2.2 无迹Kalman滤波算法
Julier等人提出的针对非线性系统的无迹Kalman滤波算法（Unscented Kalman Filter，UKF）[104]，是以UT变换为基础，在LMS估计准则下的Kalman线性滤波结构的非线性滤波器。相对于EKF和PF，UKF算法优点如下：
（1）UKF算法不必计算Jacobian矩阵，也不用对非线性系统状态函数f（x（k），k）逼近，所以可以处理不可导的非线性函数；
（2）预测阶段只是线性代数运算；
（3）UKF估计的均值和方差可达到Taylor级数的4阶精度，故滤波精度高于EKF，对于n维系统，计算量为O（n3）；
（4）系统函数f（x（k），k）可以不连续。
系统模型的非线性越复杂，UKF比EKF就越具有优越性。UKF算法基于上述优点，在许多领域得到了广泛应用[113-114]。
2.2.1 UKF滤波算法原理
因为考虑的是非线性系统的滤波问题，状态预报
和观测预报
不容易获得，但是这两项对非线性滤波系统的性能起着至关重要的作用。UKF算法的核心和基础是UT变换，UT变换是用固定数量的参数值近似一个Gauss分布，其实现原理为：在原先分布中按某一规则取一些点，使这些点的均值和协方差分布与原状态分布的均值和协方差相等；将这些点代入非线性函数中，相应得到非线性函数值点集，通过这些点集可求取变换的均值和协方差。UT变换示意图如图2-2所示。
图2-2 UT变换示意图
因此可以选择一组Sigma点集{χi}，该点集满足均值为
，方差为Pxx。将上述Sigma的点集进行UT变换，得到变换后的点集{zi}，其统计信息为：均值为
，方差为Pzz。选取变换z=f（x），由统计量
和Pzz，得到P（k+1|k）、Pzz（k+1|k）、Pxz（k+1|k）等信息。具体步骤如下：
（1）根据系统状态x的统计量
和Pxx选取一组Sigma点集{χi}，i=1，2，…，点集内每个Sigma点的权值为
和
，其中
用来计算变换均值，
用来计算变换协方差。
（2）对选取的Sigma点集{χi}，i=1，2，…，进行非线性UT变换得到zi=f（χi），则点集{zi}的统计量
和Pzz可由下式计算
文献[11]和文献[145]等证明了当噪声为Gauss分布时，利用UT变换方法得到的非线性函数的统计量精度达到Taylor级数展开式的4阶。
UT变换的特点如下：
（1）UT变换是对非线性函数的概率密度分布进行近似，而不是对非线性函数进行近似，所以如果系统的模型复杂，算法实现的难度不会增加。
（2）非线性函数统计量的精度至少达到2阶，如果采用Taylor展开，精度可以达到3阶，如果采用特殊的采样策略，例如Gauss分布4阶采样和偏度采样等可达到更高阶精度。
（3）计算量与EKF同阶。对于n维系统，计算量为O（n3）。
（4）UT变换不需要计算Jacobian矩阵，所以可以处理不可导的非线性函数。
2.2.2 Sigma点采样策略
经过以上叙述，实现UKF滤波器最重要的就是确定Sigma点采样策略。目前已有的Sigma点采样策略有对称采样[94]、单形采样[108]等基本采样策略。为了保证输出变量y的协方差矩阵的半正定性，提出了对上述两种基本采样策略进行比例修正[146]。
1.对称采样
在状态x的均值
和方差Pxx一致的情况下，由2n+1个对称Sigma采样点近似
和Pxx，得到条件函数g[{χi}，px（x）]，其中px（x）为x的密度函数，令其等于零，得到
可得Sigma点为
对应权值计算为
式中，
为（n+κ）Pxx的平方根矩阵的第i行或列，可使用Cholesky分解进行计算。在对称采样中，从Sigma点的分布可以看到，Sigma点是空间中心对称和轴对称的，而且除中心点外，其他Sigma点的权值相同。对称采样确保任意分布的统计量近似精度达到Taylor展开式2阶截断。对于Gauss分布，可达到Taylor展开式3阶截断。κ为比例参数，可用于调节Sigma点和
的距离，一般来说，当服从Gauss分布时，一般选取n+κ=3 [11]，[145]。
2.单形采样
在对称采样中，Sigma点的个数为2n+1，如果系统的维数较高，对称采样会带来巨大的计算负担，所以应进一步减少Sigma点的数量。根据文献[107]的分析，对于一个n维分布的状态空间，最少需要n+1个点才能确定。为了减轻计算负担，在单形采样策略中，选取Sigma点的个数为n+2。在单形采样策略中，Sigma点的分布不是中心对称的。单形采样策略分为两种：最小偏度单形采样[107]和超球体单形采样[147]。
最小偏度单形采样是在保证匹配前两阶矩的前提下，3阶矩最小。根据这一要求，代入前面所给出的Sigma点，采样策略依据式（2-114），求得Sigma点集和权值如下所示。
（1）选择0≤W0 ＜1。
（2）Sigma点权值
（3）当系统状态维数为1时，初始向量由下式迭代
（4）当系统状态维数为j=2，…，n时，迭代式为
（5）在Sigma点中加入状态x的统计信息均值和协方差，得到
在最小偏度单形采样策略中，所选择的Sigma点的权值和到中心点的距离
都是不同的，即每个Sigma点的重要性是不同的，第n维是第n-1维的
倍。高维直接形成的Sigma点的权值比低维扩维形成的Sigma点的权值小，而距离中心点更远。当系统维数较大时，有些Sigma点的权值会变得很小，到中心点的距离很远，因而会造成部分信息丢失，降低粒子拟合精度。为使单形采样适应高维系统的要求，提出超球体单形采样[147]。
超球体单形采样策略要求与系统Taylor级数展开式前2阶矩匹配，但要求Sigma点权值相同（中心点除外），并且到中心点距离都相同。将该条件代入Sigma点采样策略依据式（2-114），可确定Sigma点集和权值如下所示。
（1）选择0≤W0 ＜1。
（2）Sigma点权值
（3）当系统状态维数为1时，初始向量由下式迭代
（4）当系统状态维数为j=2，…，n时，迭代式为
（5）在Sigma点中加入状态x的统计信息均值和协方差，得到
在超球体单形采样中，除中心点之外的所有Sigma点的权值都是相同的，并且这些Sigma点到中心点
的距离是相同的，说明这些Sigma点的重要性是相同的。采用超球体单形采样，由于Sigma点集和权值在推导过程中是以系统Taylor级数展开前两阶进行的，因此所得到的Sigma点的均值和方差都可以达到Taylor级数展开式的两阶精度，而且它的计算量要比所有其他的采样方式要小。
由式（2-118）和式（2-122）可以看出，当系统状态维数为1时，最小偏度采样和超球体采样的Sigma点分布是相同的。
3.比例修正
上面各类采样中，当系统维数增加时，除中心点外的各个Sigma点到中心点
的距离会越来越远，产生采样的非局部效应。虽然可以通过式（2-116）中的κ进行调解，但是在约束条件n+κ=3下，当系统维数n＞3时，有κ＜0，从而引起W0 ＜0和用其计算出的修正方差产生半正定的情形。为了解决此类问题，Julier等人在文献[146]中提出了比例修正方案。该方案可与各类基本采样策略（对称采样、单形采样）相结合，可有效地解决采样非局部效应问题。比例采样修正算法如下：
式中，α为比例缩放因子，要求α＞0，可用于调整每个Sigma点（中心点除外）到中心点
的距离。β≥0为非线性函数f（·）的先验分布信息参数，当f（·）中随机项为Gauss分布时，一般取β=2 [148]。
将比例修正算法和对称采样相结合，得到比例对称采样，即计算Sigma点为
式中，λ=α2（n+κ）-n，κ是比例参数，一般取值为0或3-n，β=2。
对式（2-1）和式（2-2）所确定的系统，由于系统噪声和观测噪声为加性噪声，故采用简化的UKF算法[94]。基于传感器观测z（0）～z（k）的Sigma采样点计算为
其中，初值条件为
2.2.3 UKF滤波算法
对式（2-1）和式（2-2）所确定的系统，在选择采样策略之后，UKF滤波器可分为两部分完成。
1.预测方程
2.更新方程
