2.1.4　模糊集的截集

虽然模糊集合能够客观地反映现实中存在的模糊概念，但在处理实际问题的过程中，特别是要最后作出判断或决策时，往往又需要将模糊集合化成各种不同的普通集合，这就需要在模糊集合与普通集合间架起一座桥梁，使得模糊集和普通集能够相互转化，这种任务通常由λ水平截集来完成。

定义2.3　设A∈F（U），λ∈[0，1]，记

A_λ={u|∀u∈U，A（u）≥λ}　　（2.20）

称A_λ为F集A的λ截集，λ称为阈值（或置信水平）。

例2.5　设A∈F（R），R为实数域，其隶属函数为，求A_0.5。

解：

说明：F集A的λ截集A_λ是一个普通集合，它是通过对A在λ水平上的截取实现的。

例2.6　在古代史分期中，记奴隶社会为F集A，其表示如下

若取λ=0.5的截集作为奴隶社会的划分界限，问奴隶社会包含哪些朝代？

解：

A_0.5={夏，商，西周，春秋，战国}

定义2.4　设A∈F（U），记

SuppA={uu∈U，A（u）>0}，K erA={uu∈U，A（u）=1}　　（2.21）

分别称SuppA、KerA为F集A的支集与A的核。

由定义可知，核是由F集A中隶属度等于1的元素组成的普通集合，核中的元素是完全隶属于集合A的，而支集则是由A中隶属度大于0的元素组成的普通集合，如果引入变动的水平λ，让其从1趋于0，则A_λ将从核开始不断扩大，把越来越多的元素吸收进来，最终变成A的支集。因此，普通的截集集合族{A_λ}_λ∈[0，1]就像一个具有游移边界的集合，一个可变的、运动的集合，一个具有包含关系的集合套。

在例2.6中，F集A的核与支集分别为

　　　　KerA={夏，商}

　　　　SuppA={夏，商，西周，春秋，战国，秦，西汉，东汉}

定义2.5　设A∈F（U），λ∈[0，1]，定义λA∈F（U），它的隶属函数为

（λA）（u）=λ∧A（u）　　（2.22）

F集λA称为数λ与F集A的乘积。

特别的，若A是普通集合，则有

此处的λA也为F集。

不难证明，λ与F集A的乘积λA具有如下性质：

性质1　若λ₁≤λ₂，则λ₁A⊆λ₂A；

性质2　若A⊆B，则λA⊆λB。

证明略。

λ截集有如下性质（λ∈[0，1]）。

性质1　设A，B∈F（U），则

（A∪B）_λ=A_λ∪B_λ，（A∩B）_λ=A_λ∩B_λ　　（2.24）

证明：

（A∪B）_λ={u|（A∪B）（u）≥λ}={u|A（u）∨B（u）≥λ}

　　　={u|A（u）≥λ}∪{u|B（u）≥λ}=A_λ∪B_λ

而（A∩B）_λ={u（A∩B）（u）≥λ}={uA（u）∧B（u）≥λ}

　　　={u|A（u）≥λ}∩{u|B（u）≥λ}=A_λ∩B_λ。

对于F（U）中的有限个F集，性质1仍然成立，即上式中T表示有限指标集。

但是，对于无限个F集的并，性质1中的等号未必成立，一般有如下结论。

性质2　若{A_tt∈T}⊆F（U），则

证明：

（仅证第一式）

设，则存在t₀∈T，使得，于是，即，故，从而有。

第二式的证明由读者自行完成。

例2.7　设有无限论域U，其上的F集A_n（n=1，2，…）的隶属函数为A_n（u）=，请分别求解。

解：

∀u∈U，则有，即，于是。

但是，对于∀u∈U，有，则有（A_n）_0.5=，n≥1，从而有。

可见，性质2中的包含关系不能写成等式。

性质3　设λ₁，λ₂∈[0，1]，A∈F（U）。若λ₂>λ₁，则。

证明：

，有A（u）≥λ₂>λ₁，即，则。

从性质3可知，截集水平越低，A_λ所包含的元素个数越多，A_λ越大；反之，截集水平越高，A_λ越小。特别的，当λ=1时，A_λ最小，当λ=0时，A_λ最大。

性质4　设∀t∈T，λ_t∈[0，1]则。

证明：