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PART ONE
第一部分高等数学

第一章函数、极限、连续

考试内容与要求

考试内容

函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立，数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限：

函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质．

考试要求

1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．

2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．

3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．

4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．

5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．

6．掌握极限的性质及四则运算法则．

7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．

8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．

9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．

10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．

题型1.1 函数的概念及其特性

1.（05,4分）（05,4分）表示该题为2005年考研数学一真题，其分值为4分，全书同．另外，对2003年以后未考的题型，也特意选了一个往年考题供参考．设F（x）是连续函数f（x）的一个原函数，“M⇔N”表示“M的充分必要条件是N”，则必有

（A）F（x）是偶函数⇔f（x）是奇函数．

（B）F（x）是奇函数⇔f（x）是偶函数．

（C）F（x）是周期函数⇔f（x）是周期函数．

（D）F（x）是单调函数⇔f（x）是单调函数．

【】

【答案】应选（A）.

【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案．

【详解1】任一原函数可表示为，且F′（x）= f（x）.

当F（x）为偶函数时，有F（- x）= F（x），于是F′（- x）·（-1）= F′（x），即- f（- x）=f（x），也即f（- x）= - f（x），可见f（x）为奇函数；

反过来，若f（x）为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见（A）为正确选项．

【详解2】令f（x）= 1，则取F（x）= x+ 1，可排除（B）,（C）；

令f（x）= x，则取F（x）= ，可排除（D）.

故应选（A）.

【评注】请读者思考f（x）与其原函数F（x）的有界性之间有何关系？

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2.（14,4分）设y= f（x）是周期为4的可导奇函数，且f′（x）= 2（x-1）, x∈[0,2]，则f（7）=_____.

【答案】应填1.

【详解】由f′（x）= 2（x-1），有f（x）= x2-2x+ C, x∈[0,2].

由y= f（x）是周期为4的可导奇函数，得f（0）= 0，故C= 0.

所以f（7）= f（3）= f（-1）= - f（1）= 1．应填1.

小结

函数的概念及函数的复合，包括分段函数的复合，本质上是函数关系的建立问题，而建立函数关系是进一步研究函数性质的基础．对于函数的四个主要特性的研究：奇偶性和周期性一般用定义检验；单调性则大多用导数符号分析；有界性往往需要结合极限与连续的性质来确定．

题型1.2 极限的概念与性质

（03,4分）设{an}, {bn}, {cn}均为非负数列，且= 0, = 1, = ∞，则必有

（A）an＜bn对任意n成立．

（B）bn＜cn对任意n成立．

（C）极限不存在．

（D）极限不存在．

【】

【答案】应选（D）.

【详解1】本题考查极限的概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除（A）,（B）；而极限是“0·∞”型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限属“1·∞”型，必为无穷大量，即不存在．故应选（D）.

【详解2】用举反例法，取，则可立即排除（A）,（B）,（C），因此正确选项为（D）.

小结

关于极限的存在性，以下几点是值得注意的：

1．若lim f存在，limg不存在，则lim（f ± g）一定不存在，但lim fg, lim 可能存在，也可能不存在．

2．若lim f= l≠0, limg= ∞，则lim fg = ∞.

3．若f有界，limg= ∞，则lim（f ± g）= ∞，但lim fg 不一定为∞.

题型1.3 函数极限的计算

一、利用左、右极限求函数极限

（00,5分）求

【分析】本题函数关系式中含有绝对值，本质上是一分段函数，在分段点的极限应通过左、右极限来讨论．

【详解】因为

可见，原式= 1.

【评注】形如| f（x）|, max{f（x）, g（x）}的函数，本质上是分段函数，在求极限、导数和积分时一般均应分段讨论．

小结

在讨论分段函数极限时一般用结论，因此，当左、右极限有一个不存在或都存在但不相等时，极限不存在．

二、求未定式的极限

1.（03,4分）=_______.

【答案】应填.

【详解2】因为

所以

【评注】对于“1∞”型未定式的极限，也可直接用公式进行计算．

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2.（06,4分）=________.

【答案】应填2.

【分析】本题为“”型未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可．

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3.（08,9分）求极限

【详解】利用无穷小量的等价代换以及洛必塔法则，有

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4.（10,4分）极限

（A）1.

（B）e.

（C）ea-b.

（D）eb-a.

【】

【答案】应选（C）.

【分析】本题是最基本的未定式“1∞”，属基本题型．

因此应选（C）.

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5.（11,10分）求极限

【分析】此极限是“1∞”型，化为指数形式直接计算，属基本题型．

【评注】注意用洛必塔法则前的化简（如本题的等价无穷小替换）.

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6.（14,10分）求极限

【分析】利用等价无穷小代换和L'Hospital法则．

【评注】注意在求极限过程中，等价无穷小代换、变量代换常常可以简化计算，因此要充分利用.

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7.（15,4分）

【答案】应填- .

【分析】此题考查“”型未定式极限，可直接用洛必塔法则，也可以用等价无穷小替换．

【详解1】用洛必塔法则：

【详解2】用无穷小量等价代换：

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8.（16,4分）

【答案】应填.

【详解】原式=

小结

1．计算极限的基本方法有：利用极限的四则运算、利用无穷小量的等价代换、利用两类重要极限以及洛必塔法则．一道典型的考题还经常会用到两种甚至两种以上的方法．

2．未定式极限的基本形式是：型，其他未定式本质上均可化为这两种形式，而求未定式极限的主要方法是洛必塔法则，但在用洛必塔法则之前应注意两点：一是先尽量用无穷小量的等价代换进行化简（便于求导）；二是将非零因子项（乘或除项）的极限用四则运算先求出来，再用洛必塔法则求导．

3. “”型未定式极限经常可采用分子、分母同除以最大项的办法进行分析求解．

4．若待求极限的函数表达式中含有等时，一般不用洛必塔法则．

5．幂指函数的极限limf（x）g（x）一般先化为指数函数再求极限：

limf（x）g（x）= limeg（x）lnf（x）= elimg（x）lnf（x）

特别地，当limf（x）= 1时，有limf（x）g（x）= elimg（x）ln[1+f（x）-1]= elimg（x）[f（x）-1].

6．常用无穷小量的等价代换有：若α（x）→0，则

但应注意，无穷小量的等价代换一般是整体代换，即作为乘、除的项可代换，而加、减项不能随意代换，即若α～α′,β～β′，则limαf= limα′f, lim = lim .

还应注意：若lim≠1，则lim（α-β）f= lim（α′-β′）f.（详见《考研数学高分复习全书》例1. 6后面的注释）

7．个别情况下，当用上述无穷小量的等价代换求极限仍有困难时，也可考虑用泰勒公式（麦克劳林公式）进行展开，找出更高阶的等价无穷小量．

8．在求极限的过程中适当利用变量代换往往可以简化计算，特别是题设为x→∞时，作变换t= ，转化为t→0后，问题经常一下子就变简单了．

题型1.4 函数极限的逆问题

1.（13,4分）已知极限，其中k, c为常数，且c≠0，则

【答案】应选（D）.

【详解】由c（c≠0），知k-1=2，因此k= 3,c= ．选（D）.

【评注】本题也可利用泰勒公式得到．因为当x→0时，有

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2.（15,10分）设函数f（x）= x+ a ln（1+ x）+ bx sin x, g（x）= kx 3，若f（x）与g（x）在x→0时是等价无穷小，求a, b, k的值．

【分析】此题是标准的极限逆问题，可用泰勒公式或洛必塔法则解答．

【详解1】用泰勒公式

由题意知

【详解2】用洛必塔法则

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3.（18,4分）若已知，则k= .

【答案】应填-2.

【分析】这是极限的逆问题，属于基本题．

【详解】 1∞型极限．因为

小结

1．已知极限反过来求相关参数，这类所谓极限的逆问题，一般仍用极限的四则运算、无穷小量的等价代换和洛必塔法则等进行分析讨论．但用洛必塔法则时，必须注意其前提条件，一般情形是若或∞，则，而逆问题是已知，则是否一定也有，从理论上说是不成立的．因此在用洛必塔法则时，必须先检验或∞成立．

2．关于无穷小量有如下性质：α（x）±o（α（x））～α（x）.

题型1.5 数列的极限

1.（06,12分）设数列{xn}满足0＜x 1 ＜π, xn+ 1 = sinxn（n= 1,2, …）.

（1）证明存在，并求该极限；

（2）计算.

【分析】题设数列由递推公式给出，一般利用单调有界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在．（2）问的计算注意利用（1）问的结果．

【详解】（1）因为0＜x1＜π，则0＜x2= sinx1≤1＜π.

可推得0＜xn+ 1=sinxn≤1＜π,n= 1,2, …，则数列{xn}有界．

于是＜1（因为当x＞0时，sinx＜x），则有xn+ 1 ＜xn，可见数列{xn}单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限存在．

设，在xn+ 1 = sinxn两边令n→∞，得l= sinl，解得l= 0，即.

（2）因为，由（1）问知该极限为“1∞”型，

令t= xn，则n→∞, t→0，而

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2.（07,4分）设函数f（x）在（0, + ∞）内具有二阶导数，且f″（x）＞0，令un= f（n）（n= 1，2, …），则下列结论正确的是

（A）若u1＞u2，则{un}必收敛．

（B）若u1＞u2，则{un}必发散．

（C）若u1＜u2，则{un}必收敛．

（D）若u1＜u2，则{un}必发散．

【】

【答案】应选（D）.

【分析】利用反例通过排除法进行讨论．

【详解】设f（x）= x2，则f（x）在（0, + ∞）上具有二阶导数，且f″（x）＞0, u1＜u2，但{un}= {n2}发散，排除（C）；设f（x）= ，则f（x）在（0, + ∞）上具有二阶导数，且f″（x）＞0, u1 ＞u2，但{un}= {}收敛，排除（B）；设f（x）= - lnx，则f（x）在（0, + ∞）上具有二阶导数，且f″（x）＞0, u 1 ＞u 2，但{un}= {- lnn}发散，排除（A）．故应选（D）.

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3.（08,4分）设函数f（x）在（- ∞, + ∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是

（A）若{xn}收敛，则{f（xn）}收敛．

（B）若{xn}单调，则{f（xn）}收敛．

（C）若{f（xn）}收敛，则{xn}收敛．

（D）若{f（xn）}单调，则{xn}收敛．

【】

【答案】应选（B）.

【详解】若{xn}单调，则{f（xn）}单调，又f（x）在（- ∞, + ∞）内有界，可见{f（xn）}单调有界，从而{f（xn）}收敛．故应选（B）.

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4.（17,10分）求

【分析】利用定积分的定义计算．

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5.（18,10分）设数列{xn}满足：x 1 ＞0, = -1（n= 1,2, …）．证明{xn}收敛，并求.

【分析】本题综合考查了单调收敛准则、微分中值定理以及利用导数判别函数单调性等多个知识点，属综合题．

【详解】因为x1≠0，所以

由微分中值定理，存在ξ∈（0, x1），使得，即，因此0＜x2＜x1.

完全类似，假设0＜xn+ 1＜xn，则

故{xn}是单调减少的数列，且有下界，从而{xn}收敛．

设= a．在等式两边取极限，得aea= ea-1．显然a= 0为其解．

又令f（x）= xex- ex+ 1，则f′（x）= xex.

当x＞0时，f′（x）= xex＞0，函数f（x）在[0, + ∞）上单调增加，所以a= 0是方程aea= ea-1在[0, + ∞）上的唯一解，故

小结

求数列的极限，一般有四种主要方法：

1．若已知数列的通项表达式，可转化为函数极限进行计算，即如果，则有

2．若数列用递推公式给出，一般考虑用单调有界数列必有极限分析．

3．对数列的通项适当地放大或缩小，然后再用夹逼定理．

4．若数列通项是n项（也可多或少若干项）求和时，往往考虑用定积分的定义：

题型1.6 无穷小量的比较

1.（04,4分）把x→0+时的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

（A）α, β, γ.

（B）α, γ, β.

（C）β, α, γ.

（D）β, γ, α.

【】

【答案】应选（B）.

【分析】先两两进行比较，再排出次序；也可先求出各无穷小量关于x的阶数，再进行比较．

可排除（C）,（D）选项，

可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选（B）.

【详解2】由

可见，应选（B）.

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2.（07,4分）当x→0+时，与等价的无穷小量是

【】

【答案】应选（B）.

【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案．

【详解】当x→0+时，有；

故知应选（B）.

【评注】本题直接找出的等价无穷小有些困难，但由于另三个的等价无穷小很容易得到，因此通过排除法可得到答案．事实上，

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3.（09,4分）当x→0时，f（x）= x- sinax与g（x）= x 2 ln（1- bx）是等价无穷小，则

（A）a= 1, b= - .

（B）a= 1, b= .

（C）a= -1, b= - .

（D）a= -1, b= .

【】

【答案】应选（A）.

【详解】 f（x）= x- sin ax, g（x）= x 2 ln（1- bx）为等价无穷小，则

因为，所以，= 0，从而a= 1.

再由，得

故应选（A）.

【评注】本题主要考查等价无穷小的概念、无穷小等价代换、洛必塔法则及重要结论：存在，若，则

小结

1．无穷小量的比较问题，本质上是“”型未定式的极限问题，因此可用求未定式的极限的所有方法进行讨论，但应注意并不是任意两个无穷小量均可比较，比如当x→0时与β（x）= x均为无穷小量，但它们不能进行比较．

2．当x→x0时，若是对三个或三个以上的无穷小量进行比较，可考虑分别先与（x- x0）n进行比较，比如由存在且非零，找出n（n＞0），确定f（x）是x-x0的n阶无穷小，再进行比较．

题型1.7 函数的连续性及间断点的分类

（17,4分）设函数在x= 0处连续，则

（A）ab= .

（B）ab= - .

（C）ab= 0.

（D）ab= 2.

【】

【答案】应选（A）.

【详解】可计算利用函数在x= 0处连续，即f（0-）= f（0+），则，亦是. 选（A）.

本章总结

本章历年试题按题型分值分布情况如表1—1—1所示．

表1—1—1

从表中可以看出，这部分内容在高等数学中占有重要的基础地位．本章命题的重点是函数极限与数列极限的计算，因此在复习过程中值得特别注意．从考试内容与要求来看，函数的连续性与间断点的分类一直没有命题，而闭区间上连续函数的性质尽管没有直接命题，但通过微分中值定理间接考核过，在后面一元函数微分学部分会重点介绍，因此在今后复习的过程中，我们要特别提醒参加数学一考试的考生注意函数的间断点及其分类等相关的内容．

自测练习题

一、填空题

1.=________.

2.=________.

3.=________.

4.=________.

5.=________.

6.=________.

7．若x→0时，与xsinx是等价无穷小，则a=________.

8．若在（- ∞, + ∞）上连续，则a=________.

9．已知在x= 0处连续，则a=________.

10．设在x= 0处连续，则a=________.

11.=________.

12．设，则=________.

13．若，则a= ,b=________.

14.=________.

15．设函数f（x）= ax（a＞0, a≠1），则·…· f（n）]=________.

16．若a＞0, b＞0均为常数，则=________.

17.=________.

18.=________.

19．设函数在x= 0处连续，则a=________.

二、选择题

1．设则g[f（x）]为

【】

2．设数列xn与y n满足，则下列断言正确的是

（A）若xn发散，则yn必发散．

（B）若xn无界，则yn必有界．

（C）若xn有界，则yn必为无穷小．

（D）若- 为无穷小，则yn必为无穷小．

【】

3．若，则为

（A）0.

（B）6.

（C）36.

（D）∞.

【】

4．设，则

（A）a= 1, b= - .

（B）a= 0, b= -2.

（C）a= 0, b= - .

（D）a= 1, b= -2.

【】

5．当x→0时，x- sinx是x2的

（A）低阶无穷小．

（B）高阶无穷小．

（C）等价无穷小．

（D）同阶但非等价无穷小．

【】

6．设当x→0时，ex-（ax2+ bx+ 1）是比x2 高阶的无穷小，则

（A）a= ,b= 1.

（B）a= 1, b= 1.

（C）a= - ,b= -1.

（D）a= -1, b= 1.

【】

7．设x→0时，etanx- ex与xn是同阶无穷小，则n为

（A）1.

（B）2.

（C）3.

（D）4.

【】

8．当x→0时，（1- cosx）ln（1+ x 2）是比x sinxn高阶的无穷小，而x sinxn是比高阶的无穷小，则正整数n等于

（A）1.

（B）2.

（C）3.

（D）4.

【】

9．设f（x）和φ（x）在（- ∞, + ∞）上有定义，f（x）为连续函数，且f（x）≠0, φ（x）有间断点，则

（A）φ[f（x）]必有间断点．

（B）[φ（x）]2必有间断点．

（C）f[φ（x）]必有间断点．

（D）必有间断点．

【】

10．设函数在（- ∞, + ∞）内连续，且，则常数a, b满足

（A）a＜0, b＜0.

（B）a＞0, b＞0.

（C）a≤0, b＞0.

（D）a≥0, b＜0.

【】

11．设函数，则

（A）x= 0, x= 1都是f（x）的第一类间断点．

（B）x= 0, x= 1都是f（x）的第二类间断点．

（C）x= 0是f（x）的第一类间断点，x= 1是f（x）的第二类间断点．

（D）x= 0是f（x）的第二类间断点，x= 1是f（x）的第一类间断点．

【】

12．设则在点x= 1处，函数f（x）

（A）不连续．

（B）连续，但不可导．

（C）可导，但导数不连续．

（D）可导，且导数连续．

【】

13．设f（x）是奇函数，除x= 0外处处连续，x= 0是其第一类间断点，则是

（A）连续的奇函数．

（B）连续的偶函数．

（C）在x= 0间断的奇函数．

（D）在x= 0间断的偶函数．

【】

14．设函数f（x）= xtanxesinx，则f（x）是

（A）偶函数．

（B）无界函数．

（C）周期函数．

（D）单调函数．

【】

15．函数在下列哪个区间内有界

（A）（-1,0）.

（B）（0,1）.

（C）（1,2）.

（D）（2,3）.

【】

16．设f（x）= 2x+ 3x-2，则当x→0时

（A）f（x）与x是等价无穷小．

（B）f（x）与x是同阶但非等价无穷小．

（C）f（x）是比x更高阶的无穷小．

（D）f（x）是比x较低阶的无穷小．

【】

17．设对任意的x，总有φ（x）≤f（x）≤g（x），且，则

（A）存在且等于零．

（B）存在但不一定为零．

（C）一定不存在．

（D）不一定存在．

【】

18．设函数，讨论函数f（x）的间断点，其结论为

（A）不存在间断点．

（B）存在间断点x= 1.

（C）存在间断点x= 0.

（D）存在间断点x= -1.

【】

19．设f（x）在（- ∞, + ∞）内有定义，且则

（A）x= 0必是g（x）的第一类间断点．

（B）x= 0必是g（x）的第二类间断点．

（C）x= 0必是g（x）的连续点．

（D）g（x）在点x= 0处的连续性与a的取值有关．

【】

20．设函数f（x）在x= 0处连续，且，则

（A）f（0）= 0且（0）存在．

（B）f（0）= 1且（0）存在．

（C）f（0）= 0且（0）存在．

（D）f（0）= 1且（0）存在．

【】

三、计算证明题

1．求下列极限

2．已知函数f（x）在（0, + ∞）上可导，f（x）＞0, ，且满足，求f（x）.

3．求函数在区间（0,2π）内的间断点，并判断其类型．

4．设函数问a为何值时，f（x）在x= 0处连续；a为何值时，x= 0是f（x）的可去间断点？

5．设- ，试补充定义f（1），使得f（x）在上连续．

6．设，求：

7．试确定常数A, B, C的值，使得ex（1+ Bx+ Cx2）= 1+ Ax+ o（x3），其中o（x3）是当x→0时比x3高阶的无穷小．