前言

数学究竟是什么？

我总是会听到这样的问题。我知道有很多人都认为数学就是关于计算或者关于一些公式的。

然而，数学其实恰恰是为了避免计算，为了尽可能地避免烦琐、复杂的一切而产生的。对于这一点，或许不是每个数学家都同意，但这一点至少对本书的100道谜题而言是绝对适用的。

本书是由已经在《明镜周刊》（网络版）上发表过的《每周谜题》和我精心挑选的新难题组合而成。

这些谜题经常被称为所谓的“娱乐数学”。曾经，我觉得这个概念并不恰当。这个概念总使我想起各种“娱乐音乐”，每当这时，我的耳朵里就会响起那些可怕的流行乐。

但后来我觉得这不算什么，因为与数学打交道确实是一件十分有趣的事，数学本身就非常具有娱乐性。数学让我们用日常生活里完全没有过的方式来使用我们的大脑。当你面对一道看起来无法解答的题，而它的答案却突然闪现在你的面前时，没有什么能比这种“恍然大悟”的体验更棒的了。

正如我所说，数学可以让我们避免那些烦琐复杂的计算。因此，比起我们在学校里学到的那些呆板的固定模式，常常会有许多更具创造性和更优雅的方法来解答同一道题。

有两道例题足以证明这一点。而你很可能已经见过第一道例题了：

从1到10的整数总和是多少？

这道题有一种非常漂亮的类几何解答方法。我们可以将这10个数字画成圆点的集合。总共10行。第1行是1个圆点，第2行是2个圆点，以此类推，第10行是10个圆点。

画出的圆点如下图所示。不过，这张图还不能解答问题。

现在，我们把这些圆点集合旋转180度，放置在与原图对称的右上角，答案已经呼之欲出了。

这两个合并而成的圆点集合形成了一个矩形，由10行、每行11个圆点组成，也就是共110个圆点。因为这是两个圆点集合的数量，所以我们只需要将这个数除以2，就得到了正确答案：55。

第二道例题就不这么容易了。但是，一个简单的图形同样能让答案不言而明。

的总和是多少？

即从开始，4的n次幂的倒数的总和是多少？

答案是。画一个平分为4份的正方形即可求证答案。

将正方形右上方的部分再次划为4份，以此类推。见下图：

当我们想要计算的总和时，我们只需要将正方形的黑色部分相加，因为它们所对应的正是正方形平面的

决定性的窍门就是：当我们将黑色部分和与之大小相同的白色与灰色部分全部相加时，正好是整个正方形的大小。于是：

我们再除以3就得到了正确结果。

这很复杂吗？但愿你不会有这样的感觉。

祝愿你在接下来的100道题中玩得愉快！希望你尽可能多地体验到如何从一窍不通到灵光一现想出绝妙解答方法的过程。

霍格尔·丹贝克

德国汉堡，2017年6月15日