第五章多元函数微分学_2019年考研历届数学真题题型解析（数学一）-QQ阅读男生玄幻网

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第五章多元函数微分学

考试内容与要求

考试内容

多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限与连续的概念，有界闭区域上多元连续函数的性质，多元函数的偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件，多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯度，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数的二阶泰勒公式，多元函数的极值和条件极值，多元函数的最大值、最小值及其简单应用．

考试要求

1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义．

2．了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质．

3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性．

4．理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法．

5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法．

6．了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．

7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程．

8．了解二元函数的二阶泰勒公式．

9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．

题型5.1 基本概念题

此题型主要涉及多元函数的概念，多元函数连续性、偏导的存在性和可微性的概念及它们之间的关系．

（12,4分）如果函数f（x, y）在（0,0）处连续，那么下列命题正确的是

（A）若极限存在，则f（x, y）在（0,0）处可微．

（B）若极限存在，则f（x, y）在（0,0）处可微．

（C）若f（x, y）在（0,0）处可微，则极限存在．

（D）若f（x, y）在（0,0）处可微，则极限存在．

【】

【答案】应选（B）.

【详解】若极限存在，则有= 0.

又由f（x, y）在（0,0）处连续，可知f（0,0）= 0.

由微分定义知f（x, y）在（0,0）处可微，故应选（B）.

小结

1．讨论函数f（x, y）在点（x0, y0）的连续性一般按定义：

2．说明不存在通常取两条不同的路径，动点（x, y）→（x0, y0）时，f（x, y）具有不同的极限或沿某曲线，f（x, y）的极限不存在．此方法也可用于讨论f（x, y）在点（x0, y0）的不连续性．

3．按定义讨论一个函数z= f（x, y）在点（x0, y0）的可微性时，可从下面几个方面考虑：

（1）若f（x, y）在（x0, y0）的偏导数至少有一个不存在，则函数不可微；

（2）若f（x, y）在（x0, y0）不连续，则函数不可微；

（3）若f（x, y）在（x0, y0）连续，两偏导数存在，，则考虑

是否为0，若为0，则函数在（x0, y0）可微，否则不可微．

4．函数z= f（x, y）在（x0, y0）处的几个概念之间的关系为

5．注意一元函数微分学的有些结论不能照搬到多元函数微分学中．

题型5.2 求多元复合函数的偏导数和全微分

1.（05,4分）设函数u（x, y）= φ（x+ y）+φ（x- y）+，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有

【】

【答案】应选（B）.

由此可知，故选（B）.

【评注】本题含有二元变限积分，由于求偏导时，一个变量为常数，从而对其求偏导仍按一元函数积分学中求变限积分的导数方法进行.

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2.（07,4分）设f（u, v）为二元可微函数，z= f（xy, yx），则=_______.

【答案】应填

【详解】利用复合函数求偏导公式，有

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3.（09,4分）设函数f（u, v）具有二阶连续偏导数，z= f（x, xy），则=______.

【答案】应填

【详解】

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4.（11,4分）设函数，则=______.

【答案】应填4.

故应填4.

【评注】注意此题的计算技巧．

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5.（11,9分）设函数z= f（xy, yg（x）），函数f具有二阶连续偏导数，函数g（x）可导且在x= 1处取得极值g（1）= 1．求

【分析】利用多元复合函数的求偏导法则及g′（1）= 0.

【详解】由题意g′（1）= 0．因为

所以，令x= y= 1，且注意到g（1）= 1, g′（1）= 0，得

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈

6.（14,10分）设函数f（u）具有2阶连续导数，z= f（excosy）满足

若f（0）= 0, f′（0）= 0，求f（u）的表达式．

【分析】利用复合函数偏导数的计算方法求出各阶偏导数，代入所给偏微分方程，转化为可求解的常微分方程．

【详解】因为

所以原方程化为

f″（excosy）= 4f（excosy）+ excosy.

从而函数f（u）满足方程f″（u）= 4f（u）+ u.

方程f″（u）= 4f（u）的通解为f（u）=C1e2u+ C2 e-2u，

方程f″（u）= 4f（u）+ u的一个特解为- ，所以方程f″（u）= 4f（u）+ u的通解为

由f（0）= 0, f′（0）= 0得C1+ C2= 0,2C1-2C2- = 0.

解得．故.

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7.（16,4分）设函数f（u, v）可微，z= z（x, y）由方程（x+ 1）z- y2= x2f（x- z, y）确定，则= ______.

【答案】应填- dx+ 2dy.

【详解1】易得x= 0, y= 1时，z= 1.

方程两边求全微分

zdx+（x+ 1）dz-2ydy= 2xfdx+ x2，

把x= 0, y= 1, z= 1代入上式

有= - dx+ 2dy.

【详解2】易得x= 0, y= 1时，z= 1.

方程两边分别对x, y求偏导数得

把x= 0, y= 1, z= 1代入上两式，有= 2.

所以= - dx+ 2dy.

【评注】本题还可令F（x, y）=（x+ 1）z- y2- x2f（x- z, y），利用公式法求出

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈

8.（17,10分）设函数f（u, v）具有2阶连续偏导数，y= f（ex, cosx），求

【详解】利用复合函数求导法则，得

因而

小结

1．求复合函数的偏导数是多元函数微分学常考的题型，在复习时特别要注意求抽象函数高阶偏导数的方法，要找一些这方面的题目，从头到尾做下来，不要因为麻烦而放弃．

2．复合函数求偏导建议按照复合函数的偏导结构解题：

复合函数的偏导数是若干项之和，其项数等于直接中间变量的个数，每一项均为函数对中间变量的偏导数与中间变量对自变量的偏导数之积．

如：若z= f（x, u, v）, u= u（x, y）, v= v（x, y），则在f, u, v都可微的情况下，有

3．求复合函数特别是含有抽象函数的复合函数的高阶偏导数时，一要注意不要漏项，二要注意一阶偏导数如仍为复合函数，对其求偏导数也必须按复合函数求偏导法进行．

4．若题设函数具有二阶连续偏导数，有时可以交换求偏导的顺序，以简化运算．

题型5.3 求隐函数的偏导数和全微分

1.（05,4分）设有三元方程xy- z ln y+ e x z= 1，根据隐函数存在定理，存在点（0,1,1）的一个邻域，在此邻域内该方程

（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z= z（x, y）.

（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数y= y（x, z）和z= z（x, y）.

（C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x= x（y, z）和z= z（x, y）.

（D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x= x（y, z）和y= y（x, z）.

【】

【答案】应选（D）.

【分析】本题考查对隐函数存在定理的条件与结论的理解，应从分析隐函数存在定理的条件着手．

【详解】 F（x, y, z）= 0，其中F（x, y, z）= xy- z ln y+ e x z-1．显然，F在点（0,1,1）附近对x, y, z均有连续偏导数，且

F（0,1,1）= 0.

由隐函数存在性定理，在点（0,1,1）的一个邻域内，由方程

xy- z ln y+ e x z = 1

可以确定两个具有连续偏导数的隐函数y= y（x, z）, x= x（y, z）．故应选（D）.

【评注】做此类题要理解隐函数存在性定理的条件和结论．隐函数存在性定理和求偏导公式：

（1）设函数F（x, y, z）在点P（x0, y0, z0）的某邻域内具有连续的偏导数，且F（x0, y0, z0）= 0, （x0, y0, z0）≠0，则方程F（x, y, z）= 0在点（x0, y0, z0）的某邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z= f（x, y），它满足条件z0= f（x0, y0），并有

（2）由方程组确定的隐函数的偏导数．

设方程组确定了隐函数u= u（x, y）和v= v（x, y），上式两边分别对x求偏导，注意到u和v是x及y 的函数，有

当时，从上式中可解出和．同理，原方程两端对y求偏导，可求出,

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈

2.（10,4分）设函数z= z（x, y）由方程确定，其中F为可微函数，且F′2≠0，则=

（A）x.

（B）z.

（C）- x.

（D）- z.

【】

【答案】应选（B）.

【分析】利用公式直接求两个一阶偏导数．

所以，因此应选（B）.

【评注】此题也可两边求全微分求得

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3.（15,4分）若函数z= z（x, y）由方程e z+ xy z+ x+ cos x= 2确定，则=______.

【答案】应填- dx.

【详解1】易得x= 0, y= 1时，z= 0.

方程两边求全微分

e z dz+ yz dx+ xz dy+ xy dz+ dx- sinx dx= 0，

把x= 0, y= 1, z= 0代入方程e z dz+ yz dx+ xz dy+ xy dz+ dx- sinx dx= 0

【详解2】易得x= 0, y= 1时，z= 0.

方程两边分别对x, y求偏导数

把x= 0, y= 1, z= 0代入上两式

【评注1】本题还可令F（x, y, z）= e z+ xy z+ x+ cosx-2，用公式法求解．

【评注2】计算过程中直接代入x= 0, y= 1, z= 0，可简化运算，提高准确率．

小结

1．尽管教材中都有求一个方程和一个方程组所确定的隐函数的公式，但最好不要死记这些公式，应掌握推导这些公式所用的方法——复合函数求偏导．

2．一般情况下，一个方程可以确定一个变量是其他变量的函数，两个方程可以确定两个变量是其他变量的函数．

3．要正确理解隐函数存在性定理的内涵．通俗地讲，一个方程时，非零端对应的函数对哪个变量的偏导不为零，则方程确定此变量为其他变量的函数．两个方程时，非零端对应的两个函数对哪两个变量的雅可比行列式不为零，则方程确定此两变量为另外变量的函数．

题型5.4 利用变量代换将方程变形

（06,12分）设函数f（u）在（0, + ∞）内具有二阶导数，且满足等式

（1）验证

（2）若f（1）= 0, f′（1）= 1，求函数f（u）的表达式．

【详解】（1）令，则z= f（u）.

由复合函数求导法得

从而，

由对称性得.

将上两式代入得

（2）令f′（u）= p，则，

ln| p|= - ln| u|+ C′，

∴ f′（u）= p= .

∵ f′（1）= 1, C= 1, f（u）= lnu+ C1，由f（1）= 0，得C1= 0，于是f（u）= lnu.

小结

利用复合函数求偏导的方法，引入变换可以化简原来的方程，使之变换为简单的偏导数满足的方程或常微分方程，便于求得未知函数．

题型5.5 求函数的方向导数和梯度

1.（05,4分）设函数，单位向量，则=______.

【答案】应填.

【详解】根据多元函数方向导数的计算公式

故cosα= cosβ= cosγ=，

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2.（08,4分）函数f（x, y）= arctan -在点（0,1）处的梯度等于

（A）i.

（B）- i.

（C）j.

（D）- j.

【】

【答案】应选（A）.

【详解】直接利用公式

因为

于是== 1·i+ 0·j=i.

故应选（A）.

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3.（12,4分）grad=_______.

【答案】应填（1,1,1）.

【详解】根据梯度定义gradf（x, y, z）=，于是

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈

4.（17,4分）函数f（x, y, z）= x2y+ z2在点（1,2,0）处沿向量n= {1,2,2}的方向导数为

（A）12.

（B）6.

（C）4.

（D）2.

【】

【答案】应选（D）.

【详解】因为向量n= {1,2,2}的方向余弦为，且

故，所求方向导数为= 4× + 1× + 0× = 2．选（D）.

小结

1．方向导数

梯度

2．若u= f（x, y, z）在点（x, y, z）处可微，则在该点沿任一方向的方向导数存在，而梯度则是方向导数取得最大值的方向，梯度的模为方向导数的最大值．

3．在求方向导数的题目中，方向一般是不直接给出的，应根据题设求出方向的方向余弦，再利用上面的两个公式求方向导数和梯度．

4．注意在考研题目中，有时还会涉及梯度、散度和旋度．

题型5.6 多元函数微分学的几何应用

1.（03,4分）曲面z=x2+y2与平面2x+ 4y-z= 0平行的切平面的方程是________.

【答案】应填2x+ 4y- z= 5.

【详解】设切点为P0（x0, y0, z0），由题意曲面在P0处的法向量（-2x0, -2y0,1）应与已知平面的法向量n=（2,4, -1）平行，所以

从而x0= 1,y0= 2,z0== 5，于是得到所求切平面方程为

2（x-1）+ 4（y-2）-（z-5）= 0，

【评注】此题易犯的错误是：由法向量（-2x0, -2y0,1），得-2x0= 2, -2y0= 4，从而x0= -1, y0= -2, z0= = 5，故切平面方程为2（x+ 1）+ 4（y+ 2）-（z-5）=0，即2x+ 4y- z+ 15= 0.

注意：若两平面平行，则它们的法向量的投影成比例，而并不一定相等.

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2.（13,4分）曲面x 2+ cos（xy）+ yz+ x= 0在点（0,1, -1）处的切平面方程为

（A）x- y+ z= -2.

（B）x+ y+ z= 0.

（C）x-2y+ z= -3.

（D）x- y- z= 0.

【】

【答案】应选（A）.

【详解】曲面在点（0,1, -1）的法向量为：

|（0,1, -1）= {2x- y sin（xy）+ 1, -x sin（xy）+z,y}|（0,1, -1）= {1, -1,1}，

所以曲面在点（0,1, -1）的切平面方程为1·（x-0）-1·（y-1）+ 1·（z+ 1）= 0，即x- y+ z= -2.

故选（A）.

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3.（14,4分）曲面z=x2（1- siny）+y2（1- sinx）在点（1,0,1）处的切平面方程为__________.

【答案】应填2x-y-z-1=0.

【分析】本题考查二元函数的法向量、切平面方程．

【详解】曲面在点（1,0,1）的法向量为：

|（1,0,1）= 2x（1- siny- y2cosx, - x2cosy+ 2y（1- sinx）, -1）|（1,0,1）=（2, -1, -1），

所以曲面在点（1,0,1）的切平面方程为：2·（x-1）-1·（y-0）-1·（z-1）= 0，即2x-y-z-1=0．应填2x-y-z-1=0.

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4.（18,4分）过点（1,0,0）,（0,1,0），且与曲面z= x2+ y2相切的平面为

【】

（A）z= 0与x+ y- z= 1.

（B）z= 0与2x+ 2y- z= 2.

（C）x= y与x+ y- z= 1.

（D）x= y与2x+ 2y- z= 2.

【答案】应选（B）.

【分析】可用排除法或直接求解．

【详解1】显然平面z= 0与曲面z= x2+ y2相切，且过点（1,0,0）,（0,1,0），排除（C）、（D）；曲面z= x2+ y2的法向量为{2x,2y, -1}，对于（A），平面的法向量为{1,1, -1}，而方程组

无解，排除（A）．选（B）.

【详解2】设切点坐标为（x0, y0, z0），则

故所求切平面为z= 0或2x+ 2y- z= 2.

小结

微分学在几何上的应用主要包括两部分：

1．求空间曲线在一点处的切线和法平面，关键是求切线的方向向量．

（1）曲线若以参数方程给出，则对应曲线上点P（x（t0）, y（t0）, z（t0））处的切线的方向向量为{x′（t0）, y′（t0）, z′（t0）}.

（2）若曲线方程为则切线的方向向量为{1, y′（x）, z′（x）}，其中y′（x）, z′（x）由方程组F= 0, G= 0确定．

2．求曲面的切平面和法线，关键是求切平面的法向量．

（1）若曲面方程为F（x, y, z）= 0，则在点P（x0, y0, z0）处的法向量为, F′y（x0, y0, z0）, F′z（x0, y0, z0）}.

（2）若曲面方程为z =f（x,y），则在P0（x0,y0,z0）处的法向量为

3．多元函数在几何上的应用还常与空间解析几何结合起来出题，典型的是涉及平面、直线之间的关系、旋转曲面的方程等，已考过的题目充分说明了这一点．在复习时应该将这两部分内容结合起来．

题型5.7 求多元函数的极值与最值

1.（03,4分）已知函数f（x, y）在点（0,0）的某个邻域内连续，且，则

（A）点（0,0）不是f（x, y）的极值点．

（B）点（0,0）是f（x, y）的极大值点．

（C）点（0,0）是f（x, y）的极小值点．

（D）根据所给条件无法判断点（0,0）是否为f（x, y）的极值点．

【】

【答案】应选（A）.

【详解】由极限和无穷小的关系，在点（0,0）的充分小的邻域内有

其中

从而在此邻域内，在xy ＞0处f（x, y）＞0；在xy＜0处f（x, y）＜0，可见f（0,0）不是极值，故选（A）.

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2.（04,12分）设z=z（x,y）是由x2-6xy+ 10y2-2yz-z2+ 18= 0确定的函数，求z=z（x,y）的极值点和极值．

【详解】因为x2-6xy+ 10y2-2yz-z2+ 18= 0，所以等式两边分别对x和y求偏导得

令得故

将上式代入x2-6xy+ 10y2-2yz-z2+ 18= 0，可得

由于

所以

故AC- B2= ＞0，又A= ＞0，所以点（9,3）是z（x, y）的极小值点，极小值为z（9,3）= 3.

同样由

可知AC- B2= ＞0，又A= - ＜0，从而点（-9, -3）是z（x, y）的极大值点，极大值为z（-9, -3）= -3.

【评注】做本题容易犯的典型错误是：由= 0, = 0及x2-6xy+ 10y2-2yz-y2+18= 0解出两组解

便断言（9,3）为极大值点，z= 3为极大值；（-9, -3）为极小值点，z= -3为极小值，显然是混淆了最大、最小值与极大、极小值的概念，不理解极值只是函数的局部性态，极大值有可能会小于极小值.

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3.（06,4分）设f（x, y）与φ（x, y）均为可微函数，且．已知（x0, y0）是f（x, y）在约束条件φ（x, y）= 0下的一个极值点，下列选项正确的是

（A）若，则

（B）若，则

（C）若，则

（D）若，则

【】

【答案】应选（D）.

【详解】构造拉格朗日函数

F（x, y）= f（x, y）+λφ（x, y），

令

若，且（x0, y0）为条件极值的极值点，则（x0, y0）是上面方程组的解，即

若，则必有，故选（D）.

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4.（07,11分）求函数f（x, y）= x2+ 2y2- x2y2在区域D= {（x, y）|x2+ y2≤4, y≥0}上的最大值和最小值．

【分析】由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可．

【详解】因为f′x（x, y）= 2x-2xy2, f′y（x, y）= 4y-2x2y，解方程：

得开区域内的可能极值点为

其对应函数值为= 2.

又当y= 0时，f（x, y）= x2在-2≤x≤2上的最大值为4，最小值为0.

当x2+ y2= 4, y＞0, -2＜x＜2时，构造拉格朗日函数

F（x, y, λ）= x2+ 2y2- x2y2+λ（x2+ y2-4）.

解方程组得可能极值点为，其对应函数值为

比较函数值2,0,4,8,，知f（x, y）在区域D上的最大值为8，最小值为0.

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5.（08,11分）已知曲线，求曲线C上距离xOy面最远的点和最近的点．

【分析】点（x, y, z）到xOy平面的距离为| z|，故求C上距离xOy面最远的点和最近的点的坐标，等价于求函数H= z2在条件x2+ y2-2z2= 0与x+ y+ 3z= 5下的最大值点和最小值点．

【详解】设P（x, y, z）为曲线C上的任意一点，则点P到xOy 平面的距离为|z|，问题转化为求z2在约束条件x2+ y2-2z2= 0与x+ y+ 3z= 5下的最值点．令拉格朗日函数为

F（x, y, z, λ, μ）= x2+ y2+λ（x2+ y2-2z2）+μ（x+ y+ 3z-5）

根据几何意义，曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点，故所求点依次为（-5,-5,5）和（1,1,1）.

【评注】本题考查两个约束条件下的函数u= f（x, y, z）的条件极值问题，可类似地构造拉格朗日函数

F（x, y, z, λ, μ）= f（x, y, z）+λφ（x, y, z）+μψ（x, y, z）

解出可能极值点后，直接代入目标函数计算函数值，再比较大小确定相应的极值（或最值）即可.

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6.（09,9分）求二元函数f（x, y）= x2（2+ y2）+ ylny 的极值．

【分析】先求函数的驻点，再用二元函数取得极值的充分条件判断．

【详解】由得.

因，所以二元函数存在极小值

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7.（11,4分）设函数f（x）具有二阶连续导数，且f（x）＞0, f′（0）= 0，则函数z=f（x）ln f（y）在点（0,0）处取得极小值的一个充分条件是

（A）f（0）＞1, f″（0）＞0.

（B）f（0）＞1, f″（0）＜0.

（C）f（0）＜1, f″（0）＞0.

（D）f（0）＜1, f″（0）＜0.

【】

【答案】应选（A）.

【详解】直接利用二元函数取得极值的充分条件．

【详解】由z= f（x）lnf（y），有，

所以

故（0,0）是z= f（x）lnf（y）可能的极值点．经计算得

所以A= z″xx（0,0）= f″（0）ln f（0）, B= z″xy（0,0）= 0, C= z″yy（0,0）= f″（0）.

由B2- AC＜0，且A＞0, C＞0，有f″（0）＞0, f（0）＞1．因此应选（A）.

【评注】此题与最近几年关于直接求二元函数的极值形式上有所不同，但实质是一样的

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8.（12,10分）求函数的极值．

解得函数驻点，即可能极值点为（1,0）或（-1,0）.

（1）在驻点（1,0）, .

由B 2- AC= -2e-1 ＜0，且A＜0，知（1,0）为极大值点，极大值f（1,0）= .

（2）在驻点为（-1,0）, A= f″xx（-1,0）= , B= f″xy（-1,0）= 0, C= f″yy（-1,0）=．由B 2- AC= -2e-1 ＜0，且A＞0，知（-1,0）为极小值点，极小值f（1,0）= - .

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9.（13,10分）求函数的极值．

【分析】本题考查二元函数的极值问题．

【详解】 , ，

令f′x（x,y）= 0,f′y（x,y）= 0，解得可能极值点为

x= -1, y= - ，或x= 1, y= - ，

当x= -1, y= - 时，

因为，所以不是f（x, y）的极值点．

当x= 1, y= - 时，

知＜0，并且A＞0，所以（1, -）为f（x,y）的极小值点，极小值为f（1, -）= -.

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10.（14,4分）若，则a1cosx+ b1sinx=

（A）2sinx.

（B）2cosx.

（C）2πsinx.

（D）2πcosx.

【】

【答案】应选（A）.

【分析】此题综合考查了多元函数的极值、定积分的性质与计算．

【详解】令，则

于是，由得唯一驻点，即为极小值点．所以，若

则a1cosx+ b1sinx= 2sinx．选（A）.

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11.（15,10分）已知函数f（x, y）= x+ y+ xy，曲线C:x 2+ y 2+ xy= 3，求f（x, y）在曲线C上的最大方向导数．

【分析】函数在一点处沿梯度方向的方向导数最大，进而转化为条件最值问题．

【详解】函数f（x, y）= x+ y+ xy 在点（x, y）处的最大方向导数为

构造拉格朗日函数

若y= x，则y= x= ± 1，若λ= -2，则x= -1, y= 2或x= 2, y= -1.把各点坐标代入中，f（x, y）在曲线C上的最大方向导数为3.

【评注】此题有一定新意，关键是转化为求条件极值问题．

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12.（18,10分）将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形．三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值．

【详解】设铁丝分成的三段长分别为x, y, z，则x+ y+ z= 2，且依次围成的圆、正方形与正三角三个图形的面积之和为

构造拉格朗日函数：

此时.

又当x+ y+ z= 2, xyz= 0时，f（x, y, z）的最小值为

所以三个图形的面积之和存在最小值，最小值为

【评注】也可设三段长分别为x, y,2- x- y，转化为二元函数的最值问题．

小结

函数的极值和最值分为两部分：

1．一般极值．

（1）（x0, y0）为极值点的必要条件为（x0, y0）= （x0, y0）= 0.

（2）若

则AC- B2＞0时，（x0, y0）为极值点，且A＞0（＜0）时为极小（大）值点；

AC- B2＜0时，（x0, y0）非极值点；

AC- B2= 0时，判别法失效．

2．条件极值．

求目标函数u= f（x, y, z）在条件φ（x, y, z）= 0下的极值，一般用拉格朗日乘数法

构造拉格朗日函数

F（x, y, z）= f（x, y, z）+λφ（x, y, z），

解此方程组得可能极值点（x, y, z）．由于一般条件极值均为求实际问题的最值，故所求点（x, y, z）是否为最值点可由实际问题判定．

3．拉格朗日乘数法对多个约束条件也适用．如求u= f（x, y, z）在条件φ（x, y, z）=0, ψ（x, y, z）= 0下的极值，则可令拉格朗日函数F（x, y, z）= f（x, y, z）+λφ（x, y, z）+μψ（x, y, z），而可能的极值点通过解方程组

得到．

4．若可从约束条件φ（x, y, z）= 0中解出z= z（x, y），则条件极值问题转化为求u=f（x, y, z（x, y））的一般极值．

5．若目标函数或约束条件比较复杂，则可考虑用等效的函数来替换．如：在椭圆x2+4y2= 4上求一点，使其到直线2x+ 3y-6= 0的距离最短．在x2+ 4y2= 4上任取一点（x, y），则目标函数为，若作拉格朗日函数f（x, y）=，则使求偏导和求驻点的计算比较复杂，因而可取拉格朗日函数为f（x, y）=（2x+ 3y-6）2+ λ（x2+ 4y2-4），即用（2x+ 3y-6）2替代.

本章总结

本章历年试题按题型分值分布情况如表1—5—1所示．

表1—5—1

从表中可以看出复合函数求偏导数和全微分在整个微分学中的地位．复习时一定要熟练掌握复合函数求偏导数的公式，注意抽象函数求高阶偏导数的题目．复合函数求偏导数的方法在隐函数求偏导和题型5. 4中也很重要．从表中还明显看到，多元函数微分学在几何中的应用和求函数的极、最值是考研数学的一个重点，应记住一些常用的公式和求解实际问题极、最值的步骤．

自测练习题

一、填空题

1．设z= esinxy，则dz= _______.

2．设可导，则xz′x+ yz′y =_______.

3．设，其中f, g均可微，则=_______.

4．设z= e-x- f（x-2y），且当y= 0时，z= x2，则=_______.

5．函数f（u, v）由关系式f[xg（y）, y]= x+ g（y）确定，其中函数g（y）可微，且g（y）≠0，则=_______.

6．设二元函数z= xex+y+（x+ 1）ln（1+ y），则=_______.

7．设函数f（u）可微，且f′（u）= ，则z= f（4x2- y2）在点（1,2）处的全微分=_______.

8．设f（x, y, z）= exyz2，其中z= z（x, y）是由x+ y+ z+ xyz = 0确定的隐函数，则=_______.

9．设函数z= z（x, y）由方程z= e2x-3z+ 2y确定，则3=_______.

二、选择题

1．设函数，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有

【】

2．设可微函数f（x, y）在点（x0, y0）取得极小值，则下列结论正确的是

（A）f（x0, y）在y= y0处的导数大于零．

（B）f（x0, y）在y= y0处的导数等于零．

（C）f（x0, y）在y= y0处的导数小于零．

（D）f（x0, y）在y= y0处的导数不存在．

【】

三、计算证明题

1．设,x ＞ 0, y ＞ 0，求：（1）g（x）= ;（2）.

2．已知z= f（u, v）, u= x+ y, v= xy，且f（u, v）的二阶偏导数都连续，求.

3．已知，其中a＞0, a≠1，求dz.

4．设，求（其中函数φ（u, v）具有二阶偏导数）.

5．已知-，求.

6．设，求.

7．设-，求dz与.

8．已知，求dz.

9．设f（u,v）具有二阶连续偏导数，且满足，又g（x,y）=，求

10．设z= f（x 2- y 2, exy），其中f具有连续二阶偏导数，求

11．设f（u）具有二阶连续导数，且，求.

12．设，其中φ为可微函数，求.

13．已知xy = xf（z）+ yg（z）, xf′（z）+ yg′（z）≠0，其中z= z（x, y）是x和y 的函数，求证.

14．设z= f（x, y）是由方程z- y- x+ xez-y-x= 0所确定的二元函数，求dz.

15．设函数z= f（u），方程确定u是x, y的函数，其中f（u）, φ（u）可微；p（t）, φ′（t）连续，且φ′（u）≠1．求

16．设u= f（x, y, z）有连续偏导数，y= y（x）和z= z（x）分别由方程exy- y= 0和ex-xz= 0所确定，求-.

17．设u= f（x, y, z）有连续一阶偏导数，又函数y= y（x）及z= z（x）分别由下列两式确定

求-.

18．设函数u= f（x, y, z）有连续偏导数，且z= z（x, y）由方程xex- yey= zez所确定，求du.

19．设f（u, v）具有连续偏导数，且满足

（u, v）+ （u, v）= uv，

求y（x）= e-2xf（x, x）所满足的一阶微分方程，并求其通解．

20．某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告．根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费用x1（万元）及报纸广告费用x2（万元）之间的关系有如下经验公式

R= 15+ 14x1+ 32x2-8x1x2- -

（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；

（2）若提供的广告费用为1. 5万元，求相应的最优广告策略．

21．某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p1 和p2；销售量分别为q1 和q2；需求函数分别为

q1 = 24-0. 2p1, q2 = 10-0. 5p2

总成本函数为C= 35+ 40（q1+ q2）.

试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少？

22．某养殖厂饲养两种鱼，若甲种鱼放养x（万尾），乙种鱼放养y（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为

（3-αx-βy）x和（4-βx-2αy）y（α＞β＞0）

求使得产鱼总量最大的放养数．

23．求二元函数z= f（x, y）= x2y（4- x- y）在由直线x+ y= 6、x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值．

24．设生产某种产品必须投入两种要素，x1和x2分别为两要素的投入量，Q为产出量；若生产函数为，其中α, β为常数，且α+β= 1，假设两种要素的价格分别为p1和p2，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最少．

25．假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是p1 =18-2Q1, p2 = 12-2Q2，其中p1 和p2 分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨）, Q1 和Q2 分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是C= 2Q+ 5，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即Q=Q1+ Q2.