中性点，简称中点，用N表示。从中性点引出的导线称为中性线，简称中线。低压供电系统的中性点是直接接地的，故把接大地的中性点称为零点，而把接地的中性线称为零线。

在图1-35（a）中，任一根相线与零线之间的电压称为相电压，用U_φ 表示，三相的相电压分别记为、、；三根相线中，任意两根相线之间的电压称为线电压，用U_L表示，三相之间的线电压分别记作、、。从图1-35（a）中各电压的参考方向可得线电压与相电压的关系为

　　　　　（1-11）

相电压和线电压的相量图如图1-36所示。作相量图时，可以先作出相量、、， 然后根据式（1-11）分别作出相量、、。由图1-36可见，三相线电压也是对称的，在相位上比相应的相电压超前30° 。

至于线电压与相电压的数量关系，可由图1-36中的等腰三角形得出，即

　　　　　（1-12）

由此得出对称三相电源星形连接时线电压U_L与相电压U_φ的数量关系为

　　　　　（1-13）

三相电源星形连接时，无中性线引出，仅有三根相线向负载供电的方式称为三相三线制供电；有中性线引出，共有四根线向负载供电的方式称为三相四线制供电，这种供电方式可向负载提供两种电压，即相电压和线电压。

②三相电源的三角形连接　将三相发电机中三相绕组的各末端与相邻绕组的首端依次相连，即U₂与V₁、 V₂与W₁与U₁ 相连，如图1-35（b）所示，使三个绕组构成一个闭合的三角形回路，这种连接方式称为三角形连接，用△表示。

由图1-35（b）可以明显看出，三相电源作三角形连接时，线电压就是相电压，即

U_L=U_φ　　　　　（1-14）

因为三角形连接不存在中性点，不能引出中性线，所以这种连接方法只能引出三根相线向负载供电，故只能向负载提供一种电压。

若三相电动势为对称三相正弦电动势，则三角形闭合回路的总电动势等于零，即

这时三相发电机的绕组内部不存在环流。但是，若三相电动势不对称，则闭合回路的总电动势就不为零，此时，即使外部没有接负载，由于各相绕组本身的阻抗均较小，闭合回路内将会产生很大的环流，这将使绕组过热，甚至烧毁。因此，三相发电机的绕组一般不采用三角形连接。三相变压器的绕组有时采用三角形连接，但要求连接前必须检查三相绕组的对称性及接线顺序。

（2）三相负载的连接

三相负载是指同时需要三相电源供电的负载，三相负载实际上也是由三个单相负载组合而成的。通常把各相负载相同（即阻抗大小相同，阻抗角也相同）的三相负载称为对称三相负载，如三相异步电动机、三相电炉等。如果各相负载不同，就称为不对称三相负载，如由三个单相照明电路组成的三相负载。

在一个三相电路中，如果三相电源和三相负载都是对称的，则称为对称三相电路，反之称为不对称三相电路。本章重点讨论对称三相电路。

三相负载也有两种连接方式，即星形连接（Y）和三角形连接，现分述如下。

①三相负载的星形连接　将三相负载分别接在三相电源的相线和中性线之间的接法称为三相负载的星形连接（常用Y标记），如图1-37所示，图中，Z_U、Z_V、Z_W 为各相负载的阻抗，N'为负载的中性点。

在三相电路中，每相负载两端的电压称为负载的相电压，用符号U_φ（或U_ph）表示；流过每相负载的电流称为负载的相电流，用符号I_φ（或I_ph）表示；相线与相线之间的电压称为线电压，用符号U_L表示；流过相线的电流称为线电流，用符号I_L表示。

三相负载为星形连接时，设各物理量的参考方向如图1-37所示，即负载相电压的参考方向规定为自相线指向负载的中性点N'，分别用、、表示；相电流的参考方向与相电压的参考方向一致；线电流的参考方向为从电源端指向负载端；中性线电流的参考方向规定为由负载中性点N'指向电源中性点N。

由图1-37可知，在忽略输电线上的电压降时，负载的相电压就等于电源的相电压，三相负载的线电压就是电源的线电压。因此，三相负载星形连接时，负载的相电压U_φ与负载的线电压U_L的关系仍然是

线电压的相位仍超前对应的相电压30°，其相量图与图1-36一样。

三相星形负载接上三相电源后，就有电流产生。由图1-37可见，线电流的大小等于相电流，即

I_L=I_φ

三相电路的每一相就是一个单相电路，所以各相电流与相电压的数量关系和相位关系都可以用单相电路的方法来讨论。

若三相负载对称，则各相负载的阻抗相等，即Z_U=Z_V=Z_W=Z_φ，因各相电压对称，所以各负载中的相电流大小相等，即

而且，各相电流与各相电压的相位差也相等，即

式中　R_φ——各相负载的电阻。

因为三个相电压、、的相位差互为120°，所以三个相电流、、的相位差也互为120°，如图1-38所示。从相量图上很容易得出：三相电流的相量和为零，即

或

i_U+i_V+i_W=0

根据基尔霍夫第一定律，由图1-37可得

即中性线电流为零。

由于三相对称负载星形连接时，其中性线电流为零，因而取消中性线也不会影响三相电路的正常工作，三相四线制实际变成了三相三线制，各相负载的相电压仍为对称的电源相电压。

当三相负载不对称时，各相电流的大小就不相等，相位差也不一定是120°，因此，中性线电流就不为零，此时中性线绝不能取消。因为当有中性线存在时，它能平衡各相电压，保证三相成为三个互不影响的独立回路，此时各相负载电压等于电源的相电压。如果中性线断开，各相负载的相电压就不再等于电源的相电压了。这时，阻抗较小的负载的相电压可能低于其额定电压，而阻抗较大的负载的相电压可能高于其额定电压，这将使负载不能正常工作，甚至会造成严重事故。所以，在三相负载不对称的三相四线制中，规定不允许在中性线上安装熔断器或开关。另一方面，在连接三相负载时应尽量使其平衡，以减小中性线电流，例如在三相照明电路中，应尽量将照明负载平均分接在三相上，而不要集中在某一相或两相上。

②三相负载的三角形连接　把三相负载分别接在三相电源的两根相线之间的接法称为三相负载的三角形连接（常用标记），如图1-39（a）所示。这时不论负载是否对称，各相负载所承受的电压均为对称的电源线电压。

三相负载三角形连接时，负载的线电压U_L 等于负载的相电压U_φ，即

U_L=U_φ

三角形连接的负载接通三相电源后，就会产生线电流和相电流，从图1-39（a）中可以看出，其相电流与线电流是不一样的。这种三相电路的每一相，同样可以按照单相交流电路的方法来计算相电流I_φ。若三相负载是对称的，各相负载的阻抗为Z_φ，则各相电流的大小相等，即

同时，各相电流与各相电压的相位差也相同，即

式中　R_φ——各相负载的电阻。

因为三个相电压的相位差互为120°，所以三个相电流的相位差也互为120°。

根据图1-39（a）所示的各电流的参考方向，由基尔霍夫第一定律可知，线电流为

由此可作出线电流和相电流的相量图，如图1-39（b）所示。从图中可以看出：各线电流在相位上比各自相应的相电流滞后30°。又因为相电流是对称的，所以线电流也是对称的，即各线电流之间的相位差也互为120°。

由图1-39（b）所示的电流相量图可以明显看出

由此得出对称三相负载三角形连接时，线电流I_L与相电流I_φ的数量关系为

综上所述，三相负载既可以星形连接，也可以三角形连接。具体如何连接，应根据负载的额定电压和三相电源的额定线电压而定，务必使每相负载所承受的电压等于额定电压。例如，对线电压为380V的三相电源来说，当每相负载的额电电压为220V时，三相负载应作星形连接；当每相负载的额电电压为380V时，三相负载应作三角形连接。

（3）三相电路的功率

①三相电路功率的一般计算　在三相交流电路中，三相负载的有功功率P等于各相负载有功功率之和；三相负载的无功功率Q等于各相负载无功功率之和，即

P=P_U+P_V+P_W

　=U_U I_Ucosφ_U+U_V I_Vcosφ_V+U_W I_Wcosφ_W

Q=Q_U+Q_V+Q_W

　=U_UI_Usinφ_U+U_V I_Vsinφ_V+U_W I_Wsinφ_W

式中，U_U、U_V、U_W分别为各相负载相电压的有效值；I_U、I_V、I_W分别为各相负载相电流的有效值；φ_U、φ_V、φ_W分别为各相相电压比相电流超前的相位差；cosφ_U、cosφ_V、cosφ_W分别为各相负载的功率因数。

三相负载的总视在功率S一般不等于各相视在功率之和，通常用下式计算，即

三相电路的功率因数则为

②对称三相电路的功率　因为在对称三相电路中，各相相电压、相电流的有效值以及功率因数角均相等，即有

U_U=U_V=U_W=U_φ

I_U=I_V=I_W=I_φ

φ_U=φ_V=φ_W=φ

所以，对称三相电路总的有功功率P、无功功率Q、视在功率S、功率因数cosφ分别为

P=3U_φI_φcosφ

Q=3U_φI_φsinφ

S=3U_φI_φ

即对称三相电路的功率等于每相功率的三倍，而功率因数即为每相的功率因数。

若三相电路的线电压U_L、线电流I_L为已知，当三相负载为星形连接时，有

当三相负载为三角形连接时，有

所以，不论三相负载是星形连接还是三角形连接，均有

因此，对称三相电路的有功功率、无功功率、视在功率还可用线电压、线电流表示为

　　　　　（1-15）

要注意式（1-15）中的φ 仍是相电压与相电流之间的相位差，即相电压超前相电流的角度，也是每相负载的阻抗角，并非线电压与线电流之间的相位差。由于线电压、线电流比相电压、相电流容易测量，所以，式（1-15）更具有实用意义。