1.8　轴的计算机辅助设计与分析

1.8.1　轴的计算机辅助设计

针对轴的计算机辅助设计与分析，在设计中需要用到二维或三维图形软件；在强度、刚度校核以及临界转速的计算中需要用到有限元分析软件；在从三维造型到有限元分析软件的数据交换中则要使用标准数据接口模块等。

使用AutoCAD软件设计绘制的轴的二维工程图如图6-1-10所示。本节重点介绍轴的三维设计。

一般来说，零件设计首先是零件形状体的设计，零件三维设计常采用基于特征的技术，它主要是通过形状特征的定义和组合实现，轴类零件也是一样。

（1） 通用三维CAD系统的基本形状特征功能

当前的商业三维CAD系统，从构建各种形体的通用要求出发，一般都提供表6-1-23所列基本类型形状特征的定义和调用功能。

（2） 轴类零件三维CAD建模过程

以图6-1-10所示的减速器输出轴为例，说明轴的三维CAD模型的建立过程。

图6-1-10所示的轴是一阶梯轴，轴上有两个键槽以及若干圆角与倒角。阶梯轴可以看成是连接在一起的多个直径不等的圆柱体的组合。因此，可以选择其中一段圆柱体作为基特征，该基特征通过圆形横截面的草图拉伸构建。在此基础上，经各级的拉伸获得其他圆柱体构成阶梯轴。其他的形体构成，如键槽、圆角、倒角等，可通过附加特征生成。

另外，阶梯轴也可以通过具有阶梯形状的矩形截面旋转构建而成，整个阶梯轴作为基特征，在此基础上生成键槽、圆角、倒角等附加特征。其具体过程如下。

1） 采用草图特征创建基本特征

① 选取基准，勾画截面轮廓。在零件建模环境中，选取前视基准面作为草图轮廓的生成平面，在其上绘制二维草图，可不按比例绘制，因为尺寸可在其后调整。

② 定义轮廓组成约束及尺寸。定义二维草图轮廓的几何约束，如平行、垂直、等长、共线等。

添加驱动尺寸。在满足约束的情况下，调整二维轮廓的驱动尺寸，即可确定草图的几何形状。在欠约束或过约束的情况下，系统将给出提示。

③ 旋转草图截面，即可生成草图特征。

2）生成键槽特征

① 创建轴端键槽的基准面。创建一平面平行于前视基准面，并与轴端外圆相切，作为轴端键槽草图平面。

② 生成轴端键槽的拉伸截面。在轴端键槽的基准面上勾画键槽截面轮廓，定义轮廓约束及尺寸。

③ 选取拉伸方向，给定拉伸高度，即可生成轴端键槽。

④ 采用以上同样方法，生成中间键槽特征。

3）生成圆角及倒角特征。选取需要倒圆角的轴肩，定义圆弧半径生成圆角特征；选取轴端的倒角边，

定义倒角的角度及尺寸，生成倒角特征。

图6-1-11就是对应于图6-1-10所示轴的三维CAD模型。这个三维CAD模型一方面具备了所设计轴的所有几何特征，同时也可作为轴的各类计算机辅助分析的原始模型。

1.8.2　轴的强度校核的有限元计算

有限元法的基本思路是通过连续体离散化的方法，用有限个通过节点相互连接的简单单元来表示复杂的对象，然后根据变形协调条件综合求解。它的具体做法是，先将物体离散化成许多小单元，用节点未知量通过插值函数近似地表征单元内部的各种物理量，并使它们在单元内部以积分的形式满足问题的控制方程，从而将每个单元对整体的影响和贡献转化到各自单元的节点上。将这些单元总装成一个整体，并使它们满足整个求解区域的边界条件和连续条件，得到一组有关节点未知量的联立方程。方程解出后，再用插值函数和有关公式，求得物体内部各节点所要求的各种物理量。

在有限元分析实际应用中，大量的工作是数据准备和整理计算结果。目前，许多软件都提供前后处理程序，自动生成有限元模型数据，自动处理分析结果数据并赋予图形显示。因此，利用有限元求解的过程就是正确使用有限元软件的过程。

（1）建立有限元模型的一般过程

建立有限元模型的一般过程见表6-1-24。

（2）轴强度的校核过程

针对上述三维CAD软件所设计的轴，给出有限元强度校核过程。

1）问题分析与模型修改　对轴进行有限元分析，首先要分析轴的受载情况。该轴为减速器的输出轴，轴所受的载荷从轴上的齿轮传递而来，如图6-1-8所示。如果在有限元中仅对轴计算，则需要将齿轮上的载荷移植到轴上。此时，轴上除了集中力系（切向力F_t、径向力F_r、轴向力F_a）外，还会有由此产生的转矩和弯矩。但是在很多有限元软件中，难以直接施加转矩和弯矩载荷。考虑到加载的方便，同时为了后期计算带齿轮轴的临界转速，给轴配合上一直径与齿轮分度圆直径相同的圆盘，然后在分度圆表面一母线上加载。这样做可使得在模型简化的情况下，最大限度地模拟齿轮与轴的受载情况。根据圣维南原理，虽然齿轮部分的计算结果与原始结构有一定差别，但是轴的计算结果不会受到影响。

2） 导入轴的实体模型　为了建立有限元分析模型，需将由三维造型软件建立的轴的实体模型导入有限元分析软件中。这时，通常可在三维造型软件中，将轴的实体模型存储为“IGES”（^*.igs）格式或“Parasolid”（^*.x_t）格式的模型文件，然后在有限元分析软件中将模型文件导入。将轴以及带圆盘轴的实体模型导入有限元分析软件后的模型如图6-1-12所示。

3）划分有限元网格　虽然轴类零件可以简化成杆、梁单元进行计算，但是考虑到更精确地反映轴肩过渡圆角应力分布以及轴体内的应力分布，最常用的是直接对轴的三维实体进行有限元计算。对于三维实体来说，可以通过三维体单元离散来描述。常用的体单元有：四节点四面体单元、八节点六面体单元以及二十节点曲面六面体单元等。考虑到计算规模及精度要求，轴的有限元网格划分只需用到简单的四节点四面体单元或八节点六面体单元。

划分网格前需给定轴材料系数。例如，弹性模量E =210GPa，泊松比μ=0.3等。

在划分网格的时候还需预计到轴的应力分布，比如轴肩圆角处或许有应力集中，则圆角处的网格需要更密化一些。划分的有限元网格如图6-1-13所示。

4）给定边界条件　边界条件包括载荷边界条件和位移边界条件。施加边界条件前，应设定合适的坐标系。对于轴类零件，采用柱坐标系为宜。将载荷（切向力F_t =5002N、径向力F_r =1839N、轴向力F_a =713N）施加在圆盘外圆柱表面的一条母线上。位移边界条件的设定则需要考虑轴的结构与装配方案，如图6-1-14所示。轴在联轴器配合部位以及两个轴承的配合部位受到约束，在与轴承配合的表面上施加径向约束，在与联轴器配合的表面上施加径向与周向约束，轴肩端面施加轴向约束。

5）有限元计算　选择有限元软件中的静力分析模块，并进行有限元计算。

6）有限元后处理及强度校核

① 轴的静强度校核。单独取出轴的有限元模型，显示其Von misses应力（按第四强度理论的合成应力）分布云图，如图6-1-15所示。通常，Von misses应力可以作为静强度校核的依据。从图6-1-15中可以看出，轴的薄弱环节在截面Ⅱ处与截面Ⅳ处。最大的Von misses应力在截面Ⅱ处，其值为207MPa。若轴的材料为45钢，调质处理，由表6-1-1查得σ_s=355MPa，满足静强度条件。

② 轴的疲劳强度校核。为了按弯扭合成进行轴的疲劳强度校核，应分别取出危险截面Ⅱ处和Ⅳ处的扭转切应力与弯曲应力，在计算出弯扭合成应力后进行轴的疲劳强度校核。运用有限元软件的后处理模块得到的整个轴段的扭转切应力与弯曲应力云图分别如图6-1-16、图6-1-17所示。由图可知，截面Ⅱ处的扭转剪切应力较大，截面Ⅳ处的弯曲应力较大。

运用有限元软件中的后处理模块，可取出危险截面的最大应力。截面Ⅱ上最大切应力与最大弯曲应力分别为：τ=72.4MPa，σ=3MPa；截面Ⅳ上最大切应力与最大弯曲应力分别为：τ=33.3MPa，σ=13.4MPa。

为了将脉动循环的扭转剪切应力与对称循环的弯曲应力合成，需用式（6-1-5）计算弯扭合成应力。

对于截面Ⅱ：

对于截面Ⅳ：

若轴的材料为45钢，调质处理，由表6-1-1查得［σ_-1］=60MPa。对于截面Ⅱ ，σ_caⅡ>［σ_-1］，不满足强度条件，其主要原因是此处的扭转剪切应力较大；而对于截面Ⅳ，σ_caⅣ<［σ_-1］，满足强度条件。

需要特别说明的是，运用有限元方法计算得到的结构应力已经包含了应力集中效应，但是无法计入绝对尺寸、表面质量以及强化措施等对疲劳极限的影响。因此，上述对轴的疲劳强度的校核还是不够完善的。

1.8.3　轴的刚度校核的有限元计算

在上述有限元静力分析中，除了计算出应力分布外，还计算出了轴的变形。因此可在上述计算结果中直接进入后处理模块提取轴的变形量。

（1）轴的弯曲刚度校核

取出轴的有限元模型，显示其径向变形云图，如图6-1-18所示。图中所示最大弯曲变形区在齿轮的配合轴段上，轴的最大挠度值为0.0015mm。作为简支梁的轴的支撑跨距l=L₂+L₃=71mm+141mm=212mm。查表6-1-18可知，允许挠度为（0.0003～0.0005）l=0.0636～0.106mm。因此，该轴满足弯曲刚度要求。

（2）轴的扭转刚度校核

取出轴的有限元模型，显示其扭转变形云图，如图6-1-19所示。图中所示最大扭转变形区在对齿轮定位的轴环上。取出截面Ⅴ的最大切向位移值为0.041mm，根据轴环的直径可换算出截面Ⅴ的最大扭转角为0.001rad=0.057°。轴的扭转变形用每米长的扭转角φ来表示，由于Ⅱ-Ⅴ轴段长为190mm，因此φ=0.3°/m。对于一般传动轴，许用扭转角［φ］=0.5°～1°/m。因此φ<［φ］，满足扭转刚度要求。

1.8.4　轴临界转速的有限元计算

轴在引起共振时的转速称为临界转速，所以计算临界转速也就是计算轴引起共振的固有频率，需要用到有限元中的模态分析模块。考虑到轴上齿轮的质量对轴振动的影响，一般在计算轴的固有频率时都要带上齿轮，否则计算单一轴的模态没有意义。因此，在进行轴的临界转速有限元计算时可使用前面强度与刚度校核时的装配模型。

带齿轮盘的轴的有限元模态分析过程为：①将实体模型导入有限元系统；②划分有限元网格；③确定边界条件；④输入材料常数；⑤进入模态分析模块，选择计算方法；⑥确定需要计算模态的阶数，然后计算；⑦进入后处理模块，输出固有频率与振型。

上述过程中，第①步、第②步与前面强度校核时完全一致，第③步确定边界条件时只需要定义位移边界条件，第④步材料常数除了弹性模量与泊松比外，还需输入材料密度。

计算轴的前10阶模态后结果列于表6-1-25中。

工作转速低于1阶临界转速的轴称为刚性轴（工作于亚临界区），超过1阶临界转速的轴称为挠性轴（工作在超临界区）。该减速器输出轴的工作转速为n=1450r/min，故属于刚性轴，而且其工作转速避开了所有临界转速，不会出现共振现象。