第一节　蒙特卡罗模拟

蒙特卡罗（Monte Carlo，MC）方法又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪40年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。它能够帮助人们从数学上表述物理、化学、工程、经济学以及环境动力学中一些非常复杂的相互作用。数学家们称这种表述为“模式”，而当一种模式足够精确时，它能产生与实际操作中对同一条件相同的反应。由于以统计理论为基础结果的精确性与N成比例，所以就必须考虑到大量光子可以产生一个有价值的几率。在此介绍其基本思想，简单讨论模拟的每个步骤。

蒙特卡罗模拟的基本思想是：应用吸收和散射现象来跟踪光子通过混浊介质的光程。将光子的两次碰撞之间的距离设置为对数分布，且用一个由计算机产生的随机数表示。通过对每一光子给定一个权值，并且在传播过程此权值将持续地减少来说明吸收现象。如果发生散射，通过给定相函数和另一个随机数就选定了一个新的传播方向。只有光子从所考察容积中逃逸或者它的权值达到一个预定的截止阈值时，整个过程才算结束。根据Meier的观点，吸收和散射的蒙特卡罗模拟主要由5个步骤组成：源光子的产生、轨迹的产生、吸收、消失、及检测。

光子在所研究的介质表面产生。光子的空间和角度分布与给定的光源相符，如高斯光束。

光子产生后，第一个碰撞点的距离就被确定。吸收和散射离子在混浊介质中的分布假设是随机的。这样，平均自由程就为：

式中，ρ为离子的密度；σ_s为散射有效截面。0﹤ξ₁﹤1这个随机数由计算机产生，距离下一次碰撞点的距离L（ξ₁）由下式计算：

为了解释吸收现象，对每个光子都加一个相同的权值。当光子进入混浊介质时，所有光子的权值相同。由于吸收的存在——更精确地说是由于反射的存在，光子的权值按照exp[-μ_αL（ξ₁）]而减小，其中μ_α为吸收系数。由于权值发生变化，这就引出了第4个属于0-1的随机数ξ₄。这样，修正在步骤（二）中仅有散射发生的假设，即只有当ξ₄﹤α时，散射发生，其中α为反照率。而当ξ₄﹥α时，光子就被吸收，这就等同于步骤（四）。

如果给每个光子都有一个相同的权数时，此步才能适用。当这个权数达到某个截止阈值时，光子就会消失。接着就发射出另一个新的光子，程序又从步骤（一）做起。

对足够量的光子不断重复步骤（一）至步骤（四）后，在计算机中就可得到一幅轨迹图，并且储存在其中。这样，就可得到入射光子被介质吸收的百分比的统计说明，并且得到从介质中逃逸出来的光子的空间分布和角度分布。

蒙特卡罗方法是解决光在组织中传输的有效方法。建立在统计理论基础上的蒙特卡罗方法原则上可用于模拟任意边界条件和复杂的多层结构情形，并且不需要引入近似条件，具有较高的精度和广泛的适用性，已被广泛应用于生物组织激光传输和分布的各类研究。